江西省吉安市吉水中学2018-2019学年高二数学上学期开学考试试题

江西省吉安市吉水中学2018-2019学年高二数学上学期开学考试试题
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.一个人投篮时连续投两次，则事件“至多投中一次”的互斥事件是（ ）
A ．只有一次投中
B ．两次都不中 C.两次都投中 D ．至少投中
一次
2.设函数)3
2cos()(π
-=x x f ，则下列结论错误的是（ ）
A ．)(x f 的一个周期为－π
B ．)(x f y =的图像关于直线3
2π=
x 对称
C. )2
(π
+
x f 的一个零点为3
π
-
=x D ．)(x f 在区间]2
,3[
π
π上单调递减 3.已知集合A ={x ||x ﹣1|＜1}，B ={x |1﹣
x
1
≥0}，则A ∩B =（ ） A ．{x |1≤x ＜2} B ．{x |0＜x ＜2} C ．{x |0＜x ≤1} D ．{x |0＜x ＜1}
4.从随机编号为0001,0002,…1500的1500名参加某次沈阳市四校联考期末测试的学生中，用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018,0068，则样本中最大的编号应该是( )
A ．1466
B ．1467 C.1468 D ．1469
5.执行如图所示的程序框图，如果输出9
4
=
S ，则输入的=n （ ）
A ．3
B ．4 C. 5 D ．6
6.在平行四边形ABCD 中，AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，2DE EC =u u u r u u u r ，则BE u u u r
等于（ ）
A ．13b a -r r
B ．23b a -r r C. 43b a -r r D ．13
b a +r r
7.下列说法正确的是( )
A.方程
k x x y y =--1
1
表示过点()111,y x P 且斜率为的直线
B.直线b kx y +=与轴的交点为()b B ,0,其中截距OB b =
C.在X 轴、Y 轴上的截距分别为a 、b 的直线方程为
1=+b
y
a x D.方程()()()()112112x x y y y y x x --=--表示过任意不同两点()111,y x P ,()222,y x P 的直线
8. 在下列函数中，当X 取正数时，最小值为2的是（ ）
A. 4
y x x
=+
B. 1lg lg y x x
=+
C. 22
11
y x x =
++ D.
223y x x =-+
9.不等式2
650x x --≥的解集为D ，在区间[－7,2]随机取一个数x ，则x D ∈的概率为（ ）
A ．
19 B ． 13 C. 59 D ．79
10.若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2017积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时
n 的值为（ ）
A ．1008
B ．1009
C ．1007或1008
D ．1008或1009
11.设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=1，S n =2S n ﹣1+n ﹣2（n ≥2），则a 2017等于（ ）
A ．2
2016
﹣1 B ．2
2016
+1 C ．2
2017
﹣1 D ．2
2017
+1
12.已知函数f （x ）=ln
x e ex -，若f （2013e ）+f （2013
2e
）+…+f （20132012e ）=503（a +b ），则
a 2+
b 2的最小值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．9
D ．12
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知直线x －y －1=0与直线mx +y －3=0相互垂直，则m 值的为 ． 14.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1111,n n n a a S S ++=-=，则n S =________. 15.数列{}n a 满足22113
,1(*)2
n n n a a a a n N +==-+∈，则122015111M a a a =++⋅⋅⋅+
的整数部分是___.
16.下面四个命题：
①tan y x =在定义域上单调递增； ②若锐角,αβ满足cos sin αβ>，则2
π
αβ+<
；
③()f x 是定义在 [－1,1]上的偶函数，且在[－1,0]上是增函数，若0,4πθ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦，则
()()sin cos f f θθ>；
④函数4sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个对称中心是,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
；其中真命题的序号为 ．
三、解答题（共70分）
17. 设2
()sin cos cos ()4
f x x x x π
=-+.
（1）求()f x 的单调区间；
（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0,12
A
f a ==，求ABC ∆面积的最大值.
18.吉水中学在今年6月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x （单位：年，x ∈N *
）和所支出的维护费用y （单位：万元）厂家提供的统计资料如下：
（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y 关于x 的线性回归方程$$y bx
a =+$； （2）若规定当维护费用y 超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值.
