2020-2021高三数学下期中第一次模拟试卷及答案

2020-2021高三数学下期中第一次模拟试卷及答案
一、选择题
1．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，()1n
n n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足
（ ） A ．()1n
n T n =-⨯ B ．n T n = C ．n T n =-
D ．,2,.
n n n T n n ⎧=⎨
-⎩为偶数，
为奇数
2．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x ＋1；
④y ＝sin
4
4
x π
π
+
（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±
B ．3
C ．2
D ．1
4．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ）
A ．一定是锐角三角形
B ．一定是直角三角形
C ．一定是钝角三角形
D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
5．已知,,a b R +∈且11
5a b a b
+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]
B ．[)2,+∞
C ．(2,4)
D ．(4,)+∞
6．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）． A ．45S S <
B ．45S S =
C ．65S S <
D ．65S S =
7．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则2
1
f f ＝ A
．B
C
D
8．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若
从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8
B ．10
C ．12
D ．16
9．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）
A ．18
B ．34
C ．2
3 D ．16
10．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2 B ．4 C ．16
D ．8 11．设函数
是定义在
上的单调函数，且对于任意正数
有，已知
，若一个各项均为正数的数列满足
，其中
是数列
的前项和，则数列
中第
18项（ ）
A ．
B ．9
C ．18
D ．36
12．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3
x y
+的最大值为 A ．
13
B ．38
C ．
37
D ．1
二、填空题
13．若首项为1a ，公比为q （1q ≠）的等比数列{}n a 满足2112
3
lim()2n n a q a a →∞-=+，则1a 的取值范围是________.
14．已知数列{}n a 满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()
*
n ∈N ，记数列{}n a 的前n
项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M 、最小值为m ，则
M m +=______.
15．计算：23lim 123n n n
n
→+∞-=++++L ________
16．已知0,0x y >>，
1221
x y +=+，则2x y +的最小值为 . 17．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.
18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______. 19．设数列{a n }的首项a 1＝
3
2
，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋
1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177
n n S S <<的所有n 的和为________． 20．设2a b +=，0b >，则当a =_____时，
1||2||a a b
+取得最小值. 三、解答题
21．设}{
n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S . （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.
（2）设11a =，*2()n
a n
b n N =∈，数列}{
n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有
20n T ≤，求d 的取值范围.
22．已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足
22sin sin 1cos A C B =-．
（1）若2a =，22c =，求b ； （2）若14
sin 4
B =
，3a =，求b ． 23．如图，在ABC ∆中，45B ︒∠=，10AC =,25
cos 5
C ∠=
点D 是AB 的中点, 求
（1）边AB 的长；
（2）cos A 的值和中线CD 的长
24．已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；
(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
25．若数列{}n a 是递增的等差数列，它的前n 项和为n T ，其中39T =，且1a ,2a ,5a 成等比数列.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）设1
1n n n b a a +=
，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意*n N ∈，2
4n S a a ≤-恒成立，求a 的取值范围.
26．在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c
，若asinB =． （1）求角A ；
（2）若ABC ∆
的面积为5a =，求ABC ∆的周长．
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
先根据2
n S n =,求出数列{}n a 的通项公式,然后利用错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T .
【详解】
解:∵2
n S n =,∴当1n =时,111a S ==;
当2n ≥时,()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-, 又当1n =时,11a =符合上式,∴21n a n =-, ∴()()
()1121n n
n n b a n =-=--,
∴()()()()
()1
2
3
113151121n
n T n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--①,
∴()()()()
()2
3
4
1
113151121n n T n +-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--②,
①-②,得()()()()()()23412121111211n n n T n +⎡⎤=-+⨯-+-+-+⋅⋅⋅+---⨯-⎣⎦
()
()()
()()()
2
11111122112111n n n n n -+⎡⎤
---⎣⎦=-+⨯
--⨯-=---,
∴()1n
n T n =-,
∴数列{}n b 的前n 项和()1n
n T n =-.
故选:A . 【点睛】
本题考查了根据数列的前n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前n 项和,考查了计算能力,属中档题.
2．C
解析：C 【解析】
①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；
②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；
③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 4
4x π
π⎛⎫+
⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.
