函数单调性和凹凸性
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应用微积分
如果函数 y f (x) 在 [a,b]上单调增加（单调减少）， 那么它的图形是一条沿 x 轴正向上升（下降）的曲线。 曲线上各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即
y' f '(x) 0 ( y' f '(x) 0) 。由此可见，函数的单调性 与导数的符号有着密切的联系。
y
B
yA
由于 x2 x1 0 ,且 x (a,b)时,恒有 f '(x) 0 ,故 f '( ) 0
于是 f (x2 ) f (x1) f '( )( x2 x1) 0，即 f (x1) f (x2 ) ，表明 y f (x) [a,b] 。
同理，若 x (a,b) 时，恒有 f '(x) 0 ，故 f '(ξ) 0 ，
(2)该定理中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷 区间），结论依然成立。
定义4.1 若 f (x0 ) 0，则称 x0 是函数 f (x)的一个驻点；
驻点和导数不存在的点统称为函数 f (x) 的一阶可疑点。 一个函数在其定义域内可能有多个单增区间和单
减区间，我们要确定它们关键在于寻找增减区间的分 界点。若 x0 为函数 f (x)的增减区间分界点且在 x0 两侧 f (x) 存在，则在 x0 两侧 f (x) 必然异号，因而 f (x0 ) 0 或 f (x0 ) 不存在.
于是 f (x2 ) f (x1) f '(ξ)(x2 x1) 0，即 f (x1) f (x2 )，表明 y f (x) [a,b] ，证毕。
注:(1)若 f '(x) 除个别点等于零外，在区间 (a,b)上处处 为正（负），则仍有y f (x) [a,b]（或 y f (x) [a,b]）； 例如 f (x) x，3 f '(0) ，0 f '(x) 3x2 ，0 但是 y f (x) (, )
导数等于零的点和导数不存在点划分函数定义域后， 就可以使函数在各个部分区间上单调，因此确定函数 单调区间的步骤如下：
① 求函数 f (x) 的定义域
② 求 f (x) ③ 求一阶可疑点 ④ 用一阶可疑点把定义域分开后列表判定
例4.13 求函数 f (x) = x3 3x2 9x 1的单调区间。
（2）若 x (a,b)时，有 f '(x) 0，则 y f (x) [a,b]。 证 因为函数 y f (x) 在[a,b] 连续，在(a, b)内可导。 在[a,b] 上任取两点 x1，x2 (x1 x2 ) ,应用拉格朗日中值定理得
f (x2 ) f (x1) f ( )( x2 x1) (x1 x2 )
解 ① 定义域为(,) ② f (x) = 3x2 6x 9 ③ 令 f (x) 0 得驻点
x1 3 x2 1
④ 把以上信息汇总列表如下：
x (-∞,-3) -3 (-3,1)
1
f (x) ＋
0
－
0
f (x)
(1,+∞) ＋
2
例4.14 求函数 f (x) (x 1)x 3 的单调区间
定义4.4 函数 f (x)的二阶导数等于零的点和二阶导数 不存在的点统称为 f (x)的二阶可疑点。
则称
图形是凹的（或凹弧），记作：f (x) 作：f (x) I 。
连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .
观察图4.6可以看出,在凹弧上,曲线各点切线斜率随 x 的增加而增加，在凸弧上，曲线各点的切线斜率随 x 的增加而减少，如果在(a,b) 区间内 f '(x) 存在，则当曲线 是凹弧时，f '(x) 递增，而当曲线是凸弧时，f '(x) 递减，
弯曲方向的问题。例如，图中有两条曲线弧，虽然它
们都是上升的，但图形却有显著的不同，左边的曲线
是向上凹的曲线弧，右边的曲线是向上凸的曲线弧，
它们的凹凸性不同，下面我们就来研究曲线的凹凸性
及其判定法。
y
y f (x)
B
y
y f (x)
B
A
oa
b
x
A
o
a
bx
定义4.2 设函数
在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有
据此下面的函数凹凸性判别法就不难理解了。
定理 4.6 设函数 y f (x) C 0[a, b]，在 (a, b)内具有
二阶导数， （1）若 x (a,b)时，有 f ''(x) 0，则 y f (x) [a,b]； （2）若 x (a,b) 时，有f ''(x) 0 ，则 y f (x) [a,b]。
导数值符号确定此区间导数符号。
2）函数 y f (x) 的增减区间分界点必为 f (x)的一阶可 疑点，反之不然。
例如 x 0 是函数 f (x) x3 的驻点，但x 0 不是函数 f (x) x3 的增减区间分界点。
函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升或
下降。但是，曲线在上升或下降的过程中，还有一个
A oa
bx
oa
B bx
反之，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下 面的定理给出了一个用导数的符号来判定函数单调性的 方法： 定理 4.5 设函数 y f (x) 在[a,b] 连续，在(a, b) 内可导。
（1）若 x (a,b)时，有 f '(x) 0，则y f (x) [a,b]；
定义4.3 设 y f (x) 在区间I上连续，x0 是 I 的内点， 如果曲线 y f (x) 在经过 (x0 , f (x0 )) 时，曲线的凹凸 性改变了，则称(x0 , f (x0 )) 为曲线的拐点。
显然拐点是曲线上凹凸区间的分界点，所以在拐点 左右邻近 f (x) 必然异号，因而在拐点处 f (x) 0或 f (x)不存在。用二阶导数等于零的点和二阶导数不存 在点划分函数定义域后，就可确定曲线的凹凸区间和 拐点。
解 ① 定义域为 (,)
② f (x) 5x - 2 33 x
③
令f
(x)
0得驻点 x1
2 5
；又x
0
时导数不存在
④ 把所求信息汇总列表如下：
x
f (x) f (x)
(,0)
＋
0
不存在
(0, 2) 5
－
2
( 2 ,)
5
5
0
＋
【注】
1）用可疑点把定义域分开后，可保证 f (x) 在各个 部分区间内保持固定符号，从而可用部分区间内某点
如果函数 y f (x) 在 [a,b]上单调增加（单调减少）， 那么它的图形是一条沿 x 轴正向上升（下降）的曲线。 曲线上各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即
y' f '(x) 0 ( y' f '(x) 0) 。由此可见，函数的单调性 与导数的符号有着密切的联系。
y
B
yA
由于 x2 x1 0 ,且 x (a,b)时,恒有 f '(x) 0 ,故 f '( ) 0
于是 f (x2 ) f (x1) f '( )( x2 x1) 0，即 f (x1) f (x2 ) ，表明 y f (x) [a,b] 。
同理，若 x (a,b) 时，恒有 f '(x) 0 ，故 f '(ξ) 0 ，
(2)该定理中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷 区间），结论依然成立。
定义4.1 若 f (x0 ) 0，则称 x0 是函数 f (x)的一个驻点；
驻点和导数不存在的点统称为函数 f (x) 的一阶可疑点。 一个函数在其定义域内可能有多个单增区间和单
减区间，我们要确定它们关键在于寻找增减区间的分 界点。若 x0 为函数 f (x)的增减区间分界点且在 x0 两侧 f (x) 存在，则在 x0 两侧 f (x) 必然异号，因而 f (x0 ) 0 或 f (x0 ) 不存在.
