2017-2018年江苏省盐城中学八年级(下)期中数学试卷(解析版)

2017-2018学年江苏省盐城中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分
1．（3分）下列计算正确的是（）
A．=﹣4B．（a2）3=a5C．a•a3=a4D．2a﹣a=2 2．（3分）函数y=中自变量x的取值范围是（）
A．x≥2B．x＞2C．x≤2D．x≠2
3．（3分）如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（）
A．1B．C．2D．2
4．（3分）如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）
A．直线的一部分B．圆的一部分
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
5．（3分）关于x的方程的解为非正数，且关于x的不等式组无解，那么满足条件的所有整数a的和是（）
A．﹣19B．﹣15C．﹣13D．﹣9
6．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，Q（n，2）是图象上的一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（）
A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣2
7．（3分）如图，等腰直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D是量角器上60°刻度线的外端点，连接CD交AB于点E，则∠CEB的度数为（）
A．60°B．65°C．70°D．75°
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边AD≠BC，分别取AD、BC的中点M、N，连接MN．则AB与MN的关系是（）
A．AB=MN
B．AB＞MN
C．AB＜MN
D．上述三种情况均可能出现
9．（3分）如图，直线m⊥n．在平面直角坐标系xOy中，x轴∥m，y轴∥n．如果以O1为原点，点A 的坐标为（1，1）．将点O1平移2个单位长度到点O2，点A的位置不变，如果以O2为原点，那么点A的坐标可能是（）
A．（3，﹣1）B．（1，﹣3）
C．（﹣2，﹣1）D．（2+1，2+1）
10．（3分）如图，四边形AOBC和四边形CDEF都是正方形，边OA在x轴上，边OB在y轴上，点D在边CB上，反比例函数y=在第二象限的图象经过点E，则正方形AOBC和正方形CDEF的面积之差为（）
A．12B．10C．8D．6
二、填空题：每小题3分，共24分
11．（3分）一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是．
12．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣2的根是．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为（结果保留根号）．
14．（3分）如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是．15．（3分）等腰Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，E、F分别为腰AC、BC上（异于端点）的点，DE⊥DF，AB=10，设x=DE+DF，则x的取值范围为．
16．（3分）如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC 沿着AD方向向右平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于．
17．（3分）对于函数y=x n+x m，我们定义y'=nx n﹣1+mx m﹣1（m、n为常数）．
例如y=x4+x2，则y'=4x3+2x．
已知：y=x3+（m﹣1）x2+m2x．
（1）若方程y′=0有两个相等实数根，则m的值为；
（2）若方程y′=m﹣有两个正数根，则m的取值范围为．
18．（3分）赵爽弦图是由位于第一象限的四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x轴和y轴，大正方形的顶点B1、C1、C2、C3、…、C n在直线y=﹣x+上，顶点D1、D2、D3、…、D n在x轴上，则第n个阴影小正方形
的面积为．
三、解答题，共96分．
19．（6分）计算：（）﹣1﹣2cos30°++（2﹣π）0
20．（6分）先化简代数式1﹣÷，并从﹣1，0，1，3中选取一个合
适的代入求值．
21．（8分）如图，小明站在看台上的A处，测得旗杆顶端D的仰角为15°，当旗杆顶端D的影子刚好落在看台底部B处时，太阳光与地面成60°角．已知∠ABC=60°，AB=4米，求旗杆的高度．（点A与旗杆DE及其影子在同一平面内，
C、B、E三点共线且旗杆与地面垂直，不考虑小明的身高）
22．（10分）有这样一个问题：探究函数y=﹣x的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y=﹣x的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）函数y=﹣x的自变量x的取值范围是；
（2）下表是y与x的几组对应值，求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第二象限内的最低点的坐标是（﹣2，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．
（5）根据函数图象估算方程﹣x=2的根为．（精确到0.1）
23．（8分）一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件，若他每天多做10个，则提前天完成，若他每天少做5个，则要误期3天．问他要做多少个零件？
定期是多少天？
