圆的滚动-副本(2)
微专题：圆之圆周角定理解答题专项——2021年中考数学分类专题提分训练(一) - 副本
微专题：圆之圆周角定理解答题专项——2021年中考数学分类专题提分训练（一）1．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC．D是的中点，过D作DE⊥AB于点E，交BC于点F．（1）求证：BC＝2DE；（2）若AC＝6，AB＝10，求DF的长．2．如图AB为⊙O的直径，点D为AB下方圆上一点，点C为的中点，连接CA、CD．（1）求证：∠ABD＝2∠BDC；（2）连AD，过点C作CE⊥AB交AB于H，交AD于点E，若OH＝5，AD＝24，求线段DE 的长度．3．如图，在⊙O中，半径OA平分弦BC于点E，且与弧BC交点A，点D在优弧上．（1）若∠AOB＝58°，求∠ADC的度数；（2）若BC＝6，AE＝1，求⊙O的半径．4．如图，圆的内接五边形ABCDE中，AD和BE交于点N，AB和EC的延长线交于点M，CD∥BE，BC∥AD，BM＝BC＝1，点D是的中点．（1）求证：BC＝DE；（2）求证：AE是圆的直径；（3）求圆的面积．5．如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．（1）若∠ABD＝α，求∠BDC（用α表示）；（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，∠CAD＝β，求∠ACE（用β表示）；（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长．6．已知AB是⊙O的直径．（Ⅰ）如图①，＝＝，∠MON＝35°，求∠AON的大小；（Ⅱ）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF的大小．7．如图△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，连接CD．（1）求BD的长；（2）射线DO交直线AC于点E，连接BE，求BE的长．8．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F．（1）求证：CB平分∠ABD；（2）若AB＝8，AD＝6，求CF的长．9．如图，在⊙O中，点P为弧AB的中点，弦AD，PC互相垂直，垂足为M．BC分别与AD，PD相交于点E，N．（Ⅰ）求∠DNE的大小；（Ⅱ）求证EN＝BN．10．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD＝56°，求∠DEB的度数；（2）若DC＝2，OA＝5，求AB的长．参考答案1．（1）证明：延长DE交⊙O于点G，如图所示：∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB，∴DE＝GE，＝，∵D是的中点，∴＝＝，∴＝，∴BC＝DG＝2DE；（2）解：连接BD、OD，如图所示：∵＝，∴∠DBC＝∠BDF，∴DF＝BF，∵AB为⊙O的直径，AB＝10，∴∠ACB＝90°，OB＝OD＝5，∴BC＝＝＝8，由（1）得：DE＝BC＝4，∵DE⊥AB，∴OE＝＝＝3，∴BE＝OB﹣OE＝2，设DF＝BF＝a，则EF＝4﹣a，在Rt△BEF中，由勾股定理得：22+（4﹣a）2＝a2，解得：a＝，∴DF＝．2．（1）证明：连接CO并延长交AD与K，连接OD，如图所示：则OA＝OC＝OD，∴∠ACO＝∠CAO，∵点C为的中点，∴＝，∴CA＝CD，在△COA和△COD中，，∴△COA≌△COD（SSS），∴∠ACO＝∠DCO＝∠CAO，∵∠ACD＝2∠ACO＝2∠CAO，∠CAO＝∠BDC，∠ABD＝∠ACD，∴∠ABD＝2∠BDC；（2）解：∵CA＝CD，∠ACO＝∠DCO，∴CO⊥AD，∠CAD＝∠CDA，AK＝DK＝AD＝12，∵∠ACH+∠CAH＝90°＝∠ADC+∠BDC，∠CAH＝∠BDC，∴∠ACH＝∠ADC＝∠CDA，∴EC＝EA，在△AOK和△COH中，，∴△AOK≌△COH（AAS），∴OK＝OH＝5，在Rt△AKO中，由勾股定理得：OA＝＝＝13，设EK＝x，则CE＝AE＝AK+EK＝12+x，CK＝OC+OK＝OA+OK＝13+5＝18，在Rt△AKE中，CK2+EK2＝CE2，即182+x2＝（12+x）2，解得：x＝7.5，∴DE＝DK﹣EK＝12﹣7.5＝4.5．3．解：（1）连接OC，如图所示；∵OA⊥BC，∴，∴∠AOC＝∠AOB＝58°，∴∠ADC＝∠AOC＝29°；（2）∵OA⊥BC，∴CE＝BE＝BC＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OB＝r，在Rt△BOE中，OE2+BE2＝OB2，即（r﹣1）2+32＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半径为5．4．（1）证明：∵CD∥BE，∴∠DCE＝∠CEB，∴，∴DE＝BC；（2）证明：连接AC，∵BC∥AD，∴∠CAD＝∠BCA，∴＝，∴AB＝DC，∵点D是的中点，∴，∴CD＝DE，∴AB＝BC．又∵BM＝BC，∴AB＝BC＝BM，即△ACB和△BCM是等腰三角形，在△ACM中，，∴∠ACE＝90°，∴AE是圆的直径；（3）解：由（1）（2）得：，又∵AE是圆的直径，∴∠BEA＝∠DAE＝22.5°，∠BAN＝45°，∴NA＝NE，∴∠BNA＝∠BAN＝45°，∠ABN＝90°，∴AB＝BN，∵AB＝BM＝1，∴BN＝1，∴．由勾股定理得：AE2＝AB2+BE2＝，∴圆的面积．5．解：（1）连接AD，如图1所示：设∠BDC＝γ，∠CAD＝β，则∠CAB＝∠BDC＝γ，∵点C为弧ABD中点，∴，∴∠ADC＝∠CAD＝β，∴∠DAB＝β﹣γ，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴γ+β＝90°，∴β＝90°﹣γ，∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（β﹣γ）＝90°﹣90°+γ+γ＝2γ，∴∠ABD＝2∠BDC，∴∠BDC＝∠ABD＝α；（2）连接BC，如图2所示：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，即∠BAC+∠ABC＝90°，∵CE⊥AB，∴∠ACE+∠BAC＝90°，∴∠ACE＝∠ABC，∵点C为弧ABD中点，∴，∴∠ADC＝∠CAD＝∠ABC＝β，∴∠ACE＝β；（3）连接OC，如图3所示：∴∠COB＝2∠CAB，∵∠ABD＝2∠BDC，∠BDC＝∠CAB，∴∠COB＝∠ABD，∵∠OHC＝∠ADB＝90°，∴△OCH∽△ABD，∴＝＝，∴BD＝2OH＝10，∴AB＝＝＝26，∴AO＝13，∴AH＝AO+OH＝13+5＝18，∵∠EAH＝∠BAD，∠AHE＝∠ADB＝90°，∴△AHE∽△ADB，∴＝，即＝，∴AE＝，∴DE＝AD﹣AE＝24﹣＝．6．解：（I）∵＝＝，∠MON＝35°，∴∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，∴∠AON＝180°﹣∠MON﹣∠MOC﹣∠BOC＝180°﹣35°﹣35°﹣35°＝75°；（II）连接BF，∵AD⊥直线l，∴∠ADE＝90°，∵∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠ADE+∠DAE＝110°，∵A、E、F、B四点共圆，∴∠ABF+∠AEF＝180°，∴∠ABF＝70°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝20°．7．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，∵，AC2+BC2＝AB2，∴（4）2+BC2＝（2BC）2，∴BC＝4，∵BC为直径，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝∠A＝30°，∴BD＝BC＝2；（2）∵OD＝OB，∴∠CBD＝∠EDB＝60°，∴∠DOB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOB＝60°，∵∠OCE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°，∴∠CEO＝30°，∵OC＝OB＝BC＝＝2，∴OE＝2CO＝4，∴CE＝＝＝2，∴BE＝＝＝2．8．（1）证明：∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＝∠DBC，∴CB平分∠ABD；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，由勾股定理得：DB＝＝＝2，∵OC∥BD，AO＝BO，∴AF＝DF，∴OF＝BD＝＝，∵直径AB＝8，∴OC＝OB＝4，∴CF＝OC﹣OF＝4﹣．9．（I）解：∵点P为弧AB的中点，∴＝，∴∠C＝∠NDE，∵AD⊥CP，∴∠EMC＝90°，∵∠CEM＝∠DEN，∴∠DNE＝180°﹣∠NDE﹣∠DEN＝180°﹣∠C﹣∠CEM＝∠EMC＝90°；（II）证明：∵∠DNE＝90°，∴∠DNE＝∠DNB＝90°，∵＝，∴∠EDN＝∠BDN，在△EDN和△BDN中，，∴△EDN≌△BDN（ASA），∴EN＝BN．10．解：（1）∵OD⊥AB，∴＝，∴∠DEB＝∠AOD＝×56°＝28°；（2）∵OD⊥AB，∴AC＝BC，∵DC＝2，OA＝5，∴OC＝3，在Rt△OAC中，AC＝＝4，∴AB＝2AC＝8．。
圆的标准方程与一般方程 - 副本
【课题名称】圆的标准方程与一般方程 【考点分析】1、圆的标准方程与一般方程 C 级【考题分析】 1、设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C 。
（1） 求实数b 的取值范围；（2） 求圆C 的方程；（3） 问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论。
【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。
（1）010(0)0b b f ∆>⎧⇒<≠⎨≠⎩且（1） 设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=。
令202,x Dx F D F b ++=⇒==0y =得202,x Dx F D F b ++=⇒==又0x =时y b =，从而1E b =--。
所以圆的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=。
（3）222(1)0x y x b y b ++-++=整理为222(1)0x y x y b y ++-+-=，过曲线 22:20C x y x y '++-=与:10l y -=的交点，即过定点(0,1)与(2,1)-。
