广东省珠海市2010届高三模拟试题(3)

广东省珠海市2010届高三模拟试题（3）
数 学
本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时l20分钟。

参考公式：锥体的体积公式1
3
V Sh =
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P =．
n 次独立重复试验概率公式()()
1n k
k k
n n P k C p p -=-
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A ．
21 B ． 3
2
C ．
D ．
2. 若复数z 满足i z i 6)33(=-（i 是虚数单位），则z= （ ）
A. i 2323+-
B. 32-
C. 32+
D.32- 3
．设
1tan 31tan θ
θ+=+-则sin2θ
的值为（ ）
A ．
B
C
D
4．设有三个函数，第一个函数是y=f （x ），它的图象与第二个函数关于直线x-y=0对称，而第三个
函数与第二个函数的图象关于y 轴对称，那么第三个函数是 （ ） A ．y=-f(x)
B ．y=f(-x)
C ．y=-f -1
(x)
D ．y=f -1
(-x)
5．若数列{a n } 的前n 项和Sn=3n+1
-a ,那么要使{a n } 为等比数列，实数a 的值为( ) A ．3
B ．0
C ．-3
D ．不存在
6．如图所示，是二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象，
则|OA|•|OB| 等于 （ ）
A ．
c
a
B ．c a -
C ．c a
± D ．无法确定
7．如右图，该程序运行后输出的结果是( ); A 8 B 15 C ．31 D 63 8．如果直线04122=-++++=my kx y x kx y 与圆交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线0=+y x 对称，则不等式组
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx ，表示的平面区域的面积是 ( ) A ．
41 B 2
1
C ．1
D ．2 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分． 9. 已知b a bx ax x f +++=3)(2
是偶函数，定义域为]2,1[a a -，则b a += 。

10.若P （2，– 1）为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是____________。

11．如
函数1
()1
ax f x x -=+在(,1)-∞-上是减函数,则a 的取值范围是____________。

12．在计算“1223(1)n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：
1
(1)[(1)(2)(1)(1)],3k k k k k k k k +=++--+由此得
112(123012),3⨯=⨯⨯-⨯⨯ 1
23(234123),3
⨯=⨯⨯-⨯⨯
(1)
(1)[(1)(2)(1)(1)].3
n n n n n n n n +=++--+
相加，得1
1223(1)(1)(2).3
n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++
类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++”，其结果为
13．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线ρ=4cos )3
(π
θ-
上任意两点间的距离的最大值
为__________。

14．(不等式选讲选做题) 已知6322
2
=+y x ，则y x 3||+的最大值=M ．
15．(几何证明选讲选做题) 已知平面π截圆柱体,截口是一条封闭曲线,且截面与底面所成的
角为30°,此曲线是 ,它的离心率为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分)
(
)
已知向量，，，，，，其中
a x x
b x x
c =⎛⎝ ⎫⎭⎪=-⎛
⎝ ⎫⎭
⎪=
-cos sin cos sin 32322231
x R ∈.
（I ）当a ⊥b 时，求x 值的集合；
（）求的最大值。

II a c -
17．(本小题满分12分)
某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为
2
1
，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台，得到奖券4张.
(Ⅰ)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；
(Ⅱ)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η（元），用ξ表示η，并求η的数学期望.
18． (本小题满分14分)
()设椭圆的左焦点为（，），左准线与轴交
x a y b a b F x 222
2111020+=>>-l 于点（，），过点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点。

N N o -3030l A B
（）求直线和椭圆的方程；I l
（）求证：点（，）在以线段为直径的圆上；II F AB 120-
（）在直线上有两个不重合的动点、，以为直径且过点的所有III l C D CD F 1
圆中，求面积最小的圆的半径长。

2
1
1a a a 3
1
23
21a a a a a a ……………………………
1
1
1
1211++-+n n n n n n a a a a a a a a a
…………………………………………
19．(本小题满分14分)
在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥AD 平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上． （Ⅰ）求证：B A BC 1⊥；
（Ⅱ）若3=AD ，2==BC AB ，P 为AC 的中点，求三棱锥BC A P 1-的体积．
20．(本小题满分14分)
已知二次函数x ax x f +=2
)(，若对任意x 1、x 2∈R ，恒有2f()2
2
1x x +≤f(x 1)+f(x 2)成立，不等式f(x)<0的解集为A. (1)求集合A ；
(2)设集合}|4||{a x x B <+=，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围。

21．(本小题满分l4分)
已知数列}{n a 满足：21,121==a a ，且=+2n a 1
2
1+++n n n a a a （*
N ∈n ）．
（Ⅰ）求证：数列}{
1
+n n
a a 为等差数列； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅲ）求下表中前n 行所有数的和n S ．
第19题图
B
A
C
D
P
1
B 1
A 1
C
广东省珠海市2010届高三模拟试题（3）
数学参考答案
一．选择题 1．选（C ）
命题意图：本题是针对点到直线的距离公式设置的。

