多元函数的求导法则

xy
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例3. 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解: dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
d (xy)
d (x y)
(yd x xdy) exy[ y sin(x y) cos(x y)]d x
(dx dy)
dy
所以
例1 . z eu sin v, u xy, v x y, 求 z , z . x y
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内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
( u dx u dy ) x y
( v dx v dy ) x y
du dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
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例 5. 利用全微分形式不变性再解例1.
解: dz d( eu sin v ) eu cos v dv
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”
例如,
u
1 ;
2 x y v
2. 全微分形式不变性
xy
不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z fu (u ,v) d u fv (u ,v) d v
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7习题3
P171 习题 5 6 P174 习题1 （4） P178 习题 4 6（1），（3）7
x y
解: z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
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例2. u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u,v, w) ,
u (t), v (t), w (t)
dz z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
z
uvw
f1 f2 f3
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
t tt
z f (u,v) , u (x, y), v (x, y)
z x
z u z v u x v x
f11
f21
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
x yx y
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又如, z f (x,v), v (x, y)
f22 x y
为简便 起f11见
,y引(x入 z记) f号12
f1xy
2zf u
f,22f12yf2u2fv
,
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二、多元复合函数的全微分
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设函数
都可微,
则复合函数 z f ( (x, y), (x, y))的全微分为
dz z dx z dy x y
( z u z v ) dy u y v y
解: u f x x
2xe
x2
y2
z2
2ze
x2
y2
z
2
2
x
sin
y
2 x (1 2 x2 sin2 y) ex2 y2 x4 sin 2 y
u xyz
u y
f y
f z
z y
2ye x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x2 cos y
2 ( y x4 sin y cos y ) ex2 y2 x4 sin 2 y
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例4. 设
f 具有二阶连续偏导数,
求 w, 2w . x xz
w , f1 , f2
解: 令 u x y z , v xyz , 则
uv
w f (u, v)
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
2w xz
f12 xy
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z x
f x
z
y
f1 f21 f2 2
xv xy
注意: 这里 z 与 f 不同, x x
z 表示固定 y 对 x 求导, f 表示固定 v 对 x 求导
x
x
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
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例1. 设 z eu sin v , u xy , v x y , 求 z , z .
u v
z f (u,v)
z
uv tt
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z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t
则有u 0, v 0,
z
u du , v dv t dt t dt
uv
o( )
tt
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z z d u z dv ( 全导数公式 ) d t u d t v d t