【教学过程】一、自主学习1. 圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆的方程可表示为 ,称为圆的标准方程.2. 圆的一般方程为 , 其中圆心是 ，半径长为 .圆的一般方程的特点： x 2和y 2的系数相同;不等于0；没有xy 这样的二次项； 2240D E F +->3.求圆的方程常用待定系数法：大致步骤是:①根据题意,选择适当的方程形式;②根据条件列出关于a,b,c 或D,E,F 的方程组; ③解出a,b,c 或D,E,F 代入标准方程或一般方程.另外,在求圆的方程时,要注意几何法的运用.二、合作探究：题组一 求圆的方程1、求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？2 、求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．3、求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252yx yx +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上．设圆心)3,(t t C ∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t tt ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t ∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ． 由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为 52ba d -= ∴2225b a d -= ab b a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥1222=-=a b 当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r 故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52ba d -=．∴db a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得： 01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ．将55=d 代入方程得1±=b ．又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？题组二 与圆有关的最值问题类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 .【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．解：如图1，圆心C 到直线y=x +1的距离d =圆半径1r =，故PQ P C r ≥-=例2已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．【分析】本题中，由于点P 和点M 均在动，故直接做很难求解．联系到PM 是切线段，因此可利用222PM PC r =-将条件PM=PO 转化为只含有一个变量P 的式子即可求解． 解：由题意，令(,)P x y ，∵222PM PC =-，∴222PC PO -=，即2222(1)(2)2x y x y ++--=+，化简得：2430x y -+=．∵PM=PO ，∴即求直线2430x y -+=到原点O (0,0)的最小距离．d ==PM类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．解：22(1)(2)5x y ++-=，令1()2x R y θθθ⎧=-⎪∈⎨=+⎪⎩，则255cos()5x yθθθϕ-=--=+-（其中cosϕϕ==∴当cos()1θϕ+=时，max(2)550x y-=-=，故x-2y的最大值为0．【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值．类型三：抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值值．比如例2中，这类题通常转化为直线方程的纵截距求解．解法二：令2x y z-=,则1122y x z=-小时，z最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离d=故010z=-或，由题意，maxz=，即x-2y的最大值为0．除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等．比如在上例中，改为求12yx--，22(2)(1)x y-+-，1x y--的取值范围，则可以分别用如下方法求解：对12yx--，转化为圆上任意一点P到点(2,1)A连线斜率的最大值，可设过点(2,1)A的直线为1(2)y k x-=-，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离d==122k=-或，故1[2,)(,]2k∈+∞⋃-∞-．对22(2)(1)x y-+-，转化为圆上任意一点P到点(2,1)A距离的平方的取值范围，由例1易得[PA CA CA∈，即222(2)(1)[50PA x y=-+-∈-+对1x y--，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素．可将问题转化为圆上任意一点P 到直线10x y--=的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为P(x,y)到直线10x y--=，即1[4x y--∈.【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题．例4（ 2010年高考全国卷I 理科11）已知圆O ：221x y +=，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值为【分析】本题中，由于A 、B 都是动点，故将PA PB ⋅转化为坐标形式较难求解．此时考虑到向量数量积的定义，令2APB α∠=，cos 2PA PB PA PB α⋅=，而切线段PA=PB 也可用α表示，故所求式可转化为关于α的三角函数求解．解：令2((0,2APB παα∠=∈，cos 2PA PB PA PB α⋅=，1tan PA PB α==， ∴222222cos 2cos cos 2(1sin )(12sin )tan sin sin PA PB αααααααα⋅--⋅===， 令2sin (0)t t α=>，则(1)(12)1233t t PA PB t t t--⋅==+-≥ （当且仅当t =2sin α=时取等号） 【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题．类型五：向基本不等式问题转化例5已知圆C ：22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点，（1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值．【分析】由于EF 和GH 都是圆的弦长，因此可利用222=+半径半弦长弦心距将EF +GH 转化，用基本不等式的相关知识点．解：（1）令圆心C 到弦EF 的距离为1d ，到弦GH 的距离为2d EF +GH =，又222121d d CA +==，2≤=（当且仅当122d d ==取等号）故EF +GH ≤=2）∵EF GH ⊥，∴22128()12722d d S EF GH -+=⋅=⋅=四边形EFGH （当且仅当12d d ==取等号）【解题回顾】本题（1）是利用2a b +≤，（2）是利用2a b +≤．基本不等式是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”．题组三 与圆有关的轨迹问题1、由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是 .解：设),(y x P .∵APB ∠=600，∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴222=+y x ，化简得422=+y x ，∴动点P 的轨迹方程是422=+y x .2、已知直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程.解：设),(y x P ，AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形，∴M 是OP 的中点，∴点M 的坐标为)2,2(yx ，且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ，∴CM OM ⊥，∴0)12(2)2()12,2()2,2(2=-+=-⋅=⋅y y x y x y x CM OM ，化简得1)1(22=-+y x .∴点P 的轨迹方程是1)1(22=-+y x3、已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且AM 31=，则点M 的轨迹方程是 解：设),(),,(11y x A y x M .∵AM 31=，∴),3(31),(11y x y y x x --=--，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-y y y x x x 31)3(3111，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=y y x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴12121=+y x ，∴1)34()134(22=+-y x ，即169)43(22=+-y x ，∴点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x 三、回顾反思四、课堂检测1、．（2013年高考江西卷（文））若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切, 则圆C 的方程是_________.【答案】22325(2)()24x y -++= 2、根据下列条件，求圆的方程。
五年级下册数学课件 圆复习(共3个课时)苏教版 - 副本
圆 练习十三
3.
（6,4）
（9,2）
（12,3）
（3）把圆O3先向左平移9格，再向上平移2格，画出平移后 的图形，并标出圆心。
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圆 练习十三
3.
（6,4） （9,2）
（12,3）
圆的位置与什么 圆的位置与圆
有关？
心有关。
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圆 练习十三
4.（1）指出右边圆里的线段哪一条是直径。
d
直径是经过圆心 的线段。
随着数学的发展，特别是计算机的问世，圆周 率的精确度被算得越来越高。现在，人们已经能够 把圆周率精确到小数点后数万亿位。
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圆 练习十三
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
圆的周长大小和什么有关？ 圆的周长和直径、半径的长度有关。 要求圆的周长，就要知道圆的直径或半径。
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圆 练习十三
课后作业
补充习题： 对应练习
答：这条小路的面积是113.04平方米。
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圆 练习十三
7.右图中正方形的面积是8平方厘米， 你能算出黄色部分的面积吗？
8 × 3.14=25.12（平方厘米） 25.12÷4×3
= 6.28 ×3 = 18.84（平方厘米） 答：黄色部分的面积是18.84平方厘米。
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圆 练习十三
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
4.一个圆形花圃的周长是50.24米，里 面种植了3种不同的鲜花（如右图）。 先估计每种鲜花种植面积分别占几分之 几，再算出它们大约各有多少平方米？
200.96×1 = 50.24（平方米)
4
200.96× 1 = 100.48（平方米)
2
答：玫瑰和百合的种植面积大约是50.24平方米， 牡丹的种植面积大约是100.48平方米。
高中数学必修2圆的一般方程 - 副本
令 2a = D,2b = E,a2 b2 r 2 = F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示 的曲线是圆呢？
y=-E/2，表示一个点（
D 2
,
E 2
）
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以
不表示任何图形。
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 可表示圆的方程
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
圆的一般方程与标准方程的关系：
1。点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部，则a的取值
范围是
.