答案：C.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
解：∵234,,1a a a +成等比数列， ∴
，
∵数列{}n a 为递增的等差数列，设公差为d ， ∴，
即
，
又数列{}n a 前三项的和，
∴
，即
，
即d ＝2或d ＝−2（舍去）， 则公差d ＝2． 故选：C ．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】
由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =， 设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，
由余弦定理得2222222512116923
cos 022511110
a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，
因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C. 【点睛】
本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
5．A
解析：A 【解析】
分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛
⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭
，化简整理即可得出. 详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，可得()214ab a b ≥+，
又11
5a b a b
++
+=， 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛
⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭
， 化为()()2
540a b a b +-++≤， 解得14a b ≤+≤， 则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选：A.
点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
6．B
解析：B 【解析】
分析：由等差数列的性质，即2852a a a +=，得5=0a ，又由545S S a =+，得54S S =. 详解：Q 数列{}n a 为等差数列， 2852a a a ∴+=
又286,6a a =-=Q ，5=0a ∴
由数列前n 项和的定义545S S a =+，54S S ∴= 故选B.
点睛：本题考查等差数列的性质与前n 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。

【详解】
：设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，那么1
q n n a a -=，根据最
后一个音是最初那个音的频率的2倍，112
12
13
2q q 2a a a ==⇒=，所以
47
213
q a f f a ===D 【点睛】
：本题考查了等比数列的基本应用，从题目中后一项与前一项之比为一个常数，抽象出等比数列。

8．C
解析：C 【解析】 【分析】
数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】
Q 最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比(
)7
17
122,7,101612
a q n S -===
=-，解
得18a =，则()
12
*822
17,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()
571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．
【点睛】
本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．
9．A
解析：A
【分析】
利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos b
C C a
=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3
cos 24
C =，利用二倍角公式求得结果.
【详解】
由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=
则22224cos 2cos cos 22a b c b C b
C C ab ab a
+-===
ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=
ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222
C C
b b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅
即：2sin 4sin cos 3sin 222
C C C
C ==
()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24
C ∴= 2
91cos 2cos 1212168
C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】
等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，
数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】
本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．
11．C
解析：C
∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=
a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0
∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以
故选C
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
分析题意，取3x y +倒数进而求3
x y
+的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即
可求解。

【详解】
因为40x y xy +-=，化简可得4x y xy +=，左右两边同时除以xy 得
14
1y x
+= 求3x y +的最大值，即求
333
x y x y
+=+ 的最小值 所以1413333x y x y y x ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+⨯=+⨯+ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4143333
x y y x =
+++ 4142
3333
x y y x ≥⨯+ 3≥，当且仅当
433x y y x
=时取等号 所以3x y +的最大值为13
所以选A 【点睛】
本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题。

二、填空题
13．【解析】【分析】由题意可得且即且化简可得由不等式的性质可得的取值范围【详解】解：故有且化简可得且即故答案为：【点睛】本题考查数列极限以及不等式的性质属于中档题
解析：33
(0,)(,3)22
U
【解析】 【分析】
由题意可得1q <且0q ≠，即11q -<<且0q ≠，
211232a a a =+，化简可得133
22
a q =+由不等式的性质可得1a 的取值范围. 【详解】
解：21123lim()2n
n a q a a →∞-=+Q 2112
3lim 2n a a a →∞∴=+，lim 0n n q →∞= 故有11q -<<且0q ≠，
21123
2
a a a =+ 化简可得13322
a q =
+ 103a ∴<<且132
a ≠
即133(0,)(,3)22
a ∈U 故答案为：33(0,)(,3)22
U 【点睛】
本题考查数列极限以及不等式的性质，属于中档题.
