高中数学选修2-1课时作业2：3.2 立体几何中的向量方法(二)

第2课时空间向量与垂直关系
一、基础达标
1．若直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则() A．l1∥l2B．l1⊥l2
C．l1、l2相交但不垂直D．不能确定
[答案] B
[解析]∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，
∴a⊥b，∴l1⊥l2.
2．若a＝(2，－1，0)，b＝(3，－4，7)，且(λa＋b)⊥a，则λ的值是() A．0 B．1 C．－2 D．2
[答案] C
[解析]λa＋b＝λ(2，－1，0)＋(3，－4，7)
＝(3＋2λ，－4－λ，7)．
∵(λa＋b)⊥a，
∴2(3＋2λ)＋4＋λ＝0，即λ＝－2.
3．若平面α，β平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是()
A ．n 1＝(1，2，3)，n 2＝(－3，2，1)
B ．n 1＝(1，2，2)，n 2＝(－2，2，1)
C ．n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－2，2，1)
D ．n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－2，－2，－2) [答案] D
[解析] 两个平面平行时，其法向量也平行，检验知正确选项为D.
4．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y ，2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是
( )
A ．－3或1
B ．3或－1
C ．－3
D ．1
[答案] A [解析] |a |＝
22＋42＋x 2＝6，∴x ＝±4， 又∵a ⊥b ，∴a·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0， ∴y ＝－1－1
2x ，∴当x ＝4时，y ＝－3， 当x ＝－4时，y ＝1，∴x ＋y ＝1或－3.
5．已知平面α上的两个向量a ＝(2，3，1)，b ＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为
( )
A ．(1，－1，1)
B ．(2，－1，1)
C ．(－2，1，1)
D ．(－1，1，－1)
[答案] C
[解析] 显然a 与b 不平行，
设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ·
n ＝0，b ·n ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝0，
5x ＋6y ＋4z ＝0.令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1， ∴n ＝(－2，1，1)．
6．下列命题中：
①若u，v分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v＝0；
②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
正确的命题序号是________．
[答案]①②③
[解析]两平面垂直则它们的法向量垂直，反之亦然．
7．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，
P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F
分别是AD，PC的中点．
证明：PC⊥平面BEF.
证明如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所
在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝22，四边形ABCD是
矩形，
∴A，B，C，D，P的坐标分别为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，22，0)，D(0，22，0)，P(0，0，2)．
又E，F分别是AD，PC的中点，
∴E(0，2，0)，F(1，2，1)．
∴PC→＝(2，22，－2)，BF→＝(－1，2，1)，EF→＝(1，0，1)．
∴PC→·BF→＝－2＋4－2＝0，PC→·EF→＝2＋0－2＝0.
∴PC→⊥BF→，PC→⊥EF→.
∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F，
∴PC⊥平面BEF.
二、能力提升
8．已知A (1，0，0)、B (0，1，0)、C (0，0，1)，则平面ABC 的一个单位法向量是
( )
A ．(33，33，－3
3) B ．(33，－33，33) C ．(－33，33，3
3)
D ．(－33，－33，－3
3)
[答案] D
[解析] AB
→＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，1)．
设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵⎩⎨⎧AB →·
n ＝0，AC
→·n ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.
令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1，1，1)， 单位法向量为±n
|n |＝±(33，33，
33)．
9．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB
→＝(2，－1，－4)，
AD
→＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP
→是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →. 其中正确的是________(填序号)． [答案] ①②③
[解析] AP →·AB →＝(－1，2，－1)·
(2，－1，－4) ＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0， ∴AP ⊥AB ，即①正确．
AP →·AD →＝(－1，2，－1)·(4，2，0) ＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0.
∴AP ⊥AD ，即②正确．
又∵AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ，
即AP
→是平面ABCD 的一个法向量，③正确．④不正确． 10．如图等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一个公共边AB ，
二面角C －AB －D 的余弦值为3
3，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成角的余弦值等于________． [答案] 1
6
[解析] 设AB ＝2，过点C 作CO ⊥平面ABDE ，OH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C －AB －D 的平面角．∵CH ＝3，OH ＝CH ·cos ∠CHO ＝1，结合等边△ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN ＝EM ＝CH ＝3，AN →＝12
(AC →＋AB →)，EM →＝12
AC →－AE →，AN →·EM →＝12
(AB →＋AC →)·(12
AC →－AE →)＝12
，故
EM 、AN 所成角的余弦值为AN →·EM
→
|AN
→|·|EM →|＝16.
11．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，
侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点． (1)求证：P A ∥平面EDB ；
(2)求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值．
(1)证明 如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，设DC ＝
a .连接AC ，AC 交BD 于G ，连接EG . 由题意，得A (a ，0，0)，P (0，0，a )， E ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，a 2，a 2. ∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，
故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 2，a 2，0，
∴P A →＝(a ，0，－a )，EG
→＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，0，－a 2， ∴P A →＝2EG →，这表明 P A ∥EG .
而EG ⊂平面EDB ，且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .
(2)解 由题意，得B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)． 取DC 的中点F ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，a 2，0，连接EF ，BF .
∵FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，a 2，FB →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ，a 2，0，DC →＝(0，a ，0)，
∴FE
→·FB →＝0，FE →·DC →＝0， ∴FE ⊥FB ，FE ⊥DC .又FB ∩DC ＝F ，
∴EF ⊥底面ABCD ，BF 为BE 在底面ABCD 内的射影， 故∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的角．
在Rt △EFB 中，|FE
→|＝a 2
，|FB →|＝
a 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 22
＝52a ，
∴tan ∠EBF ＝|FE
→||FB →|
＝a 252a
＝5
5，
∴EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为5
5.
12. 如图所示，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点．求证：平面DEA ⊥平面ECA .
证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，不妨设CA ＝2，
则CE ＝2，BD ＝1，C (0，0，0)，A (3，1，0)，B (0，2，0)，E (0，0，2)，D (0，2，1)．
所以EA →＝(3，1，－2)，CE →＝(0，0，2)，ED →＝(0，2，－1)．
分别设面CEA 与面DEA 的法向量是n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧n 1·EA →＝0，n 1·CE →＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋y 1－2z 1＝0，2z 1＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝－3x 1，z 1＝0.
⎩⎨⎧n 2·EA
→＝0，
n 2·ED →
＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋y 2－2z 2＝0，2y 2－z 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2，z 2＝2y 2. 不妨取n 1＝(1，－3，0)，n 2＝(3，1，2)， 因为n 1·n 2＝0，所以两个法向量相互垂直． 所以平面DEA ⊥平面ECA . 三、探究与创新
13．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点． (1)求证：A 1E ⊥BD ；
(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置． 解 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐
标系．设正方体棱长为a ，则A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )．
(1)A 1E →＝(－a ，a ，e －a )， BD
→＝(－a ，－a ，0)， A 1E →·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴A 1E →⊥BD →，即A 1E ⊥BD .
(2)设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)．
∵DB →＝(a ，a ，0)，DA 1→＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )， ∴n 1·DB →＝0，n 1·DA 1→＝0，n 2·DB →＝0，n 2·DE →＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，
⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，
ay 2＋ez 2＝0.
取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，a
e )． 由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2. ∴2－a e ＝0，即e ＝a 2.
∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。