a的中心化子做成pn乘n的交换子环的充要条件

a的中心化子做成pn乘n的交换子环的充要条件
首先，我们需要了解一些基本概念：
1. 中心化子：对于一个群G，其中心化子Z(G)定义为所有固定群G中任意元素g的子群，即Z(G)={z∈G | zg=gz}。

2. 乘积交换子群：对于一个群G，其乘积交换子群定义为所有能表示为若干个G中元素乘积的群，且满足任意两个元素之间都可交换。

即H={h∈G | h=g1g2...gn, g1,g2,...,gn∈G, gi与gj可交换}。

有了以上的基础知识，我们可以回答该问题：
设A为群G的子群。

则A是G的中心化子的充分必要条件是A是G的一个乘积交换子群。

其中，“充分必要条件”表示条件是等价的，即如果A是G的中心化子，则A 一定是G的乘积交换子群，反之亦然。

证明：
必要性（即给定A为G的中心化子时，证明A是G的乘积交换子群）：
由于A为G的中心化子，所以对于任意g∈G，都有gz=zg，其中z∈A。

因此，对于任意h∈A，都有gh=hg。

同时，由于A是G的子群，所以A中的任意元素也都属于G，因此A也满足乘积封闭性。

所以A是G的一个交换子群。

接下来，我们需要证明A是乘积交换子群。

设a1,a2,...,an∈A，且任意两个元素之间都可交换，则有：
a1a2...an = a2a1...an = ... = an...a2a1
因此，A是G的一个乘积交换子群。

充分性（即给定A是G的乘积交换子群时，证明A是G的中心化子）：
对于任意a∈A和任意g∈G，我们需要证明ag=ga。

由于A是乘积交换子群，所以可以将a表示为若干个G中元素的乘积，且这些元素都可交换。

即a=g1g2...gn，其中g1,g2,...,gn∈G，且gi与gj可交换。

因此，我们有：
ag = g1g2...gn g = g1g2...gn-1 (ggng-1) (1)
ga = g g1g2...gn = g1g2...gn-1 (ggng-1)...gg1
由于ggng-1和gng-1g都在G中，因此它们可交换。

因此，我们可以将上式变形为：
ag = g1g2...gn-1 (ggng-1)gng-2 (1)
ga = g1g2...gn-1 ggng-1gng-2...g1
由于ggng-1和gng-1g可交换，因此上式中的两个乘积是相等的，即ag=ga。

因此，A是G的中心化子。

综上所述，A是G的中心化子的充分必要条件是A是G的一个乘积交换子群。