2019年高考数学一轮复习：一元二次不等式及其解法

2019年高考数学一轮复习：一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法
1．解不等式的有关理论
(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是；
(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的；
(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．
2．一元一次不等式解法
任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是．
3．一元二次不等式及其解法
(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．
(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取__________，小于号取__________”求解集．
4.分式不等式解法
(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为
f（x）
g（x）
的形式．
(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：
f（x）
g（x）
＞0⇔f(x)g(x)＞0；
f（x）
g（x）
＜0 ⇔f(x)g(x)＜0；
f（x）
g（x）
≥0 ⇔
⎩⎪
⎨
⎪⎧f（x）g（x）≥0，
g（x）≠0；
f（x）
g（x）
≤0 ⇔
⎩⎪
⎨
⎪⎧f（x）g（x）≤0，
g（x）≠0.
自查自纠
1．(1)同解不等式(2)同解变形
2.
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
x|x＞
b
a⎩⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
x|x＜
b
a a＝0，b＜0
3．(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间
(4)①{}x |x ＜x 1或x ＞x 2 ②⎩⎨⎧
⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2a ③∅
(2016·宜昌模拟)设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，
集合B 为函数y ＝1
x －1
的定义域，则A ∩B 等于( )
A ．(1，2)
B ．[1，2]
C ．[1，2)
D ．(1，2] 解：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤
2}．故选D .
(2016·梧州模拟)不等式
2
x ＋1
<1的解集是( )
A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－1，1)
解：因为2x ＋1<1，所以2
x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该
不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，所以x <－1
或x >1.故选A .
(2016·青海模拟)不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －
4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，2]
B ．(－2，2]
C ．(－2，2)
D ．(－∞，2)
解：当a ≠2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，
Δ＜0， 所以－2<a <2.当a
＝2时，原式化为－4<0，恒成立．所以－
2<a ≤2.故选B .
(2015·广东)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为
________．(用区间表示)
解：由－x 2－3x ＋4＞0得x 2＋3x －4＜0，解得－4＜x ＜1.故填
(－4，1)．
(北京市2017届普通高中会考)如果关于x 的不
等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a 等于________．
解：不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，则1，3是方程x 2－ax －b ＝0的两根，由根与系数的关系，得a ＝1＋3＝4，－b ＝1×3＝3，b ＝－3，所以b a ＝
81.故
填81.
类型一 一元二次不等式的解法
(1)解下列不等式： (Ⅰ)x 2－7x ＋12＞0； (Ⅱ)x 2－2x ＋1＜0.
解：(Ⅰ)方程x 2－7x ＋12＝0的解为x 1＝3，x 2＝4. 而y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得原不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．
(Ⅱ)方程x 2－2x ＋1＝0有两个相同的解x 1＝x 2＝1. 而y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.
(2)解关于 x 的不等式 kx 2－2x ＋k ＜0(k ∈R )． 解：①当 k ＝0 时，不等式的解为 x ＞0. ②当 k ＞0 时，若Δ＝4－4k 2＞0，即 0＜k ＜1 时，
不等式的解为1－1－k 2k ＜x ＜1＋1－k 2
k
；
若Δ≤0，即 k ≥1 时，不等式无解． ③当 k ＜0 时，
若Δ＝4－4k 2
＞0，即－1＜k ＜0时，x ＜
1＋1－k 2
k
或x ＞1－1－k 2
k
；
若Δ＜0，即 k ＜－1 时，不等式的解集为 R ； 若Δ＝0，即 k ＝－1 时，不等式的解为 x ≠－1. 综上所述，
当k ≥1 时，不等式的解集为∅；
当0＜k ＜1 时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |1－1－k 2k ＜x ＜
1＋1－k 2k ； 当k ＝0 时，不等式的解集为{x |x ＞0}； 当－1＜k ＜0时，不等式的解集为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＜1＋1－k 2k 或x ＞
1－1－k 2k ； 当k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}； 当k ＜－1时，不等式的解集为R .
