离散数学期末复习试题及答案(一)

离散数学习题参考答案
第一章集合
１．分别用穷举法，描述法写出以下集合
（１）偶数集合
〔２〕36的正因子集合
〔３〕自然数中3的倍数
〔４〕大于１的正奇数
(1)E={，-6，-4，-2，0，2，4，6，}
={2 i | i∈ I }
(2) D= { 1, 2, 3, 4, 6, } = {x>o | x|36 }
(3) N
= { 3, 6, 9, ```} = { 3n | n∈N }
3
(4) A
= {3, 5, 7, 9, ```} = { 2n+1 | n∈N }
d
２．确定以下结论正确与否
〔１〕φ∈φ×
〔２〕φ∈｛φ｝√
〔３〕φ⊆φ√
〔４〕φ⊆｛φ｝√
〔５〕φ∈｛ａ｝×
〔６〕φ⊆｛ａ｝√
〔７〕｛ａ，ｂ｝∈｛ａ，ｂ，ｃ，｛ａ，ｂ，ｃ｝｝×
〔８〕｛ａ，ｂ｝⊆｛ａ，ｂ，ｃ，｛ａ，ｂ，ｃ｝｝√〔９〕｛ａ，ｂ｝∈｛ａ，ｂ，｛｛ａ，ｂ｝｝｝×
〔１０〕｛ａ，ｂ｝⊆｛ａ，ｂ，｛｛ａ，ｂ｝｝｝√
３．写出以下集合的幂集
〔１〕｛｛ａ｝｝
{φ, {{ a }}}
( 2 ) φ
{φ}
〔３〕｛φ，｛φ｝｝
{φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} }
〔４〕｛φ，ａ，｛ａ，ｂ｝｝
{φ, {a}, {{a,b }}, {φ}, {φ, a }, {φ, {a,b }}, {a, {a b }}, {φ,a,{ a, b }} }
〔５〕Ｐ〔Ｐ〔φ〕〕
{φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} }
４．对任意集合Ａ，Ｂ，Ｃ，确定以下结论的正确与否〔１〕假设Ａ∈Ｂ，且Ｂ⊆Ｃ，那么Ａ∈Ｃ√〔２〕假设Ａ∈Ｂ，且Ｂ⊆Ｃ，那么Ａ⊆Ｃ×〔３〕假设Ａ⊆Ｂ，且Ｂ∈Ｃ，那么Ａ∈Ｃ×〔４〕假设Ａ⊆Ｂ，且Ｂ∈Ｃ，那么Ａ⊆Ｃ×
５．对任意集合Ａ，Ｂ，Ｃ，证明
右
分配
差
差
左
=--=--)C A ()B A ()C B (A M
.D )
C B (A )
C B (A )C A ()B A ()C B (A )1(
右
差
分配
差
左
右差
的结论
差
左
=--=-------=-)C A ()B A ()
C A ()B A ()
C B (A M
.D )
C B (A )2)C A ()B A ()
C A ()B A ()1()
C B (A )1)C A ()B A ()C B (A )2(
右
交换
结合幂等
差
左=--=-)C A ()B A (,)
C B ()A A ()
C B (A M
.D )
C B (A )C A ()B A ()C B (A )3(
))
B )B (A ())B B ()B A ((,)B )B A (()B )B A ((B
)B A (B A B )B A )(4( --⊕=⊕+结合分配对称差
差
左
右
零一
互补==φ-φ-)B A ()B A ()A ()U )B A ((
)
C B (A )
C B (A M .
D )C B (A C )B A ()C B (A C )B A )(5( --=--差
结合
差
左
右
差
结合
交换结合差
左=----=--B )C A (B
)C A ()
B C (A )
C B (A C )B A (B )C A (C )B A )(6(
左
交换
零一互补
分配差右=------------=--C )B A ()
5()
C B (A )
B C (A )U )B C ((A ))C C ()B C ((A ))
C B (C (A ))C B (C (A )5()C B ()C A (C )B A )(7(
６．问在什么条件下，集合Ａ，Ｂ，Ｃ满足以下等式
时等式成立须左若要右右左A C ),C B (A C ,)C A ()B A (C )B A ()C B (A )1(⊆∴⊆⊆⊆==
时等式成立是显然的右左φ=∴⊆=-⊆⊆=-B A ,B A ,B A B A A ,A B A )2(
时等式成立代入原式得φ==∴φ=φ-φ=⊆==-B A ,A ,B ,B B ,B B A B
B A )3(
时等式成立只能B A ,A B ,A B ,B A ,B A ,A B B A A B B A )4(=∴⊆φ=-⊆φ=-φ
==-=-
矛盾当矛盾当若A B A b ,A b ;A B A b ,A b ,
B b ,B ,
B A B A )5(=⊕∈∉=⊕∉∈∈∃φ≠φ==⊕
} 时等式成立是显然的左右B A B A A
B ,B A B B
A ,
B A A ,B A B A ,
B A B A )6(=∴=⎩⎨
⎧⊆⊆⊆⊆⊆⊆=
时等式成立左φ=∴=-=====--C B A A )C B (A )C B (A )C B (A )C A ()B A (A
)C A ()B A )(7(
时等式成立左C A ,B A ),
C B (A )C B (A )C B (A )C B (A )C A ()B A ()C A ()B A )(8(⊆⊆∴⊆φ=-====φ
=--
时等式成立左)C B (A )C B (A )C B (A )C B (A )C A ()B A ()C A ()B A )(9(⊆∴φ=-====φ
=--
时等式成立知由C A B A ,C A B A ),C A ()B A (,)6()C A ()B A ()C A ()B A ())C A ()B A (())C A ()B A (()C A ()B A )(10(=∴-=--=---=--φ=-----φ
=-⊕-
时等式成立B A B )B A (U )B A ()A A ()B A ()A B (A B
)A B (A )11(⊆∴=====-
７．设Ａ＝｛ａ，ｂ，｛ａ，ｂ｝，｝，求以下各式
〔１〕φ∩｛φ｝=φ 〔２〕｛φ｝∩｛φ｝={φ} 〔３〕｛φ，｛φ｝｝－φ={φ,{φ}} 〔４〕｛φ，｛φ｝｝－｛φ｝= {{φ}} 〔５〕｛φ，｛φ｝｝－｛｛φ｝｝={φ} 〔６〕Ａ－｛ａ，ｂ｝={{a,b}, φ} 〔７〕Ａ－φ = A
〔８〕Ａ－｛φ｝={a,b,{a,b}} 〔９〕φ－Ａ=φ 〔１０〕｛φ｝－Ａ=φ
８．在以下条件下，一定有Ｂ＝Ｃ吗？
（１） C A B A =
否，例：A={1，2，3}，B={4}，C={3,4},
C B ,}4,3,2,1{C A B A ≠==而 。