2t 1 t 2
2.点P(
1
t2
, 1
t2
)与圆x2+y2=1的位置关系是
(
)
A 在圆内 Ｂ在圆外 C 在圆上 D与t有关
3.已知直线l1:mx-y=0，l2:x+my-m-2=0 求证：对于m∈R,l1,l2的交点P在一个定圆上
(1)若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采用 圆的标准方程较简单. 练习：求过点 A(5,1), 圆心为(8,3)的圆的方程 .
设圆的方程为 (x 8)2 ( y 3)2 = r 2
把点(5,1)代入得r 2 = 13,
(x 8)2 ( y 3)2 = 13
故圆的方程为 x2 y2 6x 8y = 0
圆的一般方程
FANUC系列数控铣床操作手册(中文版) - 副本
3-16 补正值的输入（INPUT）
1） 模式 MDI
2） 画面 按[OFFSET/SETTING]OFFSET画面显示
3） [MEMORY PROTECTION] /记忆写保护指拨开关位置→ON
4） 操作 O→顺序号码→[DELET]
3-9 一个单节的删除
1） 模式 EDIT
2） 画面[PROG]画面显示
3） [MEMORY PROTECTION] /记忆写保护指拨开关位置→ON
4） 操作 EOB→[DELET]↙
3-10 字语的删除
1） 模式 EDIT
2） 画面[PROG]画面显示
3） [MEMORY PROTECTION] /记忆写保护指拨开关位置→ON
1-16过分弯曲的材料禁止加工
1-17加工前检查压力空气及工作台真空吸力是否达到标准?
1-18如果机器产生间断噪音，请立即关闭电源
1-19禁止更改行程限位开关位置及联锁电路
1-20定期检查机床各润滑点润滑情况及加相应标号润滑油
1-21在雷雨闪电天气请关闭机器电源并远离机器
1-22刀具刃口变钝时请及时更换
4）操作 O→-9999 →[DELET]
3-7 一条用户程式删除
1）模式 EDIT
2）画面[PROG]画面显示
3）[MEMORY PROTECTION] /记忆写保护指拨开关位置→ON
4）操作 O→程式号码→[DELET]↙
3-8 数个单节的删除
1） 模式 EDIT
2） 画面[PROG]画面显示
3） [MEMORY PROTECTION] /记忆写保护指拨开关位置→ON
1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4) - 副本
极坐标方程：
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意 一点的极坐标中至少有一个满足方程f ( , ) 0 并且坐标适合方程f ( , ) 0的点都在曲线C上， 那么方程f ( , ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
2 2
你可以用极坐标方程直接来求吗？
解：原式可化为 3 1 ＝10(cos sin ) 10 cos( ) 2 2 6 所以圆心为(5, ), 半径为5 6
圆心为(a, )( a 0)半径为a 圆的极坐标方程为＝2a cos( ) 此圆过极点O
所以， 2a cos就是圆心在C (a,0)( a 0), 半径 为a的圆的极坐标方程。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M
O
r x
解：如果以圆心O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如图），那么圆上各点的几 何特征就是它们的极径都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则OM r , 即
4、圆＝ 10cos( )的圆心坐标是 （ C ） 3 2 C、 , ) (5 (5 A、 ,0) B、 , ) (5 D、 , ) (5 3 3 3 5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的 2 极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。 解：＝4 cos( ) 4sin
x ( y 2) 4
2 2
2、极坐标方程分别是＝cos和＝sin 的两个 圆的圆心距是多少？
1 解：圆＝cos 圆心的坐标是( , 0) 2 圆 sin cos( ) cos( ) 2 2 1 2 圆＝sin 的圆心坐标是( , ), 所以圆心距是 2 2 2
用几何画板绘制小圆在大圆内滚动的动态图
用几何画板绘制小圆在大圆内壁滚动的动态图主要思路：大圆固定不动，小圆在大圆内壁上滚动，可以将小圆的运动进行分解，一个是绕大圆圆心的公转，另一个是绕小圆自身圆心的自转。
公转角速度和自转角速度两者存在关联，后面在构造参数方程时需要处理好这个关联关系。
设大圆半径为R，小圆半径为r，下面以R=2，r=1为例给出画图的主要步骤：1、打开几何画板，点击“绘图”-“定义坐标系”，并勾选“自动吸附网格”，这一步是为了便于画图，然后右键单击坐标原点和单位点进行隐藏（因为本例中不需要显示它们）；2、点击“数据”-“新建参数”，在弹出的对话框中，将数值更改为0，单位更改为角度，其余默认，然后确定。
此时页面左上角出现新定的参数t1，其初始值为0°；3、点击“数据”-“新建函数”，通过对话框上的按钮依次输入cos(x-t1)+cos(t1)，确定后新建了一个函数，显示在页面左上角。
同样再输入函数sin(x-t1)+sin(t1)，注意尽量不要通过键盘直接输入；（说明一下，这一步是核心步骤，小圆的公转和自转均在这两个函数中体现。
至于这两个函数为何如此构造，请自行用数学知识加以证明）4、点击“绘图”-“绘制参数曲线”，单击空白横坐标后单击左上角函数f，然后单击空白纵坐标后单击左上角函数g，再将定义域上限改为360，其余保持默认值，在单击“绘制”按钮；5、单击页面左上角的参数t1，再点击“编辑”-“操作类按钮”-“动画”，在弹出的对话框上，修改为“以5单位每0.05秒”，其余保持默认值。
确定后，页面左上角出现“动画角度参数”按钮，单击该按钮，小圆就会滚动了；6、下面绘制静态的大圆及其直径：新建两个函数2cos(x)和2sin(x)，并据此绘制参数曲线，就得到大圆（详细操作过程同步骤3和4），再用直尺工具连结（-2,0）和（2,0）两点得到大圆直径；7、在小圆上标记指定的点：先单击左上角参数t1，将其值调整为0，然后选中小圆，右键单击后选择“在参数曲线上绘制点”，在弹出的对话框上将值修改为0，确定即可；8、最后隐藏页面上的网格和坐标轴，以及其他不必要的点。
圆的标准方程(1) - 副本
（4）求以点C(1，3)为圆心，且与 3x-4y-7=0相切的圆的方程。
• 练习：4、求以点C(3，1)为圆心，且 与y轴相切的圆的方程。
练习： 根据下列条件求出圆的标 准方程．
（1）求以点C(2，-1)为圆心，r= √ 2 为半 径
（2）求原点为圆心，r=5为半 径
（3）以A(3，1)、B（5，-3）为直径。
（4）求以点C(4，3)为圆心，且过点 P（3，3）
点与圆有哪几种位置关系
A B
O CC
例1 求以点C（1，2）为圆心，且过 点A（-1，0）的圆的方程。并判断点 M(-3,3)、N（2，1）、Q（3，0）是 在圆上、圆内、圆外。
趣 导
半径．
入
例 1 根据下列圆的标准方程，求出 圆的圆心和半径。 • （1）(x-2)2+(y+1)2=5
• （2） (x+3)2+y2=25
• （3） x2+(y-2)2=6
• (4) x2+y2=9
练习：根据下列圆的标准方程，求 出圆的圆心和半径。
• （1）(x-3)2+(y+2/3)2=16
• （2） (x+1)2+(y-3)2=10
• （3） x2+(y-1)2=3
• (4) (x-2)2+y2=9
例2 根据下列条件求出圆的标准 方程．
（1）求以点C(−1， 半径
（3）以A(4,3)、B（6，-1）为直径。
（4）求以点C(8，-3)为圆心，且过点 P（5，1）
问题1：圆是怎样形成的？我们是怎样作圆 的？
一年级上册《季》PPT课件1 - 副本
“ 我是（ 秋天 ） 。”
春夏 秋冬
布置作业
1、把你自己创编的诗歌说给 爸爸妈妈听； 2、把你喜欢的季节画下来。
春天 秋天
夏天 冬天
yuán 圆
duì 对
yè 叶 shuō
说shì 是Fra bibliotekjiù qiū xuě 就 秋雪
xià dōnɡ dù 夏冬肚
duì shuō
对说
yuán xià
圆夏
dù jiù
肚就
shì yè
是叶
qiū xuě
秋雪
dōng
冬
对 秋夏 圆
肚
冬说
叶就
是雪
duì shuō 不对 说 话
yè yuán 荷叶 圆 圆 xià qiū 夏天 秋 天
dù 大肚子
jiù shì 就是 xuě
雪人 dōng
冬天
cǎo
草芽尖尖，
他对小鸟说：
chūn
“我是春天。”
yuán yuán
荷叶圆圆，
qīng
他对青蛙说：
“我是夏天。”
suì
谷穗弯弯，
jū ɡōnɡ
他鞠着躬说：
“我是秋天。”
tǐnɡ
雪人大肚子一挺，
wán
他顽皮的说：
“我就是冬天。”
四季
草芽尖尖， 他对小鸟说：“我是春天。”
荷叶圆圆， 他对青蛙说：“我是夏天。”
谷穗弯弯， 他鞠着躬说：“我是秋天。”
雪人大肚子一挺， 他顽皮的说：“我就是冬天。”
(桃花)(红红)， (柳树)(绿绿)，
他对（蜜蜂） 他对（ ）
说：“ 我是春 说：“ 我是春
天。”
天。”
有机化学实验问题答案---陈乐整理---副本-(2)
有机化学实验问题答案---陈乐整理---副本-(2)塞子的钻孔和简单玻璃工操作1.塞子如何选择？塞子钻孔要注意什么问题？如果钻孔器不垂直于塞子的平面时结果会怎样？怎样才能使钻嘴垂直于塞子平面？为什么塞子打孔要两面打？答：选择合适的塞子，总的大小应与仪器的口径相适应，塞子进入瓶颈或管颈的部分是塞子的1/3～2/3。
使用新的软木塞时只要能塞入1/3～2/3就行了。
软木塞钻孔之前需要在压塞机压紧，防止钻孔是塞子破裂。