【点拨】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不
等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论：①根据二次项系数讨论(大于 0，小于 0，等于 0)；②根据根的判别式讨论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)；③根据根的大小讨论(x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2)．
(1)解下列不等式：
(Ⅰ)－x 2
－2x ＋3≥0； (Ⅱ)x 2
－2x ＋2＞0.
解：(Ⅰ)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2
＋2x －3≤0.
方程x 2
＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1. 而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2
－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．
(Ⅱ)因为Δ＜0，所以方程x 2
－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2
－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2
－2x ＋2＞0的解集为R .
(2)(2015·贵州模拟)关于x 的不等式x 2
－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值范围是________．
解：原不等式可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a ≤5；当a <1时，得a <x <1，此时解集中的整数为－2，－1，0.则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4，5]．故填[－3，－2)∪(4，5]．
类型二 二次不等式、二次函数及二次
方程的关系
(1)(2015·贵州模拟)已知不等式ax 2＋bx ＋
2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )
A.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x |x <－1或x >12 B.⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |－1<x <12
C.{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1} 解：由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，且a ＜0.
由韦达定理得⎩⎨⎧－1＋2＝－b
a ，（－1）×2＝2a
⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝1.
所以不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.
解得－1＜x ＜1
2.故选B .
【点拨】已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．
(2)若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－1，1)
D ．[0，1)
解法一：令f (x )＝2ax 2－x －1，则f (0)·f (1)＜0，即－1×(2a －2)＜0，解得a ＞1.
解法二：当a ＝0时，x ＝－1，不合题意，故排除C ，D ；当a ＝－2时，方程可化为4x 2＋x ＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a ＝－2不适合，排除A.故选B .
【点拨】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，画出相应函数的图象后“看图说话”，主要从以下四个方面分析：①开口方向；②判别式；③
区间端点函数值的正负；④对称轴x ＝－b
2a 与区间端点
的关系．本书2.4节有较详细的讨论，可参看．
(1)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为
{x |x <1或x >b }．
(Ⅰ)求a ，b ；
(Ⅱ)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.
解：(Ⅰ)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得
⎩
⎨⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a
.
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝2. (Ⅱ)不等式ax 2－(a
c ＋b )x ＋bc <0， 即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }； ②当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}； ③当c ＝2时，不等式的解集为∅.
(2)(2015·贵州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2
－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为________．
解：根据题意有f (－2)f (－1)<0，
所以(6a ＋5)(2a ＋3)<0.所以－32<a <－5
6.
又a ∈Z ，所以a ＝－1.检验知合要求． 不等式f (x )>1即为－x 2－x ＋1>1，解得－1<x <0. 故填{x|－1＜x ＜0}．
类型三 分式不等式的解法
(1)不等式1
x
<1的解集为________．
解：1x <1⇔1
x －1<0⇔1－x x <0⇔x －1x >0，解得x <0，
或x >1.故填(－∞，0)∪(1，＋∞)．
(2)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )
A ．{x |－1≤x ＜0}
B ．{x |0＜x ≤1}
C ．{x |0≤x ≤2}
D ．{x |0≤x ≤1} 解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x （x －2）≤0，x ≠0 的解集，求出B ＝{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．故选B .
【点拨】首先通过“移项、通分”，将不等式右边化为0，左边化为f （x ）
g （x ）的形式，将原分式不等式化
为标准型，然后将化为标准型的分式不等式等价转化为整式不等式(组)来求解，注意分母不为0.
(1)不等式x －1
2x ＋1
≤1的解集为________．
解：x －12x ＋1≤1 ⇔ x －12x ＋1－1≤0 ⇔ －x －22x ＋1
≤0 ⇔
x ＋2
2x ＋1
≥0. 解法一：x ＋2
2x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0.
得⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x ＞－12或x ≤－2. 解法二：x ＋2
2x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2x ＋1＞0 或 ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，2x ＋1＜0.
得⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x ＞－12或x ≤－2.
故填⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x|x ＞－12或x ≤－2.