14．1078【解析】【分析】根据数列的递推关系求出数列的前四项的最大最小值得出何时和最大何时和最小进而求得结论【详解】解：因为数列{an}满足：即解得；或或；或所以最小为4最大为8；所以数列的最大值为时
解析：1078 【解析】 【分析】
根据数列的递推关系，求出数列的前四项的最大，最小值，得出何时和最大，何时和最小，进而求得结论． 【详解】
解：因为数列{a n }满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()
*
n ∈N ，
{}211a a a ∴-∈即211a a a -=解得22a =； {}3212,a a a a ∴-∈
321a a ∴-=或322a a -= 33a ∴=或34a =；
{}43123,,a a a a a ∴-∈
431a a ∴-=或432a a -=，433a a -=，434a a -=
所以4a 最小为4，4a 最大为8；
所以，数列10S 的最大值为M 时，是首项为1，公比为2的等比数列的前10项和：
()
10112102312
M ⨯-=
=-；
10S 取最小值m 时，是首项为1，公差为1的等差数列的前10项和：
()
101011011552
m ⨯-=⨯+⨯=；
∴1078M m +=． 故答案为：1078． 【点睛】
本题考查了数列的递推关系式，等比数列以及等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．本题的关键在于观察出数列的规律．
15．【解析】【详解】结合等差数列前n 项和公式有：则： 解析：6
【解析】 【详解】
结合等差数列前n 项和公式有：()11232
n n n +++++=
L ，则：
()()2
2
6231362lim lim lim lim
61
123111n n n n n n n n n n n n n n n
→+∞→+∞→+∞→+∞-
---====+++++++L . 16．3【解析】试题分析：根据条件解得那么当且仅当时取得等号所以的最小值
为3故填：3考点：基本不等式
解析：3 【解析】
试题分析：根据条件
，解得
，那么，当且仅当
时取得等号，所以
的最小值为3，故填：3. 考点：基本不等式
17．300【解析】试题分析：由条件所以所以这样在中在中解得中故填：300考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题属于基础题型首先要弄清楚两个概念仰角和俯角都指视线与水平线的夹角将问题所涉及的
解析：300 【解析】
试题分析：由条件，
,所以
,
,
,所以
,
,这样在
中，,在
中，
，解得
,
中，
，故填：300.
考点：解斜三角形
【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.
18．【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解【详解】等差数列的前项和为则有解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求
解析：【解析】 【分析】
根据等差数列的前n 项和转化为关于1a 和d 的数量关系来求解 【详解】
Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，
则有()()31
61331392
6616362S a d S a d ⎧⨯-=+=⎪⎪⎨⨯-⎪=+
=⎪⎩
，解得112a d =⎧⎨=⎩
78911116783213121245a a a a d a d a d a d ∴++=+++++=+=⨯+⨯=
故答案为45 【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和的公式运用，在解答此类题目时可以将其转换为关于1a 和d 的数量关系来求解，也可以用等差数列和的性质来求解，较为基础。

19．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－
2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1
解析：7 【解析】
由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n≥2)，即
1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝3
4，易得21
a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝311221
12
n
⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢
⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12
)2n ]
代入
1817<2n n
S S <8
7，可得117<(12)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 20．【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是；当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归 解析：2-
【解析】 【分析】
利用2a b +=代入所求式子得||
4||4||a b a a a b
++，再对a 分0a >，0a <并结合基本不等式求最小值. 【详解】 因为2a b +=， 所以
1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b
++=+=++， 又因为0b >，||0a >，
所以
||14||b a a b +=…， 因此当0a >时，
1||2||a a b +的最小值是15
144
+=； 当0a <时，1||2||a a b +的最小值是13144
-+=.
故1||2||a a b +的最小值为34，此时,42,0,
a
b a b a b a ⎧=⎪⎪
⎪+=⎨⎪<⎪⎪⎩
即2a =-. 故答案为：2-. 【点睛】
本题考查基本不等式求最值，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对a 的分类讨论及基本不等式求最值时，要验证等号成立的条件.