钻孔时为了减少摩擦，特别对橡皮塞钻孔时，可在钻嘴的刀口涂一些甘油和水。
钻孔后要检查孔道是否合用，如果不费力就能玻璃管插入是，说明孔径太大，不够紧密会漏气，不能用。
若孔道略小或不光滑，可用圆锉修整。
钻孔应先钻一端,钻到中间后再从另一端钻，直到钻通为止。
2.截断玻璃管时候要注意哪些问题？怎样弯曲和拉细玻璃管？在火焰上加热玻璃管时怎样才能防止玻璃管被拉弯？答：折断玻璃管时要用布包住，同时尽量可能远离眼睛，以免玻璃碎伤人。
玻璃管的断口很锋利，容易划破手，又不易插入孔道中，所以要把断口在火焰上烧平滑。
弯曲的操作：双手持玻璃管，手心向外把需要弯曲的地方放在火焰上预热，然后在鱼尾焰中加热，宽约5cm。
在火焰中使玻璃管缓慢、均匀而不停地向同一个方向转动，至玻璃受热（变黄）即从火焰中取出，轻轻弯成所需要的角度。
注：（A）在火焰上加热尽量不要往外拉。
（B）弯成角度之后，在管口轻轻吹气。
（C）放在石棉网上自然冷却。
拉细的操作：两肘搁在桌面上，两手执著玻璃管两端，掌心相对，加热方向和弯曲相同，只不过加热程度强些（玻璃管烧成红黄色），才从火眼中取出，两肘仍搁在桌面上，两手平稳地沿水平方向做相反方向移动，开始时慢些，逐步加快拉成内径约为1mm的毛细管。
（注：在拉细过程中要边拉边旋转）。
3、弯曲和拉细玻璃管时，玻璃管的温度有什么不同？为什么要不同呢？弯制好了的玻璃管，如果和冷的物件接触会发生什么不良的后果？应该怎样才能避免？答：拉制玻璃管时，玻璃管的温度比弯曲玻璃管时玻璃管温度要稍高，玻璃管的软化程度要强些，否则拉不动（细）。
2022中考数学压轴题之动态几何专题《动态几何问题探究》PPT讲义 - 副本
从点B开始沿BC向点C以2 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CA边向
点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，第几秒时
PQ∥AB?
A
（陕西省咸阳市中考试题）
Q
B
P
C
图9—2
分析：如图9—2，假设运动开始后t秒时，PQ∥AB根据这时图形的特殊位置， 利用平行线分线段成比例定理求解．
(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明 理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点0顺时针旋转的度数。
中考动态几何问题探索
线动实质就是点动，即点动带动线 动，进而还会产生面动，因而线动型几 何问题可以通过转化成点动型问题来求 解.解决此类题的关键是要把握图形运 动与变化的全过程，抓住其中的等量关 系和变量关系.从运动变化得图形的特 殊位置，进而探索出一般的结论或者从 中获得解题启示，这种由特殊到一般的 思想对我们解决运动变化问题是极为重 要的.
2、图形旋转型
例7（临沂）
如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的三角板
DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为
DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。
⑴在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。①证明DM＝DN；②在这一过程中，
B P RC （图2）
D
变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边 A
E
形PQED的面积；
②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相
O
似？
B
C
D
（备用图）
1
中考动态几何问题探索
（眉山）、如图：∠MON = 90°，在∠MON的内部有一个 正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点B1是ON上的 任意一点，在∠MON的内部作正方形AB1C1D1。
四年级上册 生字 词语 日积月累 古诗 复习资料 - 副本
四上词语复习班级姓名滚动逐渐堤岸地震期盼广阔根据余下淘气牵手鹅卵坑洼填满庄稼水稻葡萄成熟海阔凭鱼跃按照舒适恐怕耐心冻僵探望曾经强硬任何呼唤技术超过善良利益联系物质质量工程技术联合研究科学家探索奥秘日暮吟唱侧面山峰楼阁费心胡须操场嫩绿占领均匀重叠空隙枯萎牢固住宅选择地址良好洞穴卧室比较临时降妖除魔输赢未定束之高阁良师益友峰回路转颇费心思居高临下操之过急劳累血液缓慢混浊支撑竭力奥秘奔跑悲惨野兽收获敬佩违抗圆环名著愤怒翻山越岭不劳而获竭尽全力悲欢离合飞禽走兽迷途知返枝繁叶茂庄稼犹如葡萄曾经横竖树立重叠身躯愣住牙齿幼儿力量发呆保护搏斗年级铁链发颤鲫鱼背攀登纪念猴子笑呵呵掩护诱饵无可奈何数量庞大脱落甚至顽皮捶背大概跪倒掐住把握吃亏撤退排练逃跑砸坏铁锅挖洞课堂否则预料尤其况且溃败自豪痛恨兵将清晰严肃振作胸怀赞叹疑惑训斥旱灾媳妇逼真徒劳派别淹没浮现扔掉搏斗笼罩疑惑违背掩护顺利牢固重叠研究驾驶均匀枯萎嫩绿训斥支撑敬佩余震鹅卵坑洼庄稼葡萄舒适僵硬横七竖八研究驾驶暮江吟选择择址血液悲惨违抗锁环掩护砸锅胸怀疑惑训斥娶媳妇灌溉据说宽阔顿时滚动逐渐犹如牵手填上庄稼风俗跳跃葡萄豌豆按照舒适恐怕耐心温和愉快兴奋曾经蚊子即使科学证明研究驾驶日暮浪费投降吟诗庐山缘由舒服均匀重叠空隙叶柄牢固临时选择住址洞穴卧室较大翻身劈开奔跑血液茂盛滋润悲惨野兽敬佩违抗屈服获得嗅到巢穴牙齿掩护幼儿搏斗铁链发颤攀登猴子鲫鱼纪念甚至昏乱顽皮脖子大概摔倒撤换排练头罩逃走砸锅否则小丑况且仍然尤其帅气预料溃败自豪塞外比赛出征证明人云亦云变化项目山顶疑惑清晰胸怀赞叹训斥严肃戎装戒烟诸位堵塞竞赛竟然唯一思维四字词语练习人山人海齐头并进山崩地裂坑坑洼洼横七竖八呼风唤雨腾云驾雾随遇而安精疲力竭奔流不息愤愤不平无可奈何无缘无故通情达理哄堂大笑冰天雪地重整旗鼓得心应手手舞足蹈摇头晃脑不动声色左顾右盼面如土色暖洋洋黑乎乎笑呵呵眼睁睁表示声音大：人声鼎沸锣鼓喧天震耳欲聋响彻云霄表示声音小：低声细语窃窃私语鸦雀无声悄无声息描写神话人物：腾云驾雾上天入地神机妙算各显神通三头六臂神通广大未卜先知刀枪不入描写英雄人物：志存高远精忠报国大义凛然英勇无畏视死如归铁面无私秉公执法刚正不阿描写人物心理：提心吊胆心急如焚胆战心惊魂飞魄散喜出望外手舞足蹈热泪盈眶欣喜若狂描写人物精神风貌：眉清目秀亭亭玉立明眸皓齿文质彬彬相貌堂堂威风凛凛膀大腰圆短小精悍容光焕发鹤发童颜慈眉善目老态龙钟惯用语：打头阵挑大梁占上风破天荒栽跟头敲边鼓开绿灯碰钉子愤愤不平AABC 津津有味头头是道念念不忘坑坑洼洼AABB 结结巴巴支支吾吾吞吞吐吐人山人海表示人多：摩肩接踵车水马龙人声鼎沸ABAC：无法无天自由自在无缘无故左顾右盼含有反义词东张西望大同小异舍近求远头重脚轻横七竖八含数字一心一意三心二意一本正经二龙戏珠三头六臂鹿柴[唐]王维空山不见人，但闻人语响。
第24章 圆单元检测题-人教版九年级数学上册课时互动训练(2份) - 副本
第24章圆单元检测题考试时间：100分钟总分：120分一、选择题(每小题的4个选项中只有一个符合题意，请将符合题目要求答案的英文字母代号填写在括号内，每题3分，共36分)1．给定下列条件可以确定一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上三点2．如图，在⊙O中，弦AB为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径等于（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm2题图4题图6题图3．下列命题：①同圆中等弧对等弦；②垂直于弦的直径平分这条弦；③平分弦的直径垂直于这条弦；④相等的圆心角所的弧相等．其中是真命题的是（）A．①②B．①②③C．①③④D．②③④4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BCO=20°，则∠A的度数为()A．60°B．65°C．70°D．75°5．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（）A．点A在⊙C内B．点A在⊙C上C．点A在⊙C外D．无法确定6．如图，△ABC内接于圆，∠ACB=90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P=28°．则∠CAB=（）A．62°B．31°C．28°D．56°7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120°．若⊙O的半径为2，则BD 的长为（）7题图8题图9题图A．23B．4 C．32D．38．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB．如果OC∥DB，OC=23，那么图中阴影部分的面积是（）．A．πB．2πC．3πD．4π9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在⊙O上(不与点B，C重合)，连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC 的度数为（）A．100°B．110°C．115°D．120°10．如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，以此类推，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=（）10题图A．4πB．3πC．2πD．π11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4π，BC＝3π，半径是2的⊙O从与AC 相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AC相切于点D的位置，则⊙O自转了（）A．2周B．3周C．