2．选(A)
命题意图：针对复数的运算而设置的。

3．选（B ）
命题意图：本题针对三角函数的运算而设置的。

4．选（D ）
命题意图：本题针对函数对称性而设置的。

5．选（A ）
命题意图：针对考点等比数列及其前n 项和设置的。

能力层次中等。

6．选（B ）
命题意图：本题针对二次函数图象而设置的。

能力层次中等。

7．选（D ）
本题针对算法的流程图而设置的。

难度较高。

8．选（A ）
本题就线性约束条件而设置。

主要测试数形结合思想的运用,难度较高。

二．填空题 9．3
1
命题意图：本题针对偶函数的性质而设置的。

能力层次中等。

10．03=--y x
命题意图：本题考查直线与圆及中点轨迹的求法。

能力层次中等。

11． 1-<a
命题意图：本题考查反比例函数的单调性及分离常数法而设置的，能国层次中等。

12．
1
(1)(2)(3)4
n n n n +++ 1
123(12340123),
4
⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯1
(1)(2)[(1)(2)(3)(1)(1)(2)].4
n n n n n n n n n n n ++=+++--++用 累加的方法即得结果。

命题意图：本题主要考查学生的类比推理能力。

考查数学逻辑思维能力。

难度高。

13．4
命题意图：本题就考查三角函数与极坐标系而设置的。

考查了点到直线的距离公式。

能力层次中等。

14．3
命题意图：本题针对换元及不等式而设置的。

15．椭圆,
12，椭圆的短轴长为圆柱底面直径2r,长轴长为23cos303o
r r =，所以离心率为1
2
. 命题意图：本题针对考点几何证明而设置的。

三．解答题
16．解：（）由⊥·I a b a b →
→
→
→
⇔=0
即··cos
cos sin sin 3223220x x x x -=…………………………………………4分
则cos20x =
()得22x k k Z =+
∈ππ
()∴x k k Z =
+∈ππ
24……………………………………………………………5分
∴当⊥时值的集合为，a b x x x k k Z →
→
=+∈⎧⎨⎩⎫
⎬
⎭|ππ24………………………6分
（）II a c a c a a c c a a c c ||()||||→→
→→
→→→
→→
→→→
-=-=-+=-+2
2
2
2
2
222
又||cos sin a x x →=⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫
⎭⎪=222
32321
()||c →
=+-=2
2
2
314……………………………………………………………8分
a b x x x x x →
→=-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎛⎝ ⎫⎭⎪
·332322323212322326cos sin cos sin cos π
∴||cos cos a c x x →
→
-=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪+=-+⎛⎝ ⎫
⎭⎪
214326454326ππ
∴||max a c →→
-=29………………………………………………………………………10分
∴||min a c →→-=3,
即的最大值为||a c →→
-3……………………………12分
或者：||cos sin a c x x →
→
-=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪22
323321，=-⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪cos sin 32
332122
x x =-++++cos cos sin sin 2
232233233223
21x x x x =-⎛⎝
⎫⎭
⎪+2323325sin
cos x x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪+43235sin x π
∴||
max
a c →→
-=2
9，
∴||max a c →→
-=3
命题意图：本题考查向量运算、三角恒等变换、正弦定理、余弦定理及求最值。

考查考生对向量与三角函数的掌握运用能力。

17．解：(Ⅰ)ξ的所有可能值为0，1，2，3，4.…………………………1分
411
(0)()216
P ξ===，
14
4141(1)()2164
P C ξ====，
24
4163(2)()2168
P C ξ====
34
4141(3)()2164
P C ξ====，
44
411(4)()216
P C ξ===. …………………………4分
ξ 0 1 2 3 4
P
161 41 83 41 16
1 (Ⅱ)
1~(4,)2
B ξ，
1
422
E ξ∴=⨯
=. …………………………8分 由题意可知
ξη1002300-=， …………………………10分
230010023002002100E E ηξ∴=-=-=元. …………………………12分
命题意图：本题考查考生的概率知识及运算能力。