(2)(2016·丽水模拟)已知两个集合A ＝{x |y ＝ln(－
x 2＋x ＋2)}，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |
2x ＋1e －x ≤0，则A ∩B ＝( ) A.⎣⎡⎭⎫－12，2 B.⎝
⎛⎦⎤－1，－12 C ．(－1，e) D ．(2，e)
解：由题意得A ＝{x |－x 2＋x ＋2>0}＝{x |－
1<x <2}，B ＝⎩⎨⎧
⎭⎬⎫x |x >e 或x ≤－12，故A ∩B ＝⎝⎛⎦⎤－1，－12.故选B .
类型四 和一元二次不等式有关的恒成
立问题
(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切
x ∈⎝⎛⎦
⎤0，1
2成立，则实数a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－5
2 D ．－3
解法一：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝⎛⎦
⎤0，12， 所以a ≥－⎝⎛⎭
⎫x ＋1x .因为f (x )＝
x ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，1
2上是减函数，
所以⎝
⎛⎭⎫－x －1x max
＝－52.所以a ≥－5
2.
解法二：令f (x )＝x 2＋ax ＋1，对称轴为x ＝－a
2
.
①⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤0，f （0）≥0
⇒a ≥0.(如图1)
②⎩⎨⎧0＜－a 2＜1
2
，
f ⎝⎛⎭⎫－a 2≥0
⇒－1＜a ＜0.(如图2)
③⎩⎨⎧－a 2≥12，f ⎝⎛⎭⎫
12≥0
⇒－52≤a ≤－1.(如图
3)
图1
图2
图3
综上 ①②③，a ≥－5
2.故选C .
(2)已知对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2
＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )
A ．{x |1＜x ＜3}
B ．{x |x ＜1或x ＞3}
C ．{x |1＜x ＜2}
D ．{x |x ＜1或x ＞2} 解：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2
－4x ＋4，a ∈[－1，1]，
依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （－1）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2
－3x ＋2＞0，
x 2－5x ＋6＞0⇒x
＜1或x ＞3，故选B .
【点拨】(1)一元二次不等式恒成立问题，对于x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a ＞f (x )(a ＜f (x ))型恒成立问题，再利用a ＞f (x )max (a ＜f (x )min )，求出参数范围．解法二化归为二次函数，由于是轴动区间定，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围．(2)对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围．(3)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
(1)(2016·南昌模拟)对于任意实数x ，不
等式mx 2＋mx －1<0恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－4)
B ．(－∞，－4]
C ．(－4，0)
D ．(－4，0] 解：当m ＝0时，不等式显然成立； 当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，
Δ＝m 2
＋4m <0 得－4<m <0. 综上所述，所求实数m 的取值范围是(－4，0]．故选D .
(2)对于满足|a |≤2的所有实数a ，使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围为________．
解：原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1＞0，设f (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则f (a )在[－2，2]上恒大于
0，故有：⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （2）＞0 即⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
－4x ＋3＞0，
x 2－1＞0 解得
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1，
x ＞1或x ＜－1. 所以x ＜－1或x ＞3.故填(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的解集的确定，受二次项系数a 的符号及判别式Δ＝b 2－4ac 的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒大于0的条件是a ＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a ＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．
2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组.
(
)注：形如f （x ）g （x ）≥0或f （x ）
g （x ）
≤0的不等式称为非严格分式不等式
3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．
4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．
5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．
6．对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：
1．不等式x 2－x －2≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1，2] B ．[－1，2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D ．(－1，2] 解：原不等式⇔(x ＋1)(x －2)≤0，即x ∈[－1，2]，故选B .
2．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x －1x ＋1≤0，B ＝{x ||x |≤1}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的( )
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：A ＝{x |－1<x ≤1}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，则A 是B 的真子集．故选C .
3．(四川省广元市2017届适应性统考(三诊))已知集合A ＝{x |x 2－4x ＜0}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )
A ．(0，4]
B ．(－∞，4)
C ．[4，＋∞)
D ．(4，＋∞) 解：集合A ＝{x |x 2
－4x ＜0}＝(0，4)，B ＝{x |x ＜a }＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 满足a ≥4.故选C .
