2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：1.2.1 实际应用问题 版含解析

DI YI ZHANG 第一章 解三角形
1．2 应用举例 第5课时 实际应用问题
知识点一 距离问题
1．如图，从气球A 测得济南全运会东荷、西柳个场馆B ，C 的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h (A ，B ，C 在同一铅垂面内)，则两个场馆B ，C 间的距离为( )
A ．h sin αsin β
sin (α－β) B ．h sin (β－α)sin αsin β
C ．h sin αsin βsin (α－β)
D ．h sin β
sin αsin (α－β)
答案 B
解析 在Rt △ADC 中，AC ＝h sin β，在△ABC 中，由正弦定理，得BC ＝
AC sin (β－α)sin α＝h sin (β－α)sin αsin β．
2．一船在海面A 处望见两灯塔P ，Q 在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航行4海里到达B 处，望见灯塔P 在正西方向，灯塔Q 在西北方向，则两灯塔的距离为________．
答案 (12－43) 海里
解析
如图，在△ABP中，AB＝4，∠ABP＝45°，∠BAP＝60°，∴∠APB＝75°．
∴P A＝AB·sin∠PBA sin∠APB
＝4sin45°
sin75°＝4(3－1)．
又在△ABQ中，∠ABQ＝45°＋45°＝90°，
∠P AB＝60°，∴AQ＝2AB＝8．
于是PQ＝AQ－AP＝12－43，
∴两灯塔的距离为(12－43) 海里．
3．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km．
答案
3 6
解析如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1 km．
由正弦定理得
BC
sin∠CAB
＝
AB
sin∠ACB
，
∴BC ＝1
sin60°·sin15°＝6－223(km)．
设C 到直线AB 的距离为d ，
则d ＝BC ·sin75°＝6－2
23·6＋24＝3
6(km)．
知识点二 测量高度问题
4．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000 m 到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB
＝75°，则山高BC 为( )
A ．500 2 m
B ．200 m
C ．1000 2 m
D ．1000 m 答案 D
解析 ∵∠SAB ＝45°－30°＝15°，
∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°， 在△ABS 中，AB ＝AS ·sin135°
sin30°＝1000×2
2
12＝10002，
∴BC ＝AB ·sin45°＝10002×2
2＝1000(m)．
5．甲，乙两楼相距20 m ，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．
答案 20 3 m ，4033 m
解析 如图所示：h 甲＝AB ＝20·tan60°＝203(m)， h 乙＝CD ＝20·tan60°－20·tan30°＝4033(m)．
知识点三 测量角度问题
6．甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是3a n mile/h ，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？
答案 北偏东30°
解析 如图，设经过t h 两船在C 点相遇，
则在△ABC 中，BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝180°－60°＝120°，由BC
sin ∠CAB
＝AC
sin B ，
得sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin120°3at
＝12．
∵0°<∠CAB <90°，
∴∠CAB ＝30°，∴∠DAC ＝60°－30°＝30°．
即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
7．如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20
海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．
解在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，
∴BC＝207．由正弦定理
AB
sin∠ACB
＝
BC
sin∠BAC
，得sin∠ACB＝
AB
BC sin∠BAC＝
21
7．
∵∠BAC＝120°，则∠ACB为锐角，
∴cos∠ACB＝27 7．
∴cosθ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACB cos30°－sin∠ACB sin30°
＝27
7×
3
2－
21
7×
1
2＝
21
14．
易错点忽略审题环节，看图不准确
8．在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a
2的军事
基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°．如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为________．
易错分析在解含有两个或两个以上三角形的问题时应先根据条件应用正、
余弦定理或三角形内角和定理在一个三角形中求解边和角，然后在此基础上求解另一个三角形，以此类推首选哪一个三角形至关重要，原则是首选三角形与其他三角形有一定联系，且方便求解，该题图中三角形较多，若审题不细的话易导致计算复杂或者无从下手．
答案 6
4a
解析 解法一：由题意知∠ADC ＝∠ADB ＋∠BDC ＝60°， 又因为∠ACD ＝60°，所以∠DAC ＝60°． 所以AD ＝CD ＝AC ＝32a ．
在△BCD 中，∠DBC ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得
BD sin ∠BCD
＝
CD sin ∠DBC
，
所以BD ＝CD ·sin ∠BCD sin ∠DBC
＝3
2a ·6＋2
422＝3＋34a ，
在△ADB 中，由余弦定理得
AB 2
＝AD 2
＋BD 2
－2·AD ·BD ·cos ∠ADB ＝34a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫3＋34a 2－2·32a ·3＋34a ·3
2＝38a 2
，
所以AB ＝6
4a ．
解法二：在△BCD 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin30°＝CD sin45°， 则BC ＝CD sin30°sin45°＝64a ，
在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，
所以△ACD为等边三角形．因为∠ADB＝∠BDC，
所以BD为正△ACD的中垂线，所以AB＝BC＝
6
4a．
一、选择题
1．某人向正东方向走了x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他恰好离出发地 3 km，那么x的值为()
A． 3 B．2 3
C．3或2 3 D．5
答案C
