(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题9.7 抛物线(讲)文

专题9.7 抛物线
【知识清单】
1.抛物线的标准方程及几何性质
对点练习：
【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知
|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为（ ） (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B
2. 抛物线的定义及应用
平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 对点练习：
【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>， 的右支与焦点为F 的抛
物线2
2(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】y x = 【解析】
3. 直线和抛物线的位置关系
（1）将直线的方程y kx m =+与抛物线的方程y 2
=2px （p ＞0）联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.
2220ky py pm -+=
若0k =，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若0k ≠
①Δ＞0 ⇔直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和抛物线相离，无公共点． （2）直线与抛物线的相交弦
设直线y kx m =+交抛物线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则
12||PP =
12|x x -
同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
12||x x -=
12||y y -=对点练习：
【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p => （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --； ②求p 的取值范围.
【答案】（1）x y 82=（2）①详见解析，②)3
4
,0(
【解析】（1）抛物线2:y 2(0)C px p =>的焦点为(,0)2p
由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202
p
--=，即 4.p =
所以抛物线C 的方程为28.y x =
（2）设1122(x ,y ),(x ,y )P Q ，线段PQ 的中点00(x ,y )M 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ, 于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+
①由22y px y x b
⎧=⎨=-+⎩消去x 得2220(*)y py pb +-=
因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠ 从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.
方程（*）的两根为1,2y p =-12
0.2
y y y p +=
=- 因为00(x ,y )M 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上 所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-
由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4
.3p <
因此p 的取值范围为4
(0,).3
【考点深度剖析】
纵观近几年的高考试题，高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多. 选择题或填空题与椭圆、双曲线综合趋势较强，解答题增多.
【重点难点突破】
考点1 抛物线的标准方程及几何性质
【1-1】已知P 是抛物线2y x =上任意一点，则当P 点到直线20x y ++=的距离最小时，P 点与该抛物线的准线的距离是( )
A ．2
B ．1
C ．21
D ．4
1 【答案】C
【解析】当直线b x y +-=与抛物线相切于P 点时，到直线02=++y x 的距离最小，把b x y +-=代入
2x y =得02=-+b x x ，由于相切041=-=∆∴b 得41-=b ，因此⎪⎭
⎫
⎝⎛-41,21P ，此点到准线41-=y 的
距离为
2
1
. 【1-2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2
－y 2
= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于54，则抛物线的方程为( ) A ．y 2
=4x B ．y 2
=8x C ．x 2
=4y D ．x 2
=8y 【答案】B
【1-3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为( ).
A ．
1
2
B ．1
C ．2
D ．4 【答案】C
【解析】圆07622=--+x y x 化为16)3(22=+-y x ，)0(2
>-
=p p
x 与圆16)3(22=+-y x 相切，12
-=-
∴p
，即2=p . 【综合点评】1. 在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p ，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况；2. 标准方程中的参数p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p ＞0恰恰说明定义中的焦点F 不在准线l 上这一隐含条件；参数p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 【领悟技法】
1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2．求抛物线方程应注意的问题
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 【触类旁通】
【变式一】如图，过抛物线y 2
＝2px (p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )
A ．y 2
＝9x B ．y 2
＝6x
C ．y 2
＝3x D ．y 2
【答案】C
【变式二】【2018届广西钦州市高三上第一次检测】抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A（﹣1，0），
过P作PN垂直直线x=﹣1于N，
由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，
设在PA的方程为：y=k（x+1），所以，
解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，
所以△=（2k 2﹣4）2﹣4k 4
=0，解得k=±1， 所以∠NPA=45°，
=cos∠NPA=．
故选B ．
【综合点评】1、抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性质问题时必须要考虑的两个重要因素． 2、求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解. 考点2 抛物线的定义及应用
【2-1】过抛物线y 2
=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=（ ）
A ．8
B ．10
C ．6
D ．4 【答案】A
【解析】由于42=p ，因此2=p ，根据焦点弦公式82621=+=++=p x x AB . 【2-2】【2017届浙江省温州市高三第二次模拟】过抛物线
的焦点的直线交该抛物线于，
两点．若（为坐标原点），则_______.
【答案】 【解析】设
，则由抛物线的定义可得，则
，故
，故直线的方程为
代入抛物线方程整理可
得，则
，则
，所以
，应填答案。