于是 f (x2 ) f (x1) f '(ξ)(x2 x1) 0，即 f (x1) f (x2 )，表明 y f (x) [a,b] ，证毕。
注:(1)若 f '(x) 除个别点等于零外，在区间 (a,b)上处处 为正（负），则仍有y f (x) [a,b]（或 y f (x) [a,b]）； 例如 f (x) x，3 f '(0) ，0 f '(x) 3x2 ，0 但是 y f (x) (, )
导数等于零的点和导数不存在点划分函数定义域后， 就可以使函数在各个部分区间上单调，因此确定函数 单调区间的步骤如下：
① 求函数 f (x) 的定义域
② 求 f (x) ③ 求一阶可疑点 ④ 用一阶可疑点把定义域分开后列表判定
例4.13 求函数 f (x) = x3 3x2 9x 1的单调区间。
（2）若 x (a,b)时，有 f '(x) 0，则 y f (x) [a,b]。 证 因为函数 y f (x) 在[a,b] 连续，在(a, b)内可导。 在[a,b] 上任取两点 x1，x2 (x1 x2 ) ,应用拉格朗日中值定理得
f (x2 ) f (x1) f ( )( x2 x1) (x1 x2 )
解 ① 定义域为(,) ② f (x) = 3x2 6x 9 ③ 令 f (x) 0 得驻点
x1 3 x2 1
④ 把以上信息汇总列表如下：
x (-∞,-3) -3 (-3,1)
1
f (x) ＋
0
－
0
f (x)
(1,+∞) ＋
2
例4.14 求函数 f (x) (x 1)x 3 的单调区间
定义4.4 函数 f (x)的二阶导数等于零的点和二阶导数 不存在的点统称为 f (x)的二阶可疑点。
则称
图形是凹的（或凹弧），记作：f (x) 作：f (x) I 。
连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .
观察图4.6可以看出,在凹弧上,曲线各点切线斜率随 x 的增加而增加，在凸弧上，曲线各点的切线斜率随 x 的增加而减少，如果在(a,b) 区间内 f '(x) 存在，则当曲线 是凹弧时，f '(x) 递增，而当曲线是凸弧时，f '(x) 递减，
弯曲方向的问题。例如，图中有两条曲线弧，虽然它
们都是上升的，但图形却有显著的不同，左边的曲线
是向上凹的曲线弧，右边的曲线是向上凸的曲线弧，
它们的凹凸性不同，下面我们就来研究曲线的凹凸性
及其判定法。
y
y f (x)
B
y
y f (x)
B
A
oa
b
x
A
o
a
bx
定义4.2 设函数
在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有
据此下面的函数凹凸性判别法就不难理解了。
定理 4.6 设函数 y f (x) C 0[a, b]，在 (a, b)内具有
二阶导数， （1）若 x (a,b)时，有 f ''(x) 0，则 y f (x) [a,b]； （2）若 x (a,b) 时，有f ''(x) 0 ，则 y f (x) [a,b]。
导数值符号确定此区间导数符号。
2）函数 y f (x) 的增减区间分界点必为 f (x)的一阶可 疑点，反之不然。
例如 x 0 是函数 f (x) x3 的驻点，但x 0 不是函数 f (x) x3 的增减区间分界点。
函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升或
下降。但是，曲线在上升或下降的过程中，还有一个
A oa
bx
oa
B bx
反之，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下 面的定理给出了一个用导数的符号来判定函数单调性的 方法： 定理 4.5 设函数 y f (x) 在[a,b] 连续，在(a, b) 内可导。
（1）若 x (a,b)时，有 f '(x) 0，则y f (x) [a,b]；
定义4.3 设 y f (x) 在区间I上连续，x0 是 I 的内点， 如果曲线 y f (x) 在经过 (x0 , f (x0 )) 时，曲线的凹凸 性改变了，则称(x0 , f (x0 )) 为曲线的拐点。
显然拐点是曲线上凹凸区间的分界点，所以在拐点 左右邻近 f (x) 必然异号，因而在拐点处 f (x) 0或 f (x)不存在。用二阶导数等于零的点和二阶导数不存 在点划分函数定义域后，就可确定曲线的凹凸区间和 拐点。
解 ① 定义域为 (,)
② f (x) 5x - 2 33 x
③
令f
(x)
0得驻点 x1
2 5
；又x
0
时导数不存在
④ 把所求信息汇总列表如下：
x
f (x) f (x)
(,0)
＋
0
不存在
(0, 2) 5
－
2
( 2 ,)
5
5
0
＋
【注】
1）用可疑点把定义域分开后，可保证 f (x) 在各个 部分区间内保持固定符号，从而可用部分区间内某点