考查了分布列和期望的求法。

18．解：
()（）直线：I y x l =
+3
33………………………………………………1分
由已知，c a c ==23
2
解得：，a b a c 22226642==-=-=…………………………………………3分
∴椭圆方程为x y 22
621
+=………………………………………………………4分
y
l 1
N
-3 F 1 O x
B
A
()（）解方程组II x y y x 2236013
332+-=<>=+<>
⎧⎨⎪
⎩
⎪
<><>++=<>212630
32代入，整理得：x x …………………6分
()()设，，，A x y B x y 1122
则，·x x x x 121233
2+=-=
……………………………………………………7分
()()()()
则··k k y x y x x x x x F A F B
11112
21212221
33322=++=++++
()[]=
++++++x x x x x x x x 1212121239324·()
=+-++-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-3
23393322341()()……………………………………………11分
∴⊥，即∠F A F B AF B o 11190=
∴点，在以线段为直径的圆上F AB 120()-………………………………12分
（III ）面积最小的圆的半径应是点F 到直线l 的距离，设为r ………………13分
∴为所求r =
⨯--+⎛⎝ ⎫⎭
⎪+=
3
3
2033311
2
2
()……………………………………14分
B 1
C 1
A 1C
D
P
A
B
()()221111y 2x y 2x B F A F II ，·
，·）的解法二：（++=→
→ ()()=+++x x y y 121222
()()[]
=+++++++x x x x x x x x 12121212241
339
()=
+++=4
3370
1212x x x x
又，x x x x 121233
2+=-=
∴⊥，即∠F A F B AF B o 11190=
()∴点，在以线段为直径的圆上）F AB 120-
命题意图：本题本题考查直线和椭圆的综合运用能力。

考查了考生提取、合并运用信息的能力及考生对解析几何的综合解题能力。

19．（Ⅰ）证明：
三棱柱 111C B A ABC -为直三棱柱，
∴⊥A A 1平面ABC ，
又⊂BC 平面ABC ，
∴BC A A ⊥1 ------------------------------------------------------2分
AD ⊥平面1A BC ，且⊂BC 平面1A BC ， ∴BC AD ⊥.
又 ⊂1AA 平面AB A 1,⊂AD 平面AB A 1,A AD A A =⋂1，
∴BC ⊥平面1A AB ，-----------------------------------5分
第19题图
又⊂B A 1平面BC A 1，
∴ B A BC 1⊥-----------------------------------------------------------------------------7分
（2）在直三棱柱111C B A ABC - 中，⊥A A 1AB .
AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上,
∴
B A AD 1⊥.
在Rt ABD ∠∆中，3AD =AB BC ==2，3sin AD ABD AB ∠=
=0
60ABD ∠=
1Rt ABA ∠∆中， tan AA AB =⋅=016023------------------------------------------------9分
由（1）知BC ⊥平面1A AB ，⊂AB 平面AB A 1,从而AB BC ⊥
2222
1
21=⨯⨯=⋅=
⋅∆BC AB S ABC P 为AC 的中点，12
1
==∆∆ABC BCP
S S --------------------------------------------------11分 ∴=-BC A P V 1
1
1113
1233
3
3
A BCP BCP V S A A -∆=⋅=⨯⨯=
----------------------------14分
命题意图：本题考查立体几何的垂直问题和用等体积法求三棱锥体积的问题。

考查考生的运算能力及空间关系的理解能力。

20．【解析】(1)对任意x 1、x 2∈R ， 由2212121)(2
1
)2(
2)()(x x a x x f x f x f -=+-+≥0成立. 要使上式恒成立，所以0≥a 。

…… ……………………3分
由f(x)=ax 2
+x 是二次函数知a ≠0，故a ＞0. …………………4分
解得)0,1
(a
A -
=。

…………………………………5分 (2) 解得)4,4(---=a a B ，
…………………………………6分
因为集合B 是集合A 的子集，所以04≤-a …………………………………8分 且a
a 14-
≥--， …………………………………11分
化简得0142
≤-+a a ， 解得520+-≤<a
…………………………………14分
命题意图：本题考查二次函数的应用及不等式。

考查考生的运算、推导、判断能力。

21．解：（Ⅰ）由条件21
,121==a a ，=+2n a 1
2
1+++n n n a a a ，得
=++12n n a a 1
1+++n n n a a a ⇒-++21n n a a 11=+n n a a
……………………………………2分
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。

--培根
11 / 11 ∴ 数列}{1
+n n a a 为等差数列． ……………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得11)1(2
11+=⋅-+=+n n a a a a n n ……………………………………4分 ∴⋅=211a a a a n ⋅3
2a a !321n n a a n n =⋅⋅⋅=⋅- ……………………………………7分 ∴!
1n a n = …………………………………… 8分 （Ⅲ）=++-11n k n k a a a k n C k n k n 1)!
1(!)!1(+=+-+ (n k ,,2,1 =) ………………………10分 ∴ 第n 行各数之和
1111211++-++++n n n n n n a a a a a a a a a 22
112111-=+++=++++n n n n n C C C （ ,2,1=n ）……………………12分 ∴ 表中前n 行所有数的和
)22()22()22(132-++-+-=+n n S
231(222)2n n +=+++-
22(21)221
n n -=--2224n n +=--. ……………………14分 命题意图：本题考查数列综合运用的能力。