解析本题考查余弦定理的应用．由题意得(3)2＝32＋x2－2×3x cos30°，解得x＝3或23，故选C．
2．如右图，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B点观测灯塔
A的方位角为110°，航行1
2h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达
C点时，与灯塔A的距离是()
A．10 km B．10 2 km
C．15 km D．15 2 km
答案B
解析在△ABC中，BC＝40×1
2＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝
(180°－140°)＋65°＝105°，则A＝180°－(30°＋105°)＝45°．由正弦定理，得
AC＝BC·sin∠ABC
sin A＝
20·sin30°
sin45°＝102(km)．
3．如图，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为18 km，速度为1000 km/h，飞行员到达A点处看到山顶的俯角为30°，经过1 min后到达B 点处看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为(精确到0．1 km，参考数据：3≈1．732)()
A．11．4 km B．6．6 km C．6．5 km D．5．6 km
答案B
解析本题考查正弦定理的实际应用．
∵AB＝1000×1
60＝
50
3(km)，
∴BC＝
AB
sin45°·sin30°＝
50
32
(km)．
∴航线离山顶的距离为
50
32
×sin75°＝
50
32
×sin(45°＋30°)≈11．4(km)．
∴山顶的海拔为18－11．4＝6．6(km)．故选B．
4．某工程中要将一长为100 m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长()
A．100 2 m B．100 3 m
C ．50(2＋6) m
D ．200 m 答案 A
解析 如图，由条件知，
AD ＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)＝100(sin45°·cos30°＋cos45°·sin30°) ＝25(6＋2)，
CD ＝100cos75°＝25(6－2)，
BD ＝AD tan30°＝25(6＋2)33
＝25(32＋6)．
∴BC ＝BD －CD ＝25(32＋6)－25(6－2)＝1002(m)．
5．如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为
30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为( )
A ．15 6 m
B ．20 6 m
C ．25 6 m
D ．30 6 m 答案 D
解析 设建筑物的高度为h ，由题图知， P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝23
3h ，
∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得
cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 2
2×60×2h ，①
cos ∠PBC ＝602＋2h 2－4
3h 2
2×60×2h
．②
∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°，∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0．③ 由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)， 即建筑物的高度为30 6 m ． 二、填空题
6．作用在同一点的三个力F 1，F 2，F 3平衡，已知F 1＝30 N ，F 2＝50 N ，F 1与F 2之间的夹角是60°，则F 3与F 1之间的夹角的正弦值为________．
答案 5314
解析
本题以物理中的力的分解知识为背景，主要考查正弦定理及余弦定理．由题意，知F 3应和F 1，F 2的合力F 平衡．设F 3与F 1之间的夹角为θ，作图(如图)，可知当三力平衡时，由余弦定理得
F 3＝302＋502－2×30×50×cos (180°－60°)＝70 N ，再由正弦定理得
50
sin (180°－θ)＝70sin (180°－60°)
，
即sin θ＝
50sin120°70
＝53
14． 7．某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile 的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile 的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile ，则舰艇到达渔船的最短时间是________小时．
答案 23
解析 设舰艇和渔船在B 处相遇，则在△ABC 中，由已知可得：∠ACB ＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t ，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，AC ＝10，则(21t )2＝(9t )2
＋100－2×10×9t cos120°，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．
8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________．
答案 106
3 cm
解析 如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，
易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°． 由正弦定理知，x ＝
AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin45°sin60°＝1063(cm)．
三、解答题
9． 某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC ，△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D ．求AB 的长度．
解 在△ABC 中，由余弦定理得：
cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 2
2×8×5
， 在△ABD 中，由余弦定理得：
cos D＝AD2＋BD2－AB2
2AD·BD＝
72＋72－AB2
2×7×7
．
由∠C＝∠D，得cos C＝cos D，
解得AB＝7，所以AB的长度为7米．
10．如右图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sinα的值．
解(1)依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20．
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，
解得BC＝28．
所以渔船甲的速度为BC
2＝14 n mile/h．
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，
由正弦定理，得AB
sinα＝
BC
sin120°．
即sinα＝AB sin120°
BC＝
12×
3
2
28＝
33
14．。