24．（8分）宁波轨道交通4号线已开工建设，计划2020年通车试运营．为了了解镇民对4号线地铁票的定价意向，某镇某校数学兴趣小组开展了“你认为宁波4号地铁起步价定为多少合适”的问卷调查，并将调查结果整理后制成了如下统计图，根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）求本次调查中该兴趣小组随机调查的人数；
（2）请你把条形统计图补充完整；
（3）如果在该镇随机咨询一位居民，那么该居民支持“起步价为2元或3元”的概率是
（4）假设该镇有3万人，请估计该镇支持“起步价为3元”的居民大约有多少人？
25．（12分）随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
（1）该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．
①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；
②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？26．（12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE=∠A．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sinB=，⊙O的半径为r，求△EHG的面积（用含r的代数式表示）．
27．（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，
连接FC．（AB＞AE）．
（1）△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．
28．（14分）已知：如图一，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=x﹣2经过A、C两点，且AB=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E，D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒；设s=，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值．
（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC 相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
2017-2018学年江苏省盐城中学八年级（下）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分
1．（3分）下列计算正确的是（）
A．=﹣4B．（a2）3=a5C．a•a3=a4D．2a﹣a=2
【解答】解：A、=4，故原题计算错误；
B、（a2）3=a6，故原题计算错误；
C、a•a3=a4，故原题计算正确；
D、2a﹣a=a，故原题计算错误；
故选：C．
2．（3分）函数y=中自变量x的取值范围是（）
A．x≥2B．x＞2C．x≤2D．x≠2
【解答】解：由题意得，2x﹣4≥0，
解得x≥2．
故选：A．
3．（3分）如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（）
A．1B．C．2D．2
【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，
则AE=BE=AB=2，DF=CF=CD=2，
在Rt△OBE中，∵OB=，BE=2，
∴OE==1，
同理可得OF=1，
∵AB⊥CD，
∴四边形OEPF为矩形，
而OE=OF=1，
∴四边形OEPF为正方形，
∴OP=OE=．
故选：B．
4．（3分）如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）
A．直线的一部分B．圆的一部分
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
【解答】解：连接OC、OC′，如图，
∵∠AOB=90°，C为AB中点，
∴OC=AB=A′B′=OC′，
∴当端点A沿直线AO向下滑动时，AB的中点C到O的距离始终为定长，
∴滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧．
故选：B．
5．（3分）关于x的方程的解为非正数，且关于x的不等式组无解，那么满足条件的所有整数a的和是（）
A．﹣19B．﹣15C．﹣13D．﹣9
【解答】解：分式方程去分母得：ax﹣x﹣1=2，
整理得：（a﹣1）x=3，
由分式方程的解为非正数，得到≤0，且≠﹣1，
解得：a＜1且a≠﹣2，
不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到＜4，
解得：a＞﹣6，
∴满足题意a的范围为﹣6＜a＜1，且a≠﹣2，即整数a的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，
则满足条件的所有整数a的和是﹣13，
故选：C．
6．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，Q（n，2）是图象上的一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（）
A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣2
【解答】解：设ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2．
依题意有AQ2+BQ2=AB2．
（x1﹣n）2+4+（x2﹣n）2+4=（x1﹣x2）2，
化简得：n2﹣n（x1+x2）+4+x1x2=0．
有n2+n+4+=0，
∴an2+bn+c=﹣4a．
∵（n，2）是图象上的一点，
∴an2+bn+c=2，
∴﹣4a=2，
∴a=﹣．
故选：B．
