多变量卡诺图及其在逻辑函数化简中的应用

多变量卡诺图及其在逻辑函数中的应用
摘要：卡诺图是在数字电路中十分有用的工具，本文介绍了多变量卡诺图在逻辑函数化简中的应用。

关键词：卡诺图、逻辑函数、化简
Multi-variable Karnaugh Map and the Application of it in Logic Function Abstract：Karnaugh map is very useful in the study of digital design, in this article; we have introduce the application of multi-variable Karnaugh map in simplification of logic functions.
Key words：Karnaugh map, simplification, logic function.
卡诺图（Karnaugh map）是由美国科学家卡诺首先提出的。

在数字电子技术中，卡诺图是逻辑函数真值表的一种图形表示，即用图形表示输入变量与函数之间的逻辑关系。

就n个变量的卡诺图来说，它是由n2个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。

在卡诺图中，几何位置相邻（这里的几何位置相邻包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的，卡诺图用几何位置上的相邻, 形象地表示了组成逻辑函数的各个最小项之间在逻辑上的相邻性。

在数字电路原理与实践课程中，我们常常将卡诺图作为化简逻辑函数的工具。

利用卡诺图化简逻辑函数的方法称为卡诺图化简法或图形化简法。

化简时依据的基本原理就是具有相邻性的最小项可以合并，以此消去不同的因子。

由于在卡诺图上几何位置相邻与逻辑上的相邻性是一致的，因而我们能够从卡诺图上直观地找出那些具有相邻性的最小项并将其合并、化简。

利用卡诺图合并最小项的规则如下：
如果两个最小项逻辑相邻，那么二者可以合并成为一项并消去一对因子，合并后的结果中只包含公共因子。

如果四个最小项逻辑相邻并且排列成一个矩形组，那么它们可以合并成为一项并且消去两对因子，合并后的结果中只包含公共因子。

如果八个最小项逻辑相邻并且排列成一个矩形组，那么它们可以合并为一项并且消去三对因子，合并后的结果中只包含公共因子。

事实上，我们可以总结出，在卡诺图中，可以圈起i2个“1”单元的矩形集，矩形的定义包括图的边缘。

相应乘积项的变量可以直接从卡诺图中确定，每个变
量可确定如下：
如果圈只覆盖图中变量为0的区域，那么变量在乘积项中求反；
如果圈只覆盖图中变量为1的区域，那么变量在乘积项中不求反；
如果圈同时覆盖图中变量为1、0的区域，那么变量不在乘积项中出现。

每次的圈中必须有新的“1”或“0”。

单独存在的“1”或“0”也必须圈起来。

如果圈“0”，那么变量求反原则反之。

需要注意的是，在卡诺图中，逻辑相邻并不仅仅包括位置相邻。

下面我们给出较为常用的三变量、四变量卡诺图，方格中的数字相邻表示其几何上也是相邻的（本文中作主要讨论的多变量卡诺图可由三、四变量卡诺图进行拓展得到）：
三变量卡诺图
四变量卡诺图
下面用例题来讨论卡诺图和逻辑函数的互相转换，为多变量卡诺图的化简作基础：
例1：用卡诺图表示逻辑函数B
A
Y+
+
=
B
+
D
ACD
A
C
D
B
A
解：首先将Y化为最小项之和的形式
15
11
10
9
8
6
4
1
)
)(
(
)
(
)
(
m
m
m
m
m
m
m
m
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
CD
B
A
ABCD
D
C
B
A
D
BC
A
D
C
B
A
D
D
C
C
B
A
CD
B
B
A
D
C
C
B
A
D
C
B
A
Y
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
画出四变量最小项的卡诺图，在对应于函数式中各最小项的位置上填入1，其余位置上填入0，就得到如图所示的Y的卡诺图。

例2：已知逻辑函数的卡诺图如下，试写出该函数的逻辑式。

解：因为函数Y等于卡诺图中填入1的那些最小项之和，圈出所有的1,所以有C
B
A
Y+
=
用卡诺图化简逻辑函数直观、简捷方便、易于掌握，但传统的卡诺图化简方法, 只适用于四变量及其四变量以下逻辑函数的化简。

五变量及五变量以上逻辑函数的卡诺图不再是平面图而是三维立体图形, 所以用卡诺图来化简在操作性、可行性上就存在着一定的困难。

因此，当我们需要对五变量及五变量以上的逻辑函数进行化简时, 我们可以采用一定的方法对多变量逻辑函数卡诺图进行变形，使之适合传统的卡诺图化简方法。

通过对多变量逻辑函数卡诺图的改进和拓展, 结合我们非常熟悉的四变量卡诺图化简方法，最终实现用卡诺图来化简五变量及五变量以上的逻辑函数。

下面以一个例题来讲解：
例3：设有函数
,,,,(5,7,13,15,16,20,25,27,29,31)
V W X Y Z
F=∑, 则其卡诺图如下所示：
那么依据四变量卡诺图的化简规则，当V=0时，有1F XZ =，当V=1时，有
2F WY Z WZ =+，那么12F F F =+，则有F V XZ VWY Z VWZ =++。

由此，五变量逻辑函数得到化简。

上述例子中，我们首先选中五个变量中的一个变量，由于该变量一定只有两种取值——0或1，所以我们可以将这两种情况分裂为两个四变量的卡诺图。

由此，我们已经对原来的五变量卡诺图进行了降维，使之成为四变量卡诺图，然后我们再按照一般方法对卡诺图进行圈1、化简。

由此可见, 如果我们对于一个 n 变量的逻辑函数, 分离出一个变量作为引入变量填入到 n-1 个变量的卡诺图中, 就会使卡诺图的格数减少二分之一。

那么，利用此方法就可用四变量的卡诺图表示五变量及以上的逻辑函数的逻辑关系, 从而使五变量及以上的逻辑函数的卡诺图化简过程得以简化。

因此，多变量卡诺图在逻辑函数化简中应用的核心思想就是降维。

结语：
事实上，我们还可以利用多变量卡诺图对逻辑函数进行各种与或非运算，或者简化数字电路设计中的分析，由于篇幅有限，在本文中不作讨论，但核心思想与逻辑函数化简类似，运用降维的方法，减少变量个数直到用传统的四变量卡诺图可以化简、进行运算为止。

参考书目：
《数字设计原理与实践 第四版》 【美】 John F. Wakerly 机械工业出版社
V=0 V=1。