4周D．5周11题图12题图12．如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，点E在圆O上，连结DE．若圆O的半径为5，且AB＝11．当∠ADE最大时，DE的长度为（）A．5 B．112C．30D．6二、填空题(请将正确的答案填写在横线上，每题3分，共24分)13．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠COA的度数是．13题图14题图14．如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8cm，则槽的深度CD为________cm.15．如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是__________．15题图16题图16．如图，A．B．C．D四点在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=40°，则∠BDC的度数是.17．如图，⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B．过点B作BD⊥AC 于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，则∠AMB的大小为（度）．17题图18题图20题图18．如图，⊙O的半径为4，直线AB与⊙O相切于点A，AC平分∠OAB，交⊙O 于点C．则AC的长为．19．平面直角坐标系内，A(-1,0)，B(1,0)，C(4，﹣3)，P 在以C 为圆心1 为半径的圆上运动，连接P A，PB，则P A2+PB2的最小值是. 20．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝3，则四边形AB1ED的内切圆半径为.三、解答题(本题共8个小题，共60分)21．(本题6分)已知：如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，BD平分∠ADC，且BC=CD．求证：AB=CD．21题图22．(本题6分)在⊙O中，AB是非直径弦，弦CD⊥AB，（1）当CD经过圆心时(如图①)，∠AOC+∠DOB= __________；（2）当CD不经过圆心时(如图②)，∠AOC+∠DOB的度数与（1）的情况相同吗?试说明你的理由．22题图23．(本题6分)尺规作图：已知△ABC，如图．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O；（2）若AC＝4，∠B＝30°，求△ABC的外接圆⊙O的半径．23题图24．(本题7分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB 于点E，F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝23，BF＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．24题图25．(本题7分)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为弧BE的中点，连接AD交BC于F，AC=FC，连接BD.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径R=5cm，AB=8cm，求△ABD的面积.25题图26．(本题8分)如图，在所给的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，每个小正方形的顶点称为格点．格点△ABD中，A(－3，5)、B(－7，2)、D(0，2) ．(1) 作出平行四边形ABCD，并直接写出C点坐标为_______；(2) 作出BD的中点M；(3) 在y轴上作出点N（不与点D重合），使得∠NAD＝∠NBD．26题图27．(本题10分)如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°．求图中所示阴影部分的面积．27题图28．(本题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BO平分∠ABC，交AC于点O，以O为圆心，OC为半径作圆，交OB于点E．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）连接CE并延长，交AB于点F，若CF⊥AB，且CF＝3，求⊙O的半径．28题图第24章圆单元检测题参考答案1．D. 解析：A. 不能确定．因为半径不确定，故不符合题意；B. 不能确定．因为圆心的位置不确定，故不符合题意；C. 不能确定，因为圆心的位置不确定，故不符合题意；D．不在同一直线上三点可以确定一个圆．故符合题意；故选D．2．C. 解析：连接OA，∵OD⊥AB，∴AD=12AB=4，由勾股定理得，OA=22AD OD=5，故选C．2题图4题图6题图3．A. 解析：同圆中等弧对等弦，则命题①是真命题垂直于弦的直径平分这条弦，则命题②是真命题平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，则命题③是假命题在同圆或等圆中，相等的圆心角所的弧相等，则命题④是假命题综上，是真命题的有①②，故选：A．4．C. 解析：连接OB，∵OC＝OB，∠BCO＝20°，∴∠OBC＝20°，∴∠BOC＝180°−20°−20°＝140°，∴∠A＝140°×12＝70°，故选：C．5．A. 解析：∵R t △ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=10，∴2222BC=AB AC=106=8--，则AC=6＜BC，∴点A在⊙C内，故选：A．6．B. 解析：连接OC，∵CP与圆O相切，∴OC⊥CP，∵∠ACB=90°，∴AB为直径，∵∠P=28°，∴∠COP=180°-90°-28°=62°，而OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，2∠CAB=∠COP，即∠CAB=31°，故选B.7．A. 解析：连结OB、OD，过点O作OE⊥BD于点E，∵∠BOD＝120°，∠BOD＋∠A＝180°，∴∠A＝60°，∠BOD＝2∠A＝120°，∵OB＝OD，OE⊥BD，∴∠EOD＝12∠BOD＝60°，BD＝2ED，∵OD＝2，∴OE＝1，ED＝3，∴BD＝23，故选A．7题图9题图8．B. 解析：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴∠OMC=90°，CM=DM．∴∠MOC+∠MCO =90°.∵OC∥DB，∴∠MCO=∠CDB.又∵∠CDB=12∠BOC. ∴∠MOC+12∠MOC=90°.∴∠MOC=60°.在△OMC 和△BMD 中，OCM BDM CM DMOMC BMD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△OMC ≌△BMD ，∴S △OMC =S △BMD . ()260232360OBC S S ππ⨯⨯∴===阴影扇形, 故选：B.9．C. 解析：如图， 连接OC ，∵过点C 的切线与BA 的延长线交于点D ，∴∠DCO =90°, 又∵∠D =40°，∴∠COB =90°+40°=130°，∴CEB 的度数是130°，∴CAB 的度数是360°-130°=230°，∴∠BEC =12×230°=115°，故选：C ； 10．D. 解析：（1）图1，过点O 作OE ⊥AC ，OF ⊥BC ，垂足为E 、F ，则∠OEC =∠OFC =90°∵∠C =90°，∴四边形OECF 为矩形.∵OE=OF ，∴矩形OECF 为正方形.设圆O 的半径为r ，则OE=OF =r ，AD =AE =3-r ，BD =4-r∴3-r+4-r=5，r=1, ∴S 1=π×12=π.（2）图2，由S △ABC =12×3×4=12×5×CD ，∴CD =125由勾股定理得：AD =22123-5（）=95，BD =5-95=165 由（1）得：⊙O 的半径=912335525+-=，⊙E 的半径=1216445525+-= ∴S 1+S 2=π×（35）2+π×（45）2=π （3）图3，由S △CDB =12×125×165=12×4×MD ， ∴MD =4825. 由勾股定理得：CM 2212483652525⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，MB =4-3625=6425 由（1）得：⊙O 的半径35=， ⊙E 的半径=4836121225255225+-=：⊙F 的半径=4864161625255225+-= ∴S 1+S 2+S 3=π×（35）2+π×（1225）2+π×（1625）2=π ∴图4中的S 1+S 2+S 3+S 4=π, 则S 1+S 2+S 3+…+S 10=π. 故选D ．11．C. 解：Rt △ABC 中，AC ＝4π，BC ＝3π，∴AB ＝5π，圆在三边运动自转周数：4354ππππ++＝3， 圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周； 可见，⊙O 自转了3+1＝4周．故选：C ．12．D. 解析：连接OE 、OF 、OD 、OM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ＝11，∠A ＝90°，∵圆O 与正方形ABCD 的两边AB 、AD 相切，∴∠OMA ＝∠OF A ＝90°＝∠A ，∵OM ＝OF ，∴四边形AFOM 是正方形，∴AM ＝OM ＝5，当点E 在圆O 最外端时，即：DE 与圆O 相切时，∠ADE 最大，∵OE＝OF，OD＝OD，∴Rt△OFD ≌Rt△OED，∴DE＝DF＝AD –AF＝11－5＝6，故选：D．