武昌区高三调研数学试卷

考试时间：120分钟满分：150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）
A. \( f(x) = -x^2 + 2x - 1 \)
B. \( f(x) = e^x \)
C. \( f(x) = \log_2(x+1) \)
D. \( f(x) = \frac{1}{x} \)
2. 已知复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \in \mathbb{R} \)），若
\( |z-1| = |z+1| \)，则 \( a \) 的取值范围是（）
A. \( a \leq 0 \)
B. \( a \geq 0 \)
C. \( a = 0 \)
D. \( a \in \mathbb{R} \)
3. 在平面直角坐标系中，点 \( P(2,3) \) 关于直线 \( y=x \) 的对称点为（）
A. \( (3,2) \)
B. \( (2,3) \)
C. \( (3,3) \)
D. \( (2,2) \)
4. 已知等差数列 \( \{a_n\} \) 的前n项和为 \( S_n \)，若 \( S_5 = 50 \)，\( S_8 = 100 \)，则 \( a_6 \) 的值为（）
A. 15
B. 20
C. 25
D. 30
5. 函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) 的图像与x轴的交点个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 \( \sin A + \sin B + \sin C = 2 \)，则三角形ABC是（）
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 梯形
7. 已知函数 \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x \)，则 \( f(x) \) 的定义域是（）
A. \( (-\infty, +\infty) \)
B. \( [0, +\infty) \)
C. \( (-\infty, 0] \)
D. \( [0, +\infty) \)
8. 在直角坐标系中，点 \( P(x, y) \) 到直线 \( 2x + 3y - 6 = 0 \) 的距离为3，则点P的轨迹方程是（）
A. \( x^2 + y^2 = 9 \)
B. \( x^2 + y^2 = 6 \)
C. \( x^2 + y^2 = 18 \)
D. \( x^2 + y^2 = 12 \)
9. 设 \( \alpha \) 是锐角，若 \( \tan \alpha = \frac{3}{4} \)，则
\( \sin \alpha \) 的值是（）
A. \( \frac{3}{5} \)
B. \( \frac{4}{5} \)
C. \( \frac{3}{5\sqrt{2}} \)
D. \( \frac{4}{5\sqrt{2}} \)
10. 若等比数列 \( \{a_n\} \) 的前n项和为 \( S_n \)，公比为 \( q \)，且\( S_3 = 27 \)，\( S_5 = 81 \)，则 \( q \) 的值为（）
A. 3
B. 2
C. 1
D. -1
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 若 \( \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \)，则 \( \sin \alpha
\cos \alpha \) 的值为______。

12. 已知等差数列 \( \{a_n\} \) 的第4项为6，第8项为18，则该数列的公差为______。

13. 函数 \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1} \) 的反函数为______。

14. 在三角形ABC中，若 \( \angle A = 30^\circ \)，\( \angle B = 60^\circ \)，则 \( \sin C \) 的值为______。

15. 已知复数 \( z = 2 + 3i \)，则 \( |z-2i| \) 的值为______。

三、解答题（本大题共5小题，共75分）
16. （15分）已知函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \)，求函数 \( f(x) \) 的单调区间。

17. （15分）已知数列 \( \{a_n\} \) 是等比数列，且 \( a_1 = 2 \)，\( a_2 + a_3 = 18 \)，求该数列的通项公式。

18. （15分）在平面直角坐标系中，已知点 \( A(1,2) \)，点 \( B(m,n) \) 在直线 \( 2x - 3y + 1 = 0 \) 上，求 \( \overrightarrow{AB} \) 的坐标。

19. （15分）已知函数 \( f(x) = \ln(x + 1) - \sqrt{x} \)，求函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。

20. （15分）已知等差数列 \( \{a_n\} \) 的前n项和为 \( S_n \)，若
\( S_5 = 50 \)，\( S_8 = 100 \)，求 \( a_6 \) 的值，并求出该数列的前10项和。