长江大学渗流力学课件第三章

②-①或①-③并代 入边界条件 c1
Pe Pwf re P Pe ln re r ln rw
Pe Pwf r P Pwf ln r rw ln e rw
平面径向流 压力分布 公式
dP c1 Pe Pwf 1 压力梯度： re r dr r ln rw
K dP K Pe Pwf 1 渗流速度： v dr ln re r rw
re
dr
Pwf
P r
Pe
dA 2rdr Pe Pwf re P Pe ln r r ln e rw
A、dA
面积加权平均示意图
Pe Pwf re P rw ( Pe re ln r )rdr 2 (re rw ) ln rw re Pe Pwf re re 2 P 2 2 ( Pe rdr rw r ln r dr ) re re rw rw ln rw
100、10000米处的渗流速度和压力梯度值。
解： （1）由产量公式得：
2Kh( Pe Pwf ) 2 0.5 10 100 (10 9) 10 q 898.15(cm3 / s) re 10000 3 ln ln 77.6(m3 / d ) 0.1 rw
一、单向渗流（平面单向流）
1. 数学模型
d 2P 0 2 dx
供给边界
Pe
K
排液道
PBi
h
L
单向渗流模型
P x 0 Pe（供给边界）
P
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xL
（排液道） PBi
B A Bh x
HX-CHENG
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2. 求解数学模型 dP 渗流微分 再分离变 c1 方程积分 量积分 dx c2 Pe
2K 2 h( Pe Pwf ) q re K2 r1 ( ln ln ) K1 rw r1
方法Ⅱ：由达西定律微分形式积分求。 K dP q re v 分离变量积分得： dr 2rh K1 rw r r1 区间内压力分布规律为： Pwf r1 P r 1 q K2 dp dr P
渗流速度： v
流量：
KBh ( Pe PBi ) q Av L
3. 结果分析
力梯度为常数，说明单位长度上的 能量损耗为定值；
●单向稳定渗流时，流速
P ●压力沿 x 方向线性分布，压 Pe
PBi
o
单向渗流压力分布曲线
dP dx
v
L
x
和流量 q 与位置坐标 x 无关，为
常数；
●流过
A
有时可取井距之半：
re a

4. 平均地层压力
◆平均地层压力：假想边界封闭，油井关井，整个地层中
的压力达到平衡后，这时地层中任一点的压力称为平均地层压 力 P 。平均地层压力反映了整个地层的能量大小，是进行 油田动态分析的一个重要参数。
PdA P
A
其中：
2 A (re2 rw )
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单相液体稳定渗流理论
◆单相流动：只有一种液体的流动叫单相流动。 多相流动：有两种或两种以上液体同时流动，叫两相或
多相流动。
◆稳定渗流：渗流的运动要素 P、 v 等只是空间坐标的函 数，与时间 t 无关。 不稳定渗流：渗流的运动要素不仅是空间坐标的函数， 也是时间的函数。即：
r (米）
Pe P Pe Pwf
0.1 1
1 0.8
10 0.6
100 0.4
1000 0.2
10000 0
从1米至0.1米处的压力损耗与从一万米至一千米处的压 力损耗相等，同为20﹪，说明能量损耗主要集中在井底附近 。
● 产量公式可写为： q