12题图13．70°．解析：在同圆和等圆中,同弧所对的圆心角是圆周角的2倍,所以∠COA=2∠D=70°．故答案是70°．14．2. 解析：由题可得AD=DB=12AB=4，在Rt△ADO中，由勾股定理得OD=3，∴CD=OC-OD=5-3=2(cm), 故答案为2. 15．60°．解析：∵CD=OD=OE，∴∠C=∠DOC=20°，∴∠EDO=∠E=40°，∴∠EOB=∠C+∠E=20°+40°=60°．故答案是：60°．16．20° . 解析：连接OB，OA=OB，∵OC⊥AB，∴∠BOC=∠AOC=40°，∴∠D=12∠BOC=20°. 故答案为20°.16题图17题图17．60. 解析：连接AD，AB，∵MA切⊙O于A，∴AC⊥AM，∵BD⊥AC，∴BD//AM，∵DB=AM，∴四边形BMAD是平行四边形，∵MA、MB分别切⊙O于A、B，∴MA=MB，∴四边形BMAD是菱形，∵BD⊥AC，AC过O，∴BE=DE，∴AB=AD，∴BM=MA=AB，∴△BMA是等边三角形，∴∠AMB=60°．故答案为：60．18．2π．解析：∵直线AB与⊙O相切于点A，∴∠OAB＝90°．∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝12∠OAB＝45°．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠AOC＝90°．∴AC的长为：904180π⨯=2π．故答案是：2π．19．34. 解析：设P (x，y)，∴OP2=x2+y2,∵A(-1,0)，B(1,0)，∴P A2=(x+1)2+y2, PB2=(x-1)2+y2∴P A2+PB2=2x2+2y2+2=2(x2+y2)+2 ,∴P A2+PB2=2OP2+2当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最值, ∴OP的最小值为OC-PC=5-1=4.∴P A2+PB2最小值为2OP2+2 =2×42+2=34.故答案为: 34.19题图 20题图20-33解析：作∠DAF 与∠AB 1C 1的角平分线，交于点O ， 过O 作OF ⊥AB 1交AB 1于点F ，AB=AB 13，∠BAB 1=30°，∵四边形AB 1C 1D 1是正方形，∠DAF 与∠AB 1C 1的角平分线交于点O ，∠BAB 1=30°∴∠OAF=30°，∠AB 1O =45°. ∵OF ⊥AB 1， ∴B 1F =OF =12OA ， 设B 1F =x ，则AF 3-x ， 3x ）2+x 2=（2x ）2解得x 33-或x 33-- 即四边AB 1ED 33-33- 21．解：∵BD 平分∠ADC ，∴∠ADB =∠CDB ，∴AB BC =，∴AB=BC ，∵BC=CD ，∴AB=CD .22．（1）180°；（2）相同，(1)∵CD 是直径，弦CD ⊥AB ，∴AD DB =，∴∠AOD=∠DOB，∴∠AOC+∠DOB=∠AOC+∠AOD =180 ；(2)相同，连接BC，∵∠AOC=2∠ABC，∠DOB=2∠DCB，∴∠AOC+∠DOB=2(∠CBA+∠BCD)又∵AB⊥CD，∴∠ABC+∠DCB=90°，∴∠AOC+∠DOB=2×90°=180°．22题图23．解：（1）作法如下：①作线段AB的垂直平分线，②作线段BC的垂直平分线，③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆；（2）连接OA，OC，∵∠B＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∵AC ＝4，∴OA ＝OC ＝4，即圆的半径是4，故答案为4．24．（1）BC 与⊙O 相切，证明见解析；（2）23﹣23． 解：（1）BC 与⊙O 相切．证明：连接OD ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ．又∵OD ＝OA ，∴∠OAD ＝∠ODA ．∴OD //AC ．∴∠ODB ＝∠C ＝90°，即OD ⊥BC ．又∵BC 过半径OD 的外端点D ，∴BC 与⊙O 相切．24题图（2）设OF ＝OD ＝x ，则OB ＝OF +BF ＝x +2，根据勾股定理得：OB 2＝OD 2+BD 2，即(x +2)2＝x 2+12，解得：x ＝2，即OD ＝OF ＝2，∴OB ＝2+2＝4，∵Rt △ODB 中，OD ＝12OB ， ∴∠B ＝30°，∴∠DOB ＝60°，∴S扇形DOF ＝604360π⨯＝23π，则阴影部分的面积为S△ODB ﹣S扇形DOF＝12×2×﹣23π＝23π．故阴影部分的面积为23π．25．（1）证明：如图，连接OA，OD.∵点D是弧BE的中点∴∠BOD=∠EOD=90°（四分之一圆所对的圆心角）. ∴∠ODF+∠OFD=90°.又∵∠OFD=∠AFC, ∴∠ODF+∠AFC=90°.又∵AC=FC, ∴∠AFC=∠CAF.∵OA=OD, ∴∠ODF=∠OAF.∴∠OAF+∠CAF=90°, 即∠OAC=90°.∴AC是⊙O的切线.（2）如图，过点B作BG⊥AD于G.∵∠BOD=90°, OB=OD=R=5,∴, ∠BAD=12∠BOD=45°,∵∠AGB=90°, ∴∠ABG=∠BAD=45°, ∴BG=AG. 由勾股定理得BG2+AG2=AB2，则2BG2=AB2=82,∴BG=AG.又∵DG,∴AD=AG+DG.()21172422822ABD S AD BG cm ∆∴⋅=⨯⨯==. 故△ABD 的面积为28cm 2．25题图26．解：（1）分别过点B 作AD 的平行线、过点D 作AB 的平行线，两条平行线的交点即为点C ，作图结果如下所示：由平行四边形的性质可知，点A 平移到点D 的平移方式与点B 平移到点C 的平移方式相同∵A(-3, 5), D(0, 2)，∴点A 平移到点D 的平移方式为：先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，∵B(-7, 2),，∴点C 的坐标为C(-7+3, 2-3)，即C(-4, -1).故答案为：C (-4, -1).（2）平行四边形的性质：对角线互相平分连接AC ，与BD 的交点即为中点M ，如图所示：（3）如图，过点A作AB的垂线，与y轴的交点即为点N，理由如下：设BN的中点为点P，连接P A、PD∵点P为BN的中点∴P A为Rt△ABN斜边上的中线，PD为Rt△BDN斜边上的中线∴P A=PB=PN，PD=PB=PN，∴P A=PB=PD=PN.则以点P为圆心，P A的长为半径画圆，一定经过点B，D，N，由圆周角定理得：∠NAD=∠NBD．26题图27．（1）CD与⊙O相切．理由如下：连结OC，如图，27题图∵OA=OC，∴∠1=∠2，∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴OC∥AD，而CD⊥AD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线；（2）解：∵∠EOC=∠1+∠2，∠2=30°，∴∠EOC=60°，∵OC⊥CD，∴∠OCE=90°，在Rt△OCE中，∵∠EOC=60°，OC=3，∴OE=6,由勾股定理得，CE=3，=S△OOE-S扇形COB∴S阴影部分==．28．（1）证明：作OD⊥AB于D，如图，∵BO平分∠ABC，OC⊥BC，OD⊥AB，∴OD＝OC，而OC为⊙O的半径，∴AB与⊙O相切；（2）作OH⊥CE于H，如图，设⊙O的半径为r，∵CF⊥AB，OD⊥AB，∴四边形OHFD为矩形，∴HF＝OD＝r，∵OC＝OE，OH⊥CE，∴∠COH＝∠EOH，∵OH∥BF，∴∠CBO＝∠BOH，∵∠COH+∠BOH+∠CBO＝90°，∴∠COH＝30°，在Rt△OCH中，CH＝CF﹣HF＝3﹣r，∵CH＝12OC，∴3﹣r＝12r，解得r＝2，即⊙O的半径为2．28题图第二十四章圆复习分类训练知识点一：点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系1.已知⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标是（4，3），则点P在⊙O（）A．内B．上C．外D．不确定2. 若⊙O半径为1，点P到圆心O的距离为d，关于的方程x2﹣2x+d＝0有两个实数根，则点P在（）A. ⊙O的内部B. ⊙O上C. ⊙O的外部D. 在⊙O上或⊙O的内部3.已知⊙O的直径为8，点P在直线l上，且OP＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交4．已知两圆半径分别为6.5cm和3cm，圆心距为3.5cm，则两圆的位置关系是（）A．相交B．外切C．内切D．内含5．两圆的半径分别为2和5，圆心距为7，则这两圆的位置关系为（）A．外离. B．外切. C．相交. D．内切.6. 在Rt△ABO中，∠AOB=90°，OA=45，OB=25，以O为圆心，4为半径的⊙O与直线AB的位置关系如何？请说明理由.6题图知识点二：弦、弦心距、圆心角、圆周角之间的关系1.如图，AB是⊙的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）C. ∠ACD=∠ADCD. OM=MD A. CM=DM B. CB BD1题图2题图3题图2.如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A =500 ，则∠OCD的度数是( )A．40°B．45°C．50°D．60°3. 如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°4.如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝．4题图5题图5.如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB ＝60°，求CD的长．