山西太原市高三数学调研考试 文 新人教A版

数学（文）试题
说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题时间120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
参考公式：
样本数据X1，X2，…，x n的标准差锥体体积公式
1
3
Sh 其中x为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积，体积公式V=Sh S= 4πR2,V=3
4
3
R
π其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．复数
2
1
i
i+
（i为虚数单位）的共轭复数为
A．1+i B．1－i C．-1+i D．-1－
i
2．已知全集U=R，集合A={x | x2≥3}，B= {x|1<x<3}
，则A ()
U
B=
A．
R B．{x|x≤
x≥
C．{x|x≤1或x≥D．{x|x≤或3}
x≥
3．下列命题中的真命题是
A．若a>b>0，a>c，则a2> bc B．若a>b>c，则
a b
c c
>
C．若a>b，n∈N*，则a n>b n D．若a>b>0，则1na<1nb
4．已知cos（
2
π
α
-）=π
π
<
<a
2
,
5
3
，则sin(
4
π
α+)=
A．
10
2
7
-B．
10
2
7
C．-
10
2
D．
10
2
5．执行右边的程序框图，若输入x的值依次是：93，58，86，88，94，75，67，89，55，
1
2
53，则输出m 的值为 A ．3 B ．4 C ．6
D ．7
6．已知=OA (3，1)，将OA 绕点O
逆时针旋转
3
2π
得到OB ，则OA ·OB =
A ．-5
B ．5
C ．-53
D ．53
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若B=2A ，则a
b
的取值范围是
A ．(0，2)
B ．(1，2)
C ．（0，3）
D ．（3，1）
8．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题；
其中真命题的是
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④ 9．如图是某同学一学期两次考试成绩的茎叶图，现从该同学两次考试成绩中各取一科成绩，
则这两科成绩都在80分以上的概率为 A ．
109 B ．53
C ．103
D ．5
1
3
10．如图，在矩形OABC 中，点E ，F 分别在AB ，BC 上，且满足AB=3AE ，BC=3CF ，若
OB =λOE +),,(R ∈μλμ则μλ+=
A ．
38 B ．23
C ．3
5
D ．l
11．几何体ABCDEP 的三视图如图，其中正视图为直角梯形，
侧视图为直角三角形，俯视图为正方形，则下列结论中不．
成立．．
的是 A ．BD∥平面PCE B ．AE⊥平面PBC
C ．平面BCE∥平面ADP
D ．CE∥DP 12．已知定义域为R 的函数y=f(x)在[0，7]上只有l 和3两个零点，且y=f(2-x)与y=f (7+x)
都是偶函数，则函数y=f(x)在[0，2013]上的零点个数为 A ．402 B ．403 C ．404 D ．405
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
说明：本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第2l 题为必考题，每个试题考生都必须
做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2．答卷前将密封线内项目填写清楚。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．若命题“x ∃∈R ，x 2
+ax:+1<0”为假命题，则实数a 的取值范围是 。

14．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-+≤+-,0,052,
01x y x y x 则z=x+y 的最大值为 。

15．已知三棱锥P －ABC 的底面是边长为3的等边三角形，PA⊥底面ABC ，PA =2，则三棱锥
P －ABC 外接球的表面积为____ 。

16．给出下列四个命题：
①函数f(x)=e x + e －x
有最小值2； ②函数f(x)=4sin(2x 3π-
)的图像关于点（6
π
，0）对称； ③一组数据的平均数一定不小于它的中位数；
④已知定义在R 上的可导函数y=f(x)满足：对x ∀∈R，都有f(-x)=－f(x)成立，若当
4
x>0时，f '(x)>0，则当x<0时，f '(x)>0。

其中正确命题的序号是
____ ．（写出所有正确命题的序号） 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
阅读右边的程序框图（图中n∈N *
），回答下面的问题。

（Ⅰ）当n=3时，求S 的值；
（Ⅱ）当S<100时，求n 的最大值。

18.（本小题满分12分）
已知a=（sin2x ，2cos 2
x-1），b=(sin θ，cos θ)(0<θ<π)，函数f(x)=a·b 的图象经
过点（
6
π
，1）． （Ⅰ）求θ及f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈]4
,6[π
π-时，求f(x)的最大值和最小值。

19．（本小题满分12分）
某学校为了了解高三学生的身体健康状况，在该校高三年级学生中随机抽取了100名学
生进行调查，按日睡眠时间（单位：小时）分组得到如图1的频率分布表和如图2的频率分布直方图。

组号
睡眠时间 频数 频率
第一组 [4，5) 5 0.05 第二组 [5，6) 15 0.15 第三组 [6，7) a P 1 第四组 [7，8) 40 0.4 第五组 [8，9) b P 2 总计
100
1
a ，
b ；
（Ⅱ）现用分层抽样法从第一、二、五组中抽取6名学生进行体检，求第一、二、五组
5
各应抽取多少名学生？
(III)在上述6名学生中随机抽取2名学生进行某专项体检，求这2名学生中恰有一名
学生在第二组的概率。

20.（本小题满分12分）
已知矩形ABCD 中，AB=2AD=4，E 为CD 的中点，沿AE 将△ADE 折起，使平面ADE 上平面
ABCE ，点O 、F 分别是AE 、AB 的中点。

（Ⅰ）求证：OF∥平面BDE ； ‘ （Ⅱ）平面ODF⊥平面ADE ．
21.（本小题满分12分）
已知函数f(x)=1nx －
2
1ax 2
－x(a∈R)． （Ⅰ）当a=2时，求y=f(x)的单调区间和极值；
（Ⅱ）若y=f(x)存在单调递减区间，求a 的取值范围。

说明：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，写清题号。

如果多做，则按所做第一
题记分。

22.（本小题满分10分） 选修4－1:几何证明选讲。

如图，⊙O 1与⊙O 2相交于点A ，B ，⊙O 1的切线AC 交⊙O 2于另一点C ，⊙O 2的切线AD 交
⊙O 1于另一点D ，DB 的延长线交⊙O 2于点E 。

（Ⅰ）求证：AB 2
=BC·BD;
（Ⅱ）若AB =1，AC =2，AD=2，求BE 。

23.（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C ：y 2= 4x ，直线l 过点P （-1，-2），倾斜角为30o
，直线l 与曲线C 相交于A 、
B 两点。

（Ⅰ）求直线l 的参数方程； （Ⅱ）求|PA |·|PB|的值。

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知f(x) =|x+l|+|x-2|,g(x)=|x+l |－|x－a|+a(a∈R)。

（Ⅰ）解不等式f(x)≤5；
（Ⅱ）若不等式f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围，
6
7
8
9
10
11。