【2-3】【2017课标II ，文12】已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。

若M 为FN 的中点，则FN = 。

【答案】6
【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，做M
B l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，
点评：抛物线的定义是联系抛物线上的点到焦点距离和到准线距离的桥梁，解题时要注意合理转化． 【综合点评】
1．已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分m ＝b
a 或m ＝a b
讨论，求离心率值，需要寻求a,b,c 的等式，求离心率取值范围，需寻求关于a,b,c 的不等式关系，并结合2
2
2
c a b =+求． 2．注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用． 【领悟技法】
1．抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．
2.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 【触类旁通】
【变式1】【2018届湖北省部分重点中学高三起点】抛物线的焦点为，过焦点倾斜角为的
直线与抛物线相交于两点两点，若，则抛物线的方程为 （ ） A.
B.
C.
D.
【答案】C
【变式2】【2016高考浙江理数】若抛物线y 2
=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】9
【解析】1109M M x x +=⇒=
【综合点评】利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用． 考点3 直线和抛物线的位置关系
【3-1】2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为( )
【答案】C
【3-2】【2017届浙江省温州市高三8月模拟】过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线分别交抛物线于,A B 两点，交直线1x =-于点P ，若(),,PA AF PB BF R λμλμ==∈，则λμ+=______________． 【答案】0
【解析】直线1x =-是抛物线的准线，如图设,A B 在直线l 上的射影分别是,M N ，AM AF =，
BN BF =，
PA PA AF
AM
=
，
PB PB BF
BN
=
，因为//AM BN ，所以
PA PB AF
BF
=
，λμ=，
又0,0λμ<>，所以0λμ+=．
【3-3】【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =2
4
x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．
（1）求直线AB 的斜率；
（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程． 【答案】（1）1； （2）7y x =+． 【解析】
将y x m =+代入2
4
x y =得2440x x m --=．
当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±
从而12||AB x x -=．
由题设知||2||AB MN =
，即2(1)m =+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+．
【综合点评】在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解． 【领悟技法】
.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点。

设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则：
①焦点弦长1222||||()sin p
AB x x p AB AB αα
=++=
或为的倾斜角 ②2
21212-4
p x x y y p ==， ③
112||||FA FB p
+=，其中|AF|叫做焦半径，1||2p FA x =+
④焦点弦长最小值为2p 。

根据22||sin 2
p AB π
αα=可见，当为时，即AB 垂直于x 轴时，弦AB 的长最短，最短值为2p 。

【触类旁通】
【变式一】【2017北京，理18】已知抛物线C ：y 2
=2px 过点P （1，1）.过点（0，
1
2
）作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.
【答案】（Ⅰ）方程为2y x =，抛物线C 的焦点坐标为（14，0），准线方程为1
4
x =-.（Ⅱ）详见解析. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）代入点P 求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l 的方程为1
2
y kx =+
（0k ≠），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON 的方程为22y y x x =，联立求得点
B 的坐标21
12(,
)y y x x ，证明12112
20y y y x x +-=.
【变式2】【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线2
2y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；
（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会；（2）详见解析
【解析】试题分析：（1）设()()12,0,,0A x B x ，由AC ⊥BC 得1210x x +=；由韦达定理得122x x =-，矛盾，
所以不存在（2）可设圆方程为22
20x y mx Ey +++-=,因为过(0,1)，所以1E = ，令0x = 得
22012y y y y +-=⇒==-或，即弦长为3.
令0x =得121,2y y ==-，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为()123--=，所以 所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值 解法2：设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，
由122x x =-可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得122OD OC OA OB x x ===， 又1OC =，所以2OD =，
所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为3OC OD +=，为定值.
【综合点评】抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想. 【易错试题常警惕】
易错典例：求过点)1,0(的直线，使它与抛物线x y 22=仅有一个交点。

易错分析：对直线和抛物线有一个交点理解有误以及．
正确解析：1.当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x 轴，因为过点)1,0(，所以,0=x 即y 轴，它正好与抛物线x y 22
=相切。

2.当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x 轴，它正好与抛物线x y 22
=只有一个交点。

3.一般地，设所求的过点)1,0(的直线为1+=kx y )0(≠k ,则⎩⎨⎧=+=x
y kx y 21
2，
∴.01)22(22=+-+x k x k 令,0=∆解得k = 1
2 ,∴ 所求直线为.12
1
+=
x y 综上，满足条件的直线为：.12
1
,0,
1+=
==x y x y 温馨提示：直线和抛物线有一个交点有两种情况：相切以及平行于对称轴． 【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想
我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。

我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.
【典例】【2017浙江，21】如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24
B ，，抛物线上的点
)2
3
21)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．
（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值． 【答案】（Ⅰ）)1,1(-；（Ⅱ）27
16
【解析】
（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程
110,24
930,
42
kx y k x ky k ⎧
-++=⎪⎪⎨
⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是)
1(2342
2+++-=k k k x Q ，因为
1)2x +=)1(12++k k |PQ|= 1
)1)(1()(122
2
++--
=-+k k k x x k Q ，所以|PA||PQ|=3)1)(1(+--k k
令3)1)(1()(+--=k k k f ，因为2
)1)(24()('+--=k k k f ，所以 f(k)在区间)21,1(-上单调递增，)
1,2
1(上单调递减，因此当k=
12时，||||PQ PA ⋅取得最大值2716
．。