知识点三：切线的性质及判定1.如图，AB和AC与圆O分别相切于点B和点C，点D是圆O上一点，若∠BAC＝74°，则∠BDC等于（）A．46°B．53°C．74°D．106°1题图2题图3题图2. 如图，AB是⊙O的直径，BE是⊙O的切线，连接AE变⊙O于点D，AC＝AB，连接BC．若∠CBE＝25°，则∠ACB的度数为（）A．65°B．50°C．45°D．30°3．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，则∠P的度数为.若∠ABC=32°，4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O 相交于点F，则CF的长为．4题图5题图5．已知如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O 的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．求证：BE与⊙O相切.6. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．（1）求证：ED为⊙O的切线；（2）若AB＝10，ED＝2CE，求BC的长．6题图知识点四：三角形的内切圆、外接圆1. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）A．9 B．7 C．11 D．81题图2题图3题图2. 如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（）A．4 B．3 C．2 D．13. 如图，△ABC内接于圆，D是BC上一点，将∠B沿AD翻折，B点正好落在圆点E处，若∠C＝50°，则∠BAE的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．90°4．已知：如图，∠C＝90°，内切圆O分别与BC、AC相切于点D、E，判断四边形ODCE的形状，并说明理由．4题图5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝70°，点O是△ABC的内心，BO的延长线交AC于点D，求∠BDC的度数．5题图知识点五：弧长和扇形面积1. 已知正六边形的边长为8，则较短的对角线长为．2. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O其边长为2，则⊙O的内接正三角形ACE的边长为．2题图5题图3．一圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角是( )．A．120°B．180°C．240°D．300°4．底面圆半径为3cm，高为4cm的圆锥侧面积是( )．A．7.5π cm2B．12π cm2C．15πcm2D．24π cm25．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦关与小半圆相切，且AB=24．问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．6．如图，若⊙O的周长为20πcm，⊙A、⊙B的周长都是4πcm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？6题图知识点六：圆的综合应用1．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠A=120°，CD=•2cm，•求扇形BOC的面积．1题图2.已知AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，F是AC的中点，OF的延长线交⊙O于点D，点E在AB的延长线上，∠A＝∠BCE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝BE，判定四边形OBCD的形状，并说明理由．2题图3. 如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．（1）求证：∠ABD＝∠BCD；（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．3题图课时达标1. 已知⊙O的半径为3，若点P在⊙O内，则OP的长可能为（）A．OP＝2 B．OP＝3 C．OP＝4 D．OP＝52. 平面上一点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，则⊙O的直径是（）A．6或10 B．3或5 C．6 D．53. 直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为3，则r的取值范围是（）A．r＜3 B．r＝3 C．r＞3 D．r≥34．如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为(a, 0)，半径为5.如果两圆内含，那么a的取值范围为（）A．-2≤a≤2 B．-2＜a＜2 C．0＜a＜5 D．0＜a＜34题图5题图6题图5.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，∠C＝70°，则∠P的度数为（）A．55°B．45°C．40°D．30°6.如图，A（12，0），B（0，9）分别是平面直角坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．B．10 C．7.2 D．7. 如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为．7题图8题图9题图8. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠B＝50°，∠C＝60°，则∠EDF＝．9. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则△ADE的周长是．10．如图所示，DA切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM= 度。
观察不同形状滚动物体的运动情况大班科学活动教案
观察不同形状滚动物体的运动情况大班科学活动教案。
为让孩子们更好地体验滚动物体的运动，我们准备了不同形状的滚动物体，如球、方体、长条体等，并安排了一系列观察、比较、总结的环节，以加深孩子们对运动的理解和认识。
一、活动目标通过观察不同形状滚动物体的运动情况，培养孩子们关注事物细节的习惯，同时初步认识滚动物体的基本运动方式，感知不同形状滚动物体的运动特点。
二、活动流程1.热身活动让孩子们跳跃、转圈等活动，热身身体，为后续观察滚动物体做好准备。
2.物品展示老师拿出球、方体、长条体等滚动物体，并向孩子们展示。
让孩子们观察、摸摸滚动物体的形状、颜色、质地等特点，增加孩子们的感性认知。
3.自由探究孩子们自由探究不同形状滚动物体的运动方式，如推、拉、滚等。
让孩子们尝试用手、脚、头等部位去推滚动物体，感受滚动物体的运动特征，并尽可能用自己发现的方式记得各个形状滚动物体的运动特点。
4.团体活动让孩子们分组，每组拿一种形状的滚动物体，对其进行团体活动。
比如让孩子们排成一列，对着墙壁将滚动物体推向另一个同样的队列，看哪个队的滚动物体先到达终点。
5.总结交流让孩子们回到教室，按组展示各自的滚动物体，并讲述自己所发现的滚动物体的运动特点。
老师可以围绕孩子们的发现，引导孩子们总结不同形状滚动物体的运动规律，并梳理出基本的运动方式。
三、活动心得通过这次活动，孩子们对滚动物体的基本运动方式有了初步认识，能够感知不同形状滚动物体的运动特点。
同时，活动也锻炼了孩子们的观察力、团队合作能力和总结归纳能力。
在活动过程中，孩子们通过自主探究，感受到了科学的乐趣，理解了科学知识对于日常生活的指导作用，同时也发展了他们的好奇心和探寻欲望。
通过这次科学活动，我们通过游戏的方式，让孩子们在自由探究中学习科学知识，让他们发现、实践、总结出科学规律。
希望这种有趣的学习方式能够给孩子们留下美好的童年记忆，并为他们日后的学习打下扎实的基础。
4.6生活中的圆周运动(重点) - 副本
4.6 生活中的圆周运动（清北）一、选择题（每题2分，共50分）1．【乔龙】铁路转弯处的圆弧半径为R，内侧和外侧的高度差为h，L为两轨间的距离，且L>h.如果列车转弯速率大于RghL，则()A．外侧铁轨与轮缘间产生挤压B．铁轨与轮缘间无挤压C．内侧铁轨与轮缘间产生挤压D．内、外铁轨与轮缘间均有挤压2.【闫晓琳】一圆盘可以绕其竖直轴在图2所示水平面内转动，圆盘半径为R。
甲、乙物体质量分别是M和m（M>m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为)(RLL<的轻绳连在一起。