7．（3分）如图，等腰直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D是量角器上60°刻度线的外端点，连接CD交AB于点E，则∠CEB的度数为（）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【解答】解：如图，
∵一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，
∴点A、B、C、D都在以AB为直径的圆上，
∵点D是量角器上60°刻度线的外端点，即∠BOD=120°，
∴∠BCD=∠BOD=60°，
∴∠CEB=180°﹣∠BCD﹣∠ABC=75°．
故选：D．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边AD≠BC，分别取AD、BC的中点M、N，连接MN．则AB与MN的关系是（）
A．AB=MN
B．AB＞MN
C．AB＜MN
D．上述三种情况均可能出现
【解答】解：连接BD，取其中点P，连接PN，PM．
∵点P，M，N分别是BD，AD，BC的中点，
∴PM=AB，PN=CD，
∵AB=CD，
∴PM+PN=AB，
∵PM+PN＞MN，
∴AB＞MN．
故选：B．
9．（3分）如图，直线m⊥n．在平面直角坐标系xOy中，x轴∥m，y轴∥n．如果以O1为原点，点A 的坐标为（1，1）．将点O1平移2个单位长度到点O2，点A的位置不变，如果以O2为原点，那么点A的坐标可能是（）
A．（3，﹣1）B．（1，﹣3）
C．（﹣2，﹣1）D．（2+1，2+1）
【解答】解：如图，由题意，可得O1M=O1N=1．
∵将点O1平移2个单位长度到点O2，
∴O1O2=2，O1P=O2P=2，
∴PM=3，
∴点A的坐标是（3，﹣1）．
故选：A．
10．（3分）如图，四边形AOBC和四边形CDEF都是正方形，边OA在x轴上，边OB在y轴上，点D在边CB上，反比例函数y=在第二象限的图象经过点E，则正方形AOBC和正方形CDEF的面积之差为（）
A．12B．10C．8D．6
【解答】解：设正方形AOBC的边长为a，正方形CDEF的边长为b，则E（a﹣b，a+b），
∴（a+b）•（a﹣b）=8，
整理为a2﹣b2=8，
∵S
正方形AOBC
=a2，S正方形CDEF=b2，
∴S
正方形AOBC ﹣S
正方形CDEF
=8，
故选：C．
二、填空题：每小题3分，共24分
11．（3分）一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都
会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是．
【解答】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是=．
故答案为．
12．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣2的根是x1=﹣4，x2=0．
【解答】解：∵x=﹣3，x=﹣1的函数值都是﹣5，相等，
∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2，
∵x=﹣4时，y=﹣2，
∴x=0时，y=﹣2，
∴方程ax2+bx+c=﹣2的解是x1=﹣4，x2=0．
故答案为：x1=﹣4，x2=0．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两
个阴影部分的面积相等，则AF的长为（结果保留根号）．
【解答】解：∵图中两个阴影部分的面积相等，
=S△ABC，即：=×AC×BC，
∴S
扇形ADF
又∵AC=BC=1，
∴AF2=，
∴AF=．
故答案为．
14．（3分）如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是2．【解答】解：设x+=u，原方程等价于u2﹣u﹣2=0，
解得u=2或u=﹣1，
x+=2或x+=﹣1（不符合题意，舍），
故答案为：2．
15．（3分）等腰Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，E、F分别为腰AC、BC上（异于端点）的点，DE⊥DF，AB=10，设x=DE+DF，则x的取值范围为5≤x ＜10．
【解答】解：如图所示，
过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，分别交AC、BC于M、N，
∵△ABC是等腰三角形，点D是AB的中点，
∴DM=DN，又DE⊥DF，
∴∠EDM=∠FDN，
在△EDM和△FDN中
，
∴△EDM≌△FDN（ASA），
∴DE=DF，
在Rt△ABC中，∵AB=10，
∴AC=BC=5，
当DE、DF与边垂直时和最小，即DE+DF=（AC+BC）=5，
当E或F有一个与C重合时，其和最大，即DE+DF=DC+DB=AB=10，
∴5≤x＜10．
故此题的答案为：5≤x＜10．
16．（3分）如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC 沿着AD方向向右平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于4或8．
【解答】解：设AC交A′B′于H，
∵A′H∥CD，AC∥CA′，
∴四边形A′HCD是平行四边形，
∵∠A=45°，∠D=90°
∴△A′HA是等腰直角三角形
设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=12﹣x
∴x•（12﹣x）=32
∴x=4或8，
即AA′=4或8cm．
故答案为：4或8．
17．（3分）对于函数y=x n+x m，我们定义y'=nx n﹣1+mx m﹣1（m、n为常数）．
例如y=x4+x2，则y'=4x3+2x．
已知：y=x3+（m﹣1）x2+m2x．
（1）若方程y′=0有两个相等实数根，则m的值为；
（2）若方程y′=m﹣有两个正数根，则m的取值范围为且．【解答】解：根据题意得y′=x2+2（m﹣1）x+m2，
（1）∵方程x2+2（m﹣1）x+m2=0有两个相等实数根，
∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=0，
解得：m=，
故答案为：；
（2）y′=m﹣，即x2+2（m﹣1）x+m2=m﹣，
化简得：x2+2（m﹣1）x+m2﹣m+=0，
∵方程有两个正数根，
∴，
解得：且．
故答案为：且．
18．（3分）赵爽弦图是由位于第一象限的四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x轴和y轴，大正方形的顶点B1、C1、C2、C3、…、C n在直线y=﹣x+上，顶点D1、D2、D3、…、D n在x轴上，则第n个阴影小正方形
的面积为．
【解答】解：设第n个大正方形的边长为a n，则第n个阴影小正方形的边长为
a n，
当x=0时，y=﹣x+=，
∴=a1+a1，
∴a1=．
∵a1=a2+a2，
∴a2=，
同理可得：a3=a2，a4=a3，a5=a4，…，
∴a n=a1=，
∴第n个阴影小正方形的面积为==．
故答案为：．
三、解答题，共96分．
19．（6分）计算：（）﹣1﹣2cos30°++（2﹣π）0
【解答】解：原式=2﹣2×+3+1
=2﹣+3+1
=3+2．
20．（6分）先化简代数式1﹣÷，并从﹣1，0，1，3中选取一个合适的代入求值．
【解答】解：原式=1﹣×
=1﹣
=﹣
=﹣，
由题意得，x≠﹣1，0，1，
当x=3时，原式=﹣
21．（8分）如图，小明站在看台上的A处，测得旗杆顶端D的仰角为15°，当旗杆顶端D的影子刚好落在看台底部B处时，太阳光与地面成60°角．已知∠ABC=60°，AB=4米，求旗杆的高度．（点A与旗杆DE及其影子在同一平面内，
C、B、E三点共线且旗杆与地面垂直，不考虑小明的身高）
【解答】解：过点A作AF⊥BD于点F，
由题意知，∠DAH=15°，∠DBE=60°，
C、B、E三点共线，
∴∠ABD=180°﹣∠ABC﹣∠DBE=60°，
在△ABF中，∠AFB=90°，AB=4，
∴BF=AB•cos∠ABD=4×cos60°=2，AF=AB•sin∠ABD=4×sin60°=2，
∵AH∥CE，
∴∠HAB=∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠HAB+∠DAH=75°，
在△DAB中，∠ADB=180°﹣∠ABD﹣∠DAB=45°，
∴在RT△ADF中，DF=AF•tan∠ADB=2，
∴BD=BF+FD=2+2，
在RT△BDE中，∠DBE=60°
∴DE=BD•sin∠DBE=（2+2）×=3+，
∴旗杆的高度为（3+米．
22．（10分）有这样一个问题：探究函数y=﹣x的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y=﹣x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）函数y=﹣x的自变量x的取值范围是x≠0；
（2）下表是y 与x 的几组对应值，求m 的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第二象限内的最低点的坐标是（﹣2，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） 当x ＞0时，y 随x 的增大而减小 ． （5）根据函数图象估算方程﹣x=2的根为 x 1=0.8，x 2=﹣1.2 ．（精确到
0.1）
【解答】解：（1）函数y=﹣x 的自变量x 的取值范围是：x ≠0，
故答案为：x ≠0； （2）把x=4代入y=﹣x 得，y=﹣×4=﹣，
∴m=﹣
，
（3）如图所示
，
（4）当x＞0时，y随x的增大而减小；
故答案为当x＞0时，y随x的增大而减小；
（5）由图象，得
x1=0.8，x2=﹣1.2．
故答案为：x1=0.8，x2=﹣1.2．
23．（8分）一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件，若他每天多做10个，则提前天完成，若他每天少做5个，则要误期3天．问他要做多少个零件？
定期是多少天？
【解答】解：分析若直接设这个工人要做x个零件，定期为y天，则他每天做
一个零件，根据题目条件，若他每天多做10个，则可以减少4天工期，所以，x=（+10）（y﹣4）
另一方面，如果他每天少做5个，则要增加3天工期，因此，
x=，
显然，将此两式联立，解出x，y即可．
设工人要做x个零件，定期为y天，则他每天做x/y个，依分析有方程组
整理得
②×2+①得
将x=50y代入②得
y=27，x=50 y=1350，即
答：工人要做1350个零件，定期为27天．
24．（8分）宁波轨道交通4号线已开工建设，计划2020年通车试运营．为了了解镇民对4号线地铁票的定价意向，某镇某校数学兴趣小组开展了“你认为宁波4号地铁起步价定为多少合适”的问卷调查，并将调查结果整理后制成了如下统计图，根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）求本次调查中该兴趣小组随机调查的人数；
（2）请你把条形统计图补充完整；
（3）如果在该镇随机咨询一位居民，那么该居民支持“起步价为2元或3元”的
概率是
（4）假设该镇有3万人，请估计该镇支持“起步价为3元”的居民大约有多少人？
【解答】解：（1）由题意可得，
同意定价为5元的所占的百分比为：18°÷360°×100%=5%，
∴本次调查中该兴趣小组随机调查的人数为：10÷5%=200（人），
即本次调查中该兴趣小组随机调查的人数有200人；
（2）由题意可得，
2元的有：200×50%=100人，
3元的有：200﹣100﹣30﹣10=60人，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）由题意可得，
该居民支持“起步价为2元或3元”的概率是：，
故答案为：；
（4）由题意可得，
（人），
即该镇支持“起步价为3元”的居民大约有9000人．
25．（12分）随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