参考公式：最小二乘估计线性回归方程$$y bx
a =+$中系数计算公式：
^
1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
-∑∑，$a
y bx =-$
19. 已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2
4(1)n n S a =+.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=g ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值.
20.如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．
(Ⅰ)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (Ⅱ)求△ABC 的面积．
21.某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x 万元时，销售量t 万件满足
12
53
t x =-
+（其中0x a ≤≤，a 为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t 万件还需投入成本(102)t +万元（不含促销费用），产品的销售价格定为20
(5)t
+万元/万件.
（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.
22.已知g （x ）=x 2
+bx +c ，且关于x 的不等式g （x ）＜0的解集为（﹣9
7
，0）． （1）求实数b ，c 的值；
（2）若不等式0≤g （x ）﹣ 2
)
12(2+n n ＜92对于任意n ∈N *
恒成立，求满足条件的实数x 的值．
高二数学月考答案9.8
CCACBC DDDACB 13. 1 14. 1
n
-
15. 1 16. ②③④ 17.解：（Ⅰ）由题意知
由得，
则的递增区间为；
由得，
则的递减区间为.
（Ⅱ）在锐角中，,,而
由余弦定理可得，当且仅当时等号成
立，即，，
故面积的最大值为.
18.（1）35
5
4321=++++=
x ，
5
.759
85.776=++++=y
10
)35()34()33()32()31()
(222224
1
2
=-+-+-+-+-=-∑=i i
x x
7
)5.79)(35()5.78)(34()5.75.7)(33()5.77)(32()5.76)(31())((5
1
=--
+--+--+--+--=--∑=y y x x i
i i
7.010
7
)
()
)((ˆ1
2
1
==
---=∑∑==n
i i
n
i i
i
x x y y x x b
4.537.0
5.7ˆˆ=⨯-=-=x b y a
故线性回归方程为4.57.0ˆ+=x y
. （2）当维护费用y 超过13.1万元时，即
0.7 5.413.1x +> 11x ∴>
∴从第12年开始这批空调必须报废，该批空调使用年限的最大值为11年.
答：该批空调使用年限的最大值为11年. 19：
20.(1)由题意可知，E 为AB 的中点，E (3,2)-------------2分
且k CE ＝－
AB
k 1＝1，-----------------------4分
∴CE 所在直线方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0.----------6分
(2)由⎩
⎨⎧=--=+-,01,022y x y x
得C (4,3)，-----------8分 ∴|AC |＝|BC |＝
()()
22
24332-+-=，
AC ⊥BC ，---------------------10分
∴S △ABC ＝
2
1
|AC |·|BC |＝2.-------------- --12分 21.（1）由题意知，利润y =t(5+）)﹣(10+2t ）﹣x=3t+10－x
由销售量t 万件满足t=5－
（其中0≤x ≤a ，a 为正常数）．
代入化简可得：y =25－（+x ），（0≤x ≤a ，a 为正常数）
（2）由（1）知y =28－（+x+3），
当且仅当= x +3，即x =3时，上式取等号．
当a ≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大； 当0＜a ＜3时，y 在0≤x ≤a 上单调递增，
x = a ，函数有最大值．促销费用投入x = a 万元时，厂家的利润最大．
综上述，当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大； 当0＜a ＜3时，促销费用投入x = a 万元时，厂家的利润最大．
22.解：（1）函数g （x ）=x 2
+bx+c ，且关于x 的不等式g （x ）＜0的解集为（﹣，0）． 可得0和﹣为方程x 2+bx+c=0的两根， 可得0﹣=﹣b ，0×（﹣）=c ， 即有b=，c=0；
（2）不等式0≤g（x）﹣＜对于任意n∈N*恒成立，
即为≤x2+x，且＞x2+x﹣对于任意n∈N*恒成立，
由==，由n∈N*，可得2n≥2，2n+≥2+=，可得0＜≤，则≤x2+x，且x2+x﹣≤0，即为x2+x﹣=0，
解得x=﹣1或。