三、解答题
21．（1）2020（2）29-,log 10⎛
⎤∞ ⎥⎝
⎦
【解析】 【分析】
（1）运用等差数列的通项公式可得公差d ，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；
（2）由题意可得数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列，讨论d ＝0，d ＞0，d ＜0，判断数列{b n }的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围． 【详解】
（1）a 1＝40，a 6＝38，可得d 612
55
a a -=
=-， 可得S n ＝40n 12-n （n ﹣1）2155=-（n 2012-）22
20120
+，
由n 为正整数，可得n ＝100或101时，S n 取得最大值2020；
（2）设()*
11
2n
a n a
b n N ==∈，，数列{b n
}的前n 项和为T n
，
可得a n ＝1+（n ﹣1）d ，数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列， 若d ＝0，可得b n ＝2；d ＞0，可得{b n }为递增数列，无最大值； 当d ＜0时，T n (
)21221212dn d
d
-=
--＜
，
对任意的n ∈N *，都有T n ≤20，可得202
12d
≥-，且d ＜0， 解得d ≤29
log 10
． 【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题
解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．
22．（1
）b=2
）b=
【解析】【分析】
（1
2
b
=，根据已知可求
b的值．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求cos B
，由余弦定理可得
222
a c ac
=+-，根据已知可求c，进而可求b的值．
【详解】
（1）
Q22
sin1cos sin
A C
B B
=-=．
∴
2
b
=，
2
a=
Q
，c=
b
∴=
（2
）sin
4
B=
Q
，cos
4
B
∴=，
∴由余弦定理2222cos
b a
c ac B
=+-
222
4
a c ac
=+-⋅，
又a=
c=
b
∴=
经检验，b
【点睛】
本题考查正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．
23．（1）2 （2
【解析】
【分析】
【详解】
（（1
）由cos0
ACB
∠=>可知，ACB
∠是锐角，
所以，sin
5
ACB
∠===
由正弦定理
sin sin
AC AB
B ACB
=
∠
,
sin2
sin5
AC
AB ACB
B
=∠==
（2）cos cos(18045)cos(135)A C C ︒︒︒=--=-
(cos sin ),210
C C =
-+=- 由余弦定理:
CD === 考点：1正弦定理；2余弦定理．
24．（Ⅰ）2n
n a =.（Ⅱ）25
52n n
n T +=-
. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.
试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22
111(1)6,a q a q a q +==.
又0n a >， 解得：12,2==a q ，
所以2n
n a =.
（Ⅱ）由题意知：121211(21)()
(21)2
n n n n b b S n b +++++=
=+，
又2111,0,n n n n S b b b +++=≠ 所以21n b n =+, 令n
n n
b c a =, 则21
2
n n
n c +=， 因此
12231357212122222
n n n n n n T c c c --+=+++=
+++++L L , 又
234113572121
222222
n n n n n T +-+=+++++L , 两式相减得2111
3111212
22222
n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L 所以2552
n n
n T +=-
. 【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.
【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n
－qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 25．(1) 21n a n =+ (2) 1a 2a ≤-≥或 【解析】
试题分析：（1）根据题目中所给的条件，用基本量来表示数列中的项，求出基本量，即可得到通项；（2）由第一问可得，11122121n b n n ⎛⎫
=
- ⎪-+⎝⎭
，进而裂项求和，得到
221n
a a n ≤-+恒成立，求左式的最大值即可． 解析：
（1）31239T a a a =++=Q ，13a d ∴+=
又125,,a a a Q 成等比数列2
215a a a ∴=
11a ∴=`,221n d a n =∴=-
（2）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪-+-+⎝⎭
1111111-++23352121n S n n ⎛⎫∴=
-+⋅⋅⋅- ⎪-+⎝⎭ 111-221n =+（） 21
n n =+ 对任意的*n N ∈,2
4n S a a ≤-恒成立
只需n S 的最大值小于或等于24a a
-，而12n S <
22a a ∴-≥
1a ∴≤-或2a ≥
26．（1）3
π
；（2）12. 【解析】 【分析】
（1）由正弦定理化简已知等式可得sin A sin B
B cos A ，求得tan A
A ∈（0，π），可求A =
3
π． （2）利用三角形的面积公式可求bc =8，由余弦定理解得b +c =7，即可得解△ABC 的周长的值． 【详解】
（1）由题意，在ABC ∆
中，因为asinB =， 由正弦定理，可得sin A sin B
sin B cos A ， 又因为(0,)B π∈，可得sin B ≠0， 所以sin A
A ，即：tan A
因为A ∈（0，π），所以A =
3
π；
（2）由（1）可知A =
3
，且a =5，
又由△ABC 的面积12bc sin A ，解得bc =8， 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，可得：25=b 2+c 2-bc =（b +c ）2-3bc =（b +c ）2-24， 整理得（b +c ）2=49，解得：b +c =7， 所以△ABC 的周长a +b +c =5+7=12． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．。