（1）该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．
①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；
②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？【解答】解：（1）设该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程：
2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．
（2）①设规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100﹣3t，
由题意得：t+4t+3（100﹣3t）=200，
解得：t=25．
答：t的值是25．
②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，
由题意得：y=t+4t+3（100﹣3t）=﹣4t+300（10≤t≤30），
∵k=﹣4＜0，
∴y随t的增大而减小．
当t=10时，y的最大值为300﹣4×10=260（个），
当t=30时，y的最小值为300﹣4×30=180（个）．
答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个．26．（12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE=∠A．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sinB=，⊙O的半径为r，求△EHG的面积（用含r的代数式表示）．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，
∴∠BGF=∠C=90°，
∴FG∥AC，
∴∠OFG=∠A，
∴∠OFE=∠OFG，
∴∠OFE=∠EFG，
∵OE=OF，
∴∠OFE=∠OEF，
∴∠OEF=∠EFG，
∴OE∥FG，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵在Rt△OBE中，sinB=，⊙O的半径为r，
∴OB=r，BE=r，
∴BF=OB+OF=r，
∴FG=BF•sinB=r，
∴BG==r，
∴EG=BG﹣BE=r，
=EG•FG=r2，EG：FG=1：2，
∴S
△FGE
∵BC是切线，
∴∠GEH=∠EFG，
∵∠EGH=∠FGE，
∴△EGH∽△FGE，
∴=（）2=，
=S△FGE=r2．
∴S
△EHG
27．（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC．（AB＞AE）．
（1）△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）△AEF∽△ECF．证明如下：
延长FE与CD的延长线交于G，
∵E为AD的中点，AE=DE，∠AEF=∠GED，
∴Rt△AEF≌Rt△DEG．
∴EF=EG．
∵CE=CE，∠FEC=∠CEG=90°，
∴Rt△EFC≌Rt△EGC．
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．
又∵∠A=∠FEC=90°，
∴Rt△AEF∽Rt△ECF．
（2）设AD=2x，AB=b，DG=AF=a，则FB=b﹣a，
∵∠GEC=90°，ED⊥CD，
∴ED2=GD•CD
∴x2=ab，
假定△AEF与△BFC相似，则有两种情况：
一是∠AFE=∠BCF；则∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC=90°，因此此种情况是不成立的．
二是∠AFE=∠BFC．
根据△AEF∽△BCF，
于是：=，即=，得b=3a．
所以x2=ab=3a2，因此x=a，
于是k====．
28．（14分）已知：如图一，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=x﹣2经过A、C两点，且AB=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E，D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒；设s=，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值．
（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC 相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由直线：y=x﹣2知：A（2，0）、C（0，﹣2）；
∵AB=2，∴OB=OA+AB=4，即B（4，0）．
设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）（x﹣4），代入C（0，﹣2），得：
a（0﹣2）（0﹣4）=﹣2，解得a=﹣
∴抛物线的解析式：y=﹣（x﹣2）（x﹣4）=﹣x2+x﹣2．
（2）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，则tan∠OCB=2；
∵CE=t，∴DE=2t；
而OP=OB﹣BP=4﹣2t；
∴s===（0＜t＜2），
∴当t=1时，s有最小值，且最小值为1．
（3）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，则BC=2；
在Rt△CED中，CE=t，ED=2t，则CD=t；
∴BD=BC﹣CD=2﹣t；
以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，已知∠OBC=∠PBD，则有两种情况：
①=⇒=，解得t=；
②=⇒=，解得t=；
综上，当t=或时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似．。