4．(2015·湖北模拟)不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )
解：由题意得⎩⎨⎧－2＋1＝1
a ，－2×1＝－c a ，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，
c ＝－2.则
f (x )＝－x 2－x ＋2，所以f (－x )＝－x 2＋x ＋2.故选C .
5．(北京朝阳区2017届高三上学期期中)已知函数f (x )＝ax 2－x ，若对任意x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，
不等式f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范
围是( )
A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞
B.⎣⎡⎭⎫1
2，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D.⎣⎡⎭
⎫1
4，＋∞ 解：任意x 1，x 2∈[2，＋∞)，当x 1<x 2，
f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2>0有f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )＝ax 2－x 在
区间[2，＋∞)上是增函数，所以a >0，且函数f (x )＝ax 2
－x 对称轴12a ≤2⇒a ≥1
4
.故选D .
6．(2016·黄冈模拟)若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )
A ．[1，19]
B ．(1，19)
C ．[1，19)
D ．(1，19]
解：函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．
当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意．
当a 2＋4a －5≠0时， 应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＞0，16（a －1）2－12（a 2
＋4a －5）＜0， 解得1<a <19.
综上1≤a <19.故选C .
7．(2015·浙江模拟)不等式log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1
x ＋6≤3的解集为________．
解：log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋6≤3⇔log 2⎝⎛⎭
⎫x ＋1
x ＋6≤log 28⇔0
＜x ＋1x ＋6≤8⇔－6＜x ＋1x ≤2.当x ＞0时，x ＋1
x
≥2，
此时x ＝1；当x ＜0时，x ＋1x ≤－2，此时x ＋1
x ＞－6，
解得－3－22＜x ＜－3＋2 2.故填(－3－22，－3＋22)∪{1}．
8．(广州市2017届高三第一次模拟)已知a <0，关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0的解集是________． 解：原不等式等价为(x －2)(ax －2)>0，即a (x －2)(x
－2
a
)>0，因为a <0，所以不等式等价为(x －2)⎝⎛⎭⎫x －2a <0，所以2
a
<x <2，即原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫2a ，2.故填⎝⎛⎭⎫2a ，2. 9．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，求实数a 的取值范围．
解法一：设f (x )＝x 2－ax －a .则关于x 的不等式x 2
－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )min ≤－3，即f ⎝⎛⎭⎫
a 2＝－4a ＋a 24
≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.
解法二：x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔x 2－ax －a ＋3＝0的判别式Δ≥0，解得a ≤－6或a ≥2.
10．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根大于－2且小于0，另一个根大于1且小于3，求实数a 的取值范围．
解：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则由题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （0）＜0，f （1）＜0，f （3）＞0.
即⎩⎪⎨⎪⎧22＋a ＞0，
a ＜0，
－2＋a ＜0，12＋a ＞0.
解得－12＜a
＜0.
故实数a 的取值范围为(－12，0)．
(2016·湖北模拟)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0
的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c .
(1)求证：函数y ＝f (x )必有两个不同的零点； (2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为m ，n ，求|m －n |的取值范围．
解：(1)证明：由题意知a ＜0，a ＋b ＋c ＝0，且－b
2a
>1，所以c ＜a ＜0，所以ac >0，所以对于函数f (x )＝ax 2
＋(a －b )x －c 有Δ＝(a －b )2
＋4ac >0，所以函数y ＝f (x )必有两个不同零点．
(2)|m －n |2
＝(m ＋n )2
－4mn ＝（b －a ）2＋4ac
a 2
＝
（－2a －c ）2＋4ac a 2
＝⎝⎛⎭⎫c a 2＋8·c
a
＋4， 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )可知，方程
ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和t (t >1)，由根与系
数的关系知c
a
＝t ，所以|m －n |2＝t 2＋8t ＋4，t ∈(1，＋∞)．
所以|m －n |>13，
所以|m －n |的取值范围为(13，＋∞)．
1．不等式x －1
2x ＋1≤0的解集为( )
A.⎝⎛⎦⎤－1
2，1 B.⎣⎡⎦
⎤－1
2，1 C.⎝
⎛⎭⎫－∞，－1
2∪[1，＋∞) D.⎝
⎛⎦⎤－∞，－1
2∪[1，＋∞) 解：x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0得－1
2<x
≤1.故选A .