若将甲物体放在转轴位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘间不发生相对滑动，则转盘旋转角速度的最大值不得超过（两物体均看作质点）（）A. mL gmM)(-μB. ML gmM)(-μC. ML gmM)(+μD. mL gmM)(+μ[来源:1ZXXK]3.（多选）【乔龙】如图所示，小物块位于半径为R的半圆柱形物体顶端，若给小物块一水平速度v0＝2gR，则物块()[来源:学_科_网Z_X_X_K]A．立即做平抛运动B．落地时水平位移为2RC．落地速度大小为2gR D．落地时速度方向与地面成60°角4.【乔龙】如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是（）A．a、b和c三点的线速度大小相等B．a、b和c三点的角速度相等C．a、b的角速度比c的大D．c的线速度比a、b的大5.（多选）【乔龙】如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上(小孔光滑)．小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图中p、位置），两次金属块Q都保持在桌面上静止．则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是（）A．Q受到桌面的支持力变大B．Q受到桌面的静摩擦力变大C．小球P运动的角速度变大D．小球P运动的周期变大6. （多选）【乔龙】铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关，则A.v一定时，r越小则要求h越大B.v一定时，r越大则要求h越大C.r一定时，v越小则要求h越大D.r一定时，v越大则要求h越大7.【乔龙】在如图所示，某游乐场有一水上转台，可在水平面内匀速转动，沿半径方向面对面手拉手坐着甲、乙两个小孩，假设两小孩的质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两小孩刚好还未发生滑动时，某一时刻两小孩突然松手，则两小孩的运动情况A.两小孩均沿切线方向滑出后落入水中B.两小孩均沿半径方向滑出后落入水中C.两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动而落入水中D.甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，乙发生滑动最终落入水中8. （多选）【刘蕊】火车转弯可近似看成做匀速圆周运动，当提高火车速度时会使轨道的外轨受损．为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，你认为以下措施可行的是()A．减小内、外轨的高度差B．增大内、外轨的高度差C．减小弯道半径D．增大弯道半径9.【巩文芳】汽车在水平弯道上匀速转弯时，若速度过快，会产生侧滑现象，即漂移，下列关于漂移现象的原因分析中，正确的是（）A. 汽车运动中受到了离心力的作用使它产生漂移现象B. 汽车运动中受到合外力方向背离圆心使它产生漂移现象C. 汽车运动中受到合外力为零使它产生漂移现象D. 汽车运动中受到合外力小于所需的向心力使它产生漂移现象10.【乔龙】汽车甲和汽车乙质量相等，以相等速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为F f甲和F f乙．以下说法正确的是() A．F f甲小于F f乙B．F f甲等于F f乙C．F f甲大于F f乙D．F f甲和F f乙大小均与汽车速率无关11. （多选）【闫晓琳】如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO'转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半．内壁上有一质量为m的小物块随圆锥筒一起做匀速转动，则下列说法正确的是（）A. 小物块所受合外力指向O点B. 当转动角速度2gHRω=时，小物块不受摩擦力作用C. 当转动角速度2gHRω>时，小物块受摩擦力方向由A指向OD. 当转动角速度2gHRω<时，小物块受摩擦力方向由A指向O12. （多选）【闫晓琳】有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（）A. 如图a，汽车通过拱桥的最高点处于超重状态B. 如图b所示是一圆锥摆，增大θ，但保持圆锥的高不变，则圆锥摆的角速度不变C. 如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速度圆周运动，则在A、B两位置小球的角速度及所受筒壁的支持力大小相等D. 如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，外轨对轮缘会有挤压作用13.【闫晓琳】乘坐如图所示游乐园的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，下列说法中正确的是（）A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去B．人在最高点时对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mgC．人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等D．人在最低点时对座位的压力大小大于mg14. （多选）【闫晓琳】如图所示，小球以大小为v0的初速度由A端向右运动，到B端时的速度减小为v B；若以同样大小的初速度由B端向左运动，到A端时的速度减小为v A，已知小球运动过程中始终未离开该粗糙轨道，D为AB中点，以下说法正确的是()A．v A>v B B．v A＝v B C．v A<v B D．两次经过D点时速度不相等15.【闫晓琳】如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。
圆滚动问题方法
圆滚动问题方法
圆滚动问题是一种常见的数学问题，它涉及到物体在平面上滚动的问题。
下面是几种解决圆滚动问题的方法:
1. 代数方法：可以使用代数方法来解决圆滚动问题，即将圆的
方程转化为关于时间的一次方程，然后使用加速度的概念来解决问题。
2. 几何方法：可以使用几何方法来解决圆滚动问题，即将圆的
方程转化为关于时间的一次方程，然后通过几何图形来求解。
3. 物理方法：可以使用物理方法来解决圆滚动问题，即将圆的
方程转化为关于时间的一次方程，然后使用牛顿第二定律和圆周运动的规律来解决问题。
4. 数学方法：可以使用数学方法来解决圆滚动问题，即将圆的
方程转化为关于时间的一次方程，然后使用代数方法或几何方法来求解。
无论使用哪种方法，都需要考虑圆滚动的问题，包括圆的位移、速度、加速度等概念，并结合实际问题来进行求解。
六年级思维课圆的周长和面积 - 副本
d＝50cm
5. 已知一个运动场跑道的形状与大小如图所示，两边 是半圆，中间是长方形，它的占地面积是（ 米，周长是（ ）米。 ）平方
6.填一填。（π取3.14）
(1)上图中小圆的直径是 cm，周长是 cm， 面积是 cm²；大圆的直径是 cm， 周长是 cm，面积是 cm²。 (2)小圆与大圆的直径最简整数比 是 : ；小圆与大圆的周长最简整数 比是 : ；小圆与大圆的面积最简 整数比是 : 。
1.圆的周长公式
①已知r，求圆的周长；
②已知d，求圆的周长。
2.圆的面积公式
1. 求下图中圆的周长和面积。算下列图形的周长和面积。
3.计算下列图形的周长和面积。
4. 李明家一扇门上要装上形状如右图所示的装饰木条， 需要木条多少米？
d＝50cm
李明家一扇门上要装上形状 计算下面图形的周长。 如右图所示的装饰木条，需 要木条多少米？
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圆的滚动
-----------------由一道习题所想到的贾雷明以前遇到过这样一道题：如图，将半径为2，圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A′O′B′处，则顶点O经过的路线总长是多少？
学生由于分析不清它的运动过程而将答案弄错，更有甚者，到讲台上来回答问题，说：“点O运动的轨迹是一个半圆”，同学们哄堂大笑。
同学们经过议论、思考，才发现：点O的运动轨迹是“一段弧+一条线段+一段弧”如图：
在计算的时候，两边的两段弧是
4
1
圆周，很好计算，中间的线段O1O2的长怎么算呢？这又成了学生的绊脚石，因为他们不知道滚动圆在地面上滚动一圈，圆心通过的路程是2πr，当扇形A1O1B在地面上滚动到A2O2B2时圆心走过的路程为弧A1B的长。
这样，这个问题就迎刃而解了：点O的运动路程为“弧OO1的长+线段O1O2的长+弧O2O3的长”。
从这一个题中我发现：学生对圆的滚动问题很陌生，在考场上是不堪一击。
因此，又有了下面这些思考，如图，滚动圆在地面上滚地面上滚动一周，圆心走过的路程是多少？
A
O1
A1
O2
A2
B2
3
B3
这个问题的答案是显而易见的，全部学生都明白是：2πr 。
也就是说O 1O 2=2πr ，AB=2πr 。
趁学生的兴趣正浓，顺势又提出下面的问题：如果将线段AB 弯曲成一个圆，这样，由于线段AB 的长是2πr ，因此线段AB 弯成圆后，与☉O 1是等圆，即☉O 3是线段AB 弯成的圆。
固定☉O 3，再让☉O 1绕AB 无滑动的滚动一周，那么滚动圆自身滚动几圈？如图：
学生由于上一个问题的干扰，马上回答：１圈，因为滚圆在地面上滚动一周时，圆心走过的路程是2πr 。
显然答案是错误的，但学生还是与我争论了很长时间。
他们不理解：在平地上，滚圆滚动一周，通过的路程是2πr ，而将2πr 的线段ＡＢ弯成一个圆后，再让原来的圆，绕这个圆无滑动的滚动一周，滚动圆自身为什么不是自转了１圈？
在学生看来，外边滚圆运动时，两个圆的切点Ｄ确实走过了2πr ，而此时，与平地上不一样的是：滚动圆的圆心Ｏ１走过的路程不再是2πr ，而是图中虚线圆的周长：2π．２r ＝４πr ，
A
B
用４πr÷２πr＝２，因此滚动圆自身滚动了两圈。
曾记得，有一道中考题这样出：
如图，半径为1的☉O绕边长为4的正方形ABCD的边无滑动的沿A B C D A的方向滚动一周，圆心走过的路程是多少？不细心思考的同学很快会得出16，但这个答案是错误的，圆应该是这样运动的：轨迹是“4点线段+4条弧长”。
因此，圆心走过的路程是：4×4+2π×1=16+2π。
通过对这些题的深入思考，学生对圆的滚动问题有了更深入的理解，他们知道了要计算滚圆自身转过的圈数，就要用“滚圆圆心走过的路程÷滚圆自身周长”．
同时学生们也体会到“数学是美的”，数学的美体现在方方面面，也许美在她是探求世间现象规律的出发点，也许美在她用几个字母符号就能把若干信息表达的的简单明了，也许美在她是大胆假设和严格论证的伟大结合，也许美在她对一个问题论证时殊途同归的奇妙感受，也许美在数学家耗尽终生论证定理的锲而不舍，也许美在她在几乎所有学科中的广泛应用。