Pe Pwf Ru
re ln rw 其中Ru 为平面 2Kh
代入边界条件
P c1 x c2
Pe PBi c1 积分常数为： L
PBi c1L c2
Pe PBi P Pe x L Pe PBi P PBi ( L x) L
K dP K Pe PBi dx L
c2 Pe
或：
单向渗流压力 分布公式
dr q v u dt 2rh
分离变量积分 (0, r0 ) (t , r ) ：
r0
M
o
r r
质点扫过的孔隙体积 t (r r ) q q
2 0 2
h
对单向流：
t
A
q
x
§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
三、球面径向渗流
▲数学模型
2rw
Pwf
Pe
d 2 P 2 dP 0 2 dr r dr
q 影响较小。
②实际应用时，产量公式中各物理量可如下确定：
★ ★
Pwf 可以实测；
Pe 用目前地层压力代替；
2a
L A
在井网中确定油井泄油 面积方法示意图
★
re 一般根据实际井网形状
确定，如图所示则： →泄油面积： A 2aL →将 A 换算成等值的圆面积：
A ——泄油面积
A re2
→由此得供给半径：re
径向流渗流阻力。
①要增加产量，可采用增大生产压差 Pe Pwf 或减小渗流 阻力 Ru 的方法即：
★提高地层压力 P （通常难于做到）或降低井底压力Pwf ， e
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放大压差；
★改善地层渗透率可提高产量，如油井压裂、酸化等；
★降低原油粘度 可提高产量，如热力采油等；
★供给半径
re 和油井半径 rw 均在对数内，其变化对产量
解： 方法Ⅰ：由稳定流连续性关系求。
rw r r1 区间内压力分布规律为： re Pe q1 r P Pwf ln K1 2K1h rw Pwf r1 r r1 r re 区间内压力分布规律为： K 2 P 1 re q2 P Pe ln 2K 2 h r 渗透率突变的圆形地层 由稳定流连续性关系： q1 q2 q 可求出产量 q 为：
积分：
Pe
r1 r re 区间内压力分布规律为： re q Pe q re 1 dp dr 积分： P Pe 2K h ln r 2 P r
re
P r rw Pwf
P r re Pe
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球面径向渗流模型
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▲压力分布：
P Pe
Pe Pwf rw re
1
(r 1 re ) 1
1
▲产量公式： q
2K ( Pe Pwf )
(rw 1 re 1 )
（2）渗流速度和压力梯度计算结果如下表：
r(m）
渗流速度(cm / s）
0.1 0.3
100 0.00003
10000 0.0000003
压力梯度( MPa / m）
0.87
0.00087
0.0000087
例3-3 在刚性水压驱动下单相均质液体向井作平面径向流，地层模型 如图所示，渗透率分区发生突变，求产量公式和压力分布曲线的表达式。
基本渗流微分方 程变形为：
＊降阶法求解
＊直接积分法
1 d dP (r )0 r dr dr
积分 再积分
r
dP c1 dr
①
P c1 ln r c2
代入边界条件得：
Pe c1 ln re c2
② ②-③ ③
Pwf c1 ln rw c2
Pe Pwf c1 r ln e rw
3. 结果分析
P
●压力分布公式表
明：压力与坐标 r 呈对 数关系，从整个地层看
Pe
，地层各点压力分布是
此对数曲线绕井轴旋转 构成的曲面，此曲面形 似漏斗，习惯称为“压 降漏斗”。
P
Pwf
o
r
re
r
平面径向流压力分布曲线
●
度大，压力梯度大，能量损耗也越大；
●平面径向流的渗流场图，
dP 1 , v 表明在井底附近，渗流截面积减小，渗流速 dr r
rw 2
2 Pr dr
re
2 P 2 2 re rw
re
Pe Pwf r r r re 2 P 2 2[ Pe ( ln re re rw 2 2 r ln rw
2 e 2 w 2
2 e 2 w
re
rw
re r2 d ln )] rw 2 r
re
2 Pe Pwf r r rw re 1 2 2 2 P 2 2[ Pe ( ln (re rw ))] re re rw 2 2 rw 4 ln rw
★等间距的水平线和 垂线构成的均匀网格
y C1
x C2
任意常数
渗流场图描述渗流规律：直观、生动、具体。
●渗流场图中，流线给出了流体质点的运动轨迹，描述了
流体流向和流速分布规律；
●等压线形象地描绘了能量损耗规律和压力分布规律； ●同一渗流场中，流线密的地方流速大，等压线密的地方
压力变化急剧（压力梯度大）。
由于：rw
2 re 所以：re 2 rw re 2 ,
rw 0 2 re
2
上式简化整理得：
1 Pe Pwf P Pe 2 ln re rw
对单向流：
Pe PBi P 2
5. 液体质点移动规律 在现场实际中，有时需要了解液体质点从甲地运移到乙地 需要的时间。
由渗流速度：
§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
二、平面径向渗流
1. 数学模型
d 2 P 1 dP 0 2 dr r dr
re
2rw
Pe
h
K
Pe
P r rw Pwf （井底处）
P r re Pe （供给边界）
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Pwf 平面径向渗流模型
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2. 求解数学模型
等压线
可以直观地反映出平面径向流的
流线
渗流规律：越靠近井壁，等压线
和流线越密集，渗流速度和压力 梯度也越大。 平面径向流渗流场图
任意常数
等压线：一组与井轴同心的同心圆。 r C1
流线：以井为中心的径向线。
C2
例3-1 圆形均质等厚地层中为单相液体稳定渗流，中心 一口井井半径 0.1 米，供给半径 10000 米，试计算从 rw re 供给边缘到距井1000、100、10、1米处的能量（压力）损耗 百分数。 Pe Pwf re ln 解： 由压力分布公式 P Pe 得： r r ln e re rw ln Pe P r Pe Pwf ln re 则计算结果如表所示： rw
力为：
x
[0, x] 渗流 段的渗流阻
。
v o
KBh
x
♂解析式、渗流场图
4. 单向渗流的渗流场图（水动力场图）
◆ 渗流场图：由一组等压线和
y
一组流线按一定规则构成的图形。
◆等压线：渗流场中压力相同
等压线 流线
点的连线。
o
◆等压面：渗流场中压力相同
L x
单向渗流渗流场图
的空间点组成的面。 ⊙规则：各相邻两条等压线间 的压差值相等；各相邻两条流线间 通过的流量相等。
P f1 ( x, y, z, t ) v f 2 ( x, y, z, t )
刚性水压驱动；
忽略油水性质的差别。
§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
▲典型解：指三种简化的典型渗流方式下的解。 单向流 渗 流 方 式
平面径向流 球面径向流
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§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
油气层渗流力学
第三章 单相液体稳定渗流理论
主要内容
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7 §3.8 单相液体稳定渗流微分方程典型解 井的不完善性对渗流的影响 油井的稳定试井 井间干扰现象和势的叠加 势叠加原理的典型应用 考虑边界效应的镜像反映法 等值渗流阻力法 复变函数理论在平面渗流问题中的 应用 §3.9 平面渗流场的保角变换求解方法
4K ( Pe Pwf )
▲研究空间一点： q
(rw 1 re 1 )
例3-2 在一水平均质等厚圆形地层中心有一口完善井，地层边缘有充 足的液源供给，地层由单相不可压缩液体饱和且按达西定律渗流。已知：
re 10000, rw 0.1, Pe 10MPa, Pwf 9MPa, K 0.5m2 , 3mPa s, h 10m。 试求： （1）井产量；（2）离井轴线0.1、
平面径向流 产量公式 （裘比公式）
2Kh( Pe Pwf ) q re ln rw
产量公式： q Av 2rh v
Pe Pwf q 又由产量公式变形： 代入压力分布公式得： re 2Kh ln rw
re q P Pe ln 2Kh r
或
q r P Pwf ln 2Kh rw