2018全国卷2文科数学试卷及答案

绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

学 科网 ．()i 23i +=
．32i -
．32i +
．32i --
．32i -+
．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A
B =
．{}3
．{}5
．{}3,5
．{}1,2,3,4,5,7
．函数()2
e e x x
f x x --=的图像大致为
．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b ．
．
．
．
．从 名男同学和 名女同学中任选 人参加社区服务，则选中的 人都是女同学的概率为 ．0.6
．0.5
．0.4
．0.3
．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>3
．y =
．y =
．y =
．y = ．在ABC △
中，cos 2C =
1BC =，5AC =，则AB =
．
． ．为计算111
11
123499100
S =-+-+
+
-
，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入
．1
i i =+ ．2
i i =+ ．3i i =+
．4i i =+
．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 ．若()cos sin f x x x =
-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是
．
π4
．
π2
．
3π4
．π
．已知1
F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为
．1-
．2 1
．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)f f f ++(50)f +
+=
．50- ． ． ．
二、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分。

．曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为 ．
．若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-⎧⎪
-+⎨⎪-⎩
≥≥≤则z x y =+的最大值为 ．
．已知5π
1
tan()45
α-
=，则tan α= ． ．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为 ．
三、解答题：共 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第 ～ 题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第 、 为选考题。

考生根据要求作答。

（一）必考题：共 分。

．（ 分） 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （ ）求{}n a 的通项公式；
（ ）求n S ，并求n S 的最小值．
．（ 分）
下图是某地区 年至 年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区 年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据 年至 年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,
,17）建立模型①：
ˆ30.413.5y
t =-+；根据 年至 年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7）
建立模型②：ˆ9917.5y
t =+． （ ）分别利用这两个模型，求该地区 年的环境基础设施投资额的预测值；
（ ）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． ．（ 分）
如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（ ）证明：PO ⊥平面ABC ；
（ ）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．
．（ 分） 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （ ）求l 的方程；
（ ）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
．（ 分）
已知函数()()
321
13
f x x a x x =-++．
（ ）若3a =，求()f x 的单调区间；
（ ）证明：()f x 只有一个零点．
（二）选考题：共 分。

请考生在第 、 题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

． 选修 － ：坐标系与参数方程 （ 分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,
4sin x θy θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为
1cos ,
2sin x t αy t α=+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数）． （ ）求C 和l 的直角坐标方程；
（ ）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．
． 选修 － ：不等式选讲 （ 分）
设函数()5|||2|f x x a x =-+--．
（ ）当1
a 时，求不等式()0
f x≥的解集；
（ ）若()1
f x≤，求a的取值范围．
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文科数学试题参考答案
一、选择题
． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
．
二、填空题
． ． ．3
2
．
三、解答题
．解：
（ ）设 的公差为 ，由题意得 ．由 得 ．
所以 的通项公式为 ．
（ ）由（ ）得 （ ） ．
所以当 时， 取得最小值，最小值为 ．
．解：
（ ）利用模型①，该地区 年的环境基础设施投资额的预测值为
y （亿元）．
利用模型②，该地区 年的环境基础设施投资额的预测值为
y （亿元）．
（ ）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（ ）从折线图可以看出， 年至 年的数据对应的点没有随机散布在直线 上下，这说明利用 年至 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势． 年相对 年的环境基础设施投资额有明显增加， 年至 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 年至 年的数据建立的线性模型y 可以较好地描述 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ ）从计算结果看，相对于 年的环境基础设施投资额 亿元，由模型①得到的预测值 亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型
②得到的预测值更可靠．
以上给出了 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．学科 网
．解：
（ ）因为 ， 为 的中点，所以 ⊥ ，且
连结 ．因为 AC，所以 为等腰直角三角形，且 ⊥ ，
1
2
AC ．
由222
OP OB PB
+=知， ⊥ ．
由 ⊥ ， ⊥ 知 ⊥平面 ．
（ ）作 ⊥ ，垂足为 ．又由（ ）可得 ⊥ ，所以 ⊥平面 ． 故 的长为点 到平面 的距离．
由题设可知 12AC ， 23BC 42
，∠ °．
所以 25
， sin OC MC ACB OM ⋅⋅∠45．
所以点 到平面 45
． ．解：
（ ）由题意得 （ ， ）， 的方程为 （ ）（ ）． 设 （ ， ）， （ ， ）． 由2(1)4y k x y x
=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 2
16160k ∆=+=，故2122
24
k x x k ++=
． 所以2122
44
(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．
由题设知22
44
8k k +=，解得 （舍去）
， ． 因此 的方程为 ．
（ ）由（ ）得 的中点坐标为（ ， ），所以 的垂直平分线方程为 2(3)y x -=--，即5y x =-+．
设所求圆的圆心坐标为（ ， ），则
0022
000
5(1)(1)16.2
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，
解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为
22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． ．解：
（ ）当 时， （ ） 32
13333
x x x ---， （ ） 263x x --．
令 （ ） 解得
3-
3+
当 ∈（
∞，3-
3+ ∞）时， （ ） ； 当
∈（3-
3+ （ ） ．
故 （ ）在（
∞，3-
3+
∞）单调递增，在（3-
3+减．
（ ）由于2
10x x ++>，所以()0f x =等价于3
2
301
x a x x -=++． 设()g x 3
2
31
x a x x -++，则 （ ） 2222(23)(1)x x x x x ++++ ，仅当 时 （ ） ，所以 （ ）在（ ∞， ∞）单调递增．故 （ ）至多有一个零点，从而 （ ）至多有一个零点．学·科网
又 （ ） 2
2111626()0366a a a -+-=---<， （ ） 103
>，故 （ ）有一
个零点．
综上， （ ）只有一个零点． ．解：
（ ）曲线C 的直角坐标方程为22
1416
x y +
=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．
（ ）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程
22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )
13cos t t ααα
++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．
．解：
（ ）当1a =时， 24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （ ）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．
而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．。