2．已知－12<1
x
<2，则x 的取值范围是( )
A ．(－2，0)∪⎝⎛⎭
⎫0，12 B.⎝⎛⎭
⎫－1
2，2 C.⎝
⎛⎭⎫－∞，－1
2∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫1
2，＋∞ 解：当x >0时，x >1
2
；当x <0时，x <－2.
所以x 的取值范围是x <－2或x >1
2，故选D .
3．(2016·山东枣庄一模)关于x 的不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是( )
A ．a <0或a >4
B ．0<a <2
C ．0<a <4
D ．0<a <8
解：因为不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充要条件是Δ＝a 2－4a <0，即0<a <4，所以不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是0<a <2.故选B .
4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭
⎫－12，13，则不等式bx 2＋2x －a <0的解集是( ) A ．{x |x <－2或x >3} B ．{x |x <－3或x >2} C ．{x |－2<x <3} D ．{x |－3<x <2}
解：由条件得－12，1
3是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，
由韦达定理，a ＝－12, b ＝－2，所以bx 2＋2x －a <0
即为－2x 2＋2x ＋12<0，解得x <－2或x >3.故选A . 5．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为
⎩
⎨⎧
⎭⎬⎫x|x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )
A ．{x |x <－1或x >lg2}
B ．{x |－1<x <lg2}
C ．{x |x >－lg2}
D ．{x |x <－lg2}
解：可设f (x )＝a (x ＋1)⎝⎛⎭
⎫x －1
2(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)⎝⎛⎭⎫10x －12<0，从而10x <1
2，解得x <－lg2，故选D .
6．(2016·云南模拟)若关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是( )
A ．[－4，1]
B ．[－4，3]
C ．[1，3]
D ．[－1，3]
解：原不等式等价于(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.故选B .
7．(2016·广东惠州模拟)不等式9
x －7＜－1的解集
为________．
解：由9
x －7＜－1得x ＋2x －7＜0，可化为(x ＋2)(x －7)
＜0，解得－2＜x ＜7.故填(－2，7)．
8．(2016·西安模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________.
解：由题意得a 2
－4b ＝0，所以b ＝a 24
.
所以f (x )<c 可化为x 2＋ax ＋a
24－c <0，
由题意知m 和m ＋6为关于x 的一元二次方程x 2
＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，所以⎩
⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋6＝－a ，m （m ＋6）＝a 2
4－c ， 所以c ＝a
2
4－m (m ＋6)＝（2m ＋6）24－m (m ＋6)＝
9.故填9.
9．(2016·西安模拟)某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销量就要减少10件．那么要保证该商品每天的利润在320元以上，求其每件售价的取值范围．
解：设售价定为每件x 元，利润为y 元，则：
y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，
依题意，有(x －8)[100－10(x －10)]＞320， 即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16， 所以每件售价的取值范围为(12，16)(单位：元)． 10．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解：不等式整理为ax 2＋(a －2)x －2≥0， 当a ＝0时，解集为(－∞，－1]．
当a ≠0时，ax 2＋(a －2)x －2＝0的两根为－1，2
a
，
所以当a ＞0时，解集为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞；
当－2＜a ＜0时，解集为⎣⎡⎦⎤2
a ，－1； 当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}； 当a ＜－2时，解集为⎣
⎡⎦⎤－1，2a
. (2016·郑州模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx
＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．
(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1
a ，比较f (x )与m 的大小．
解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.
那么当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；
当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)． 因为a >0，且0<x <m <n <1a ，
所以x －m <0，1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .
2019年高考数学一轮复习第9 页共9 页。