〔２〕C
A B A =
否，例：A={1，2，3}，B={2，3}，C={2，3，4}
C B ,}3,2{C A B A ≠==而 。

〔３〕C A B A ⊕=⊕
矛盾若若不妨若对C A a ,C A a ,C A a ,
B A a ,B A a ,B A a ,A a ;
C A a ,C A a ,C A a ,
B A a ,B A a ,B A a ,A a ,
C a ,B a ,,C B ,⊕∉∉∉⊕∈∉∈∉⊕∈∉∈⊕∉∈∈∈∉∈∃≠ 〔４〕C A B A C A B A ==且
C B ,B C ,,C B ,C b ,C A B A b ,A b ,
C b ,C A B A b ,A b ,B b =∴⊆⊆∴∈=∉∉∈=∈∈∈∀同理若若
9. (1) B A )C B ()B A ( ⊆
B A a ,A a ,B a ,)B A (a ;B a ,B a ,)
C B (a ,a :∈∴∈∉∈∈∉∉∈∀而左证
(2)φ≠⊆⊆B ,)C A (B )C B (A 则且若 。

矛盾即若,B a B a ,C a ,)C B (A a ),
C A ()C A (B a ,B ∉∈∴∉⊆∈=⊆∈∃φ≠
10．化简
A
B )A B ()A B ()A A (A
)B A (A )B A ()A ))C B (A (())B A ()C B A ((-=-φ===-=-
11. 设A={2，3，4}，B={1，2}，C={4，5，6}，求 〔１〕
4} 3, {1,B A =⊕
〔２〕}
6,5,3,1{C B A =⊕⊕
〔３〕}
6,5,3,2{)C B ()B A (=⊕⊕⊕
12. 设A={1，2，3，4}，B={1，2，5}，求 (1) =)B (P )A (P {φ,{1},{2},{1,2}} (2) =)B (P )A (P
{φ,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}, {1,2,3,},{1,2,4,},{1,3,4,},{2,3,4},{1,2,3,4,},{5},{1,5}, {2,5},{1,2} } (3)=-)B (P )A (P
{ {3},{4},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, {2,3,4},{1,2,3,4} } (4)=⊕)B (P )A (P
{{3},{4},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, {2,3,4},{1,2,3,4},{5},{1,5},{2,5},{1,2,5} }
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