回归分析的基本思想及其初步应用(用三课时)

对于一组具有线性相关关系的数据 (x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn),
其回归直线方程为 yˆ bˆx aˆ 此直线叫做回归直线。
其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为： 最
n
n
y bˆ
i1
(xi
n
x)(yi (xi x)2
y)
xi
i1
n
xi2
nxy
i
,
2
nx
吗？如果不是，你能解析一下原因吗？
答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认 为她的体重接近于60.316kg或在60.316kg 左右。即，用这个回归方程不 能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平 均体重的值。
从散点图看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上， 所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。
注意：1）残差分析步骤：
1）计算每组数据的残差，即样本值减预测值 (yi y i )
2）画残差图。纵残差图的制作：
坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择. 横轴为编号：可以考察残差与编号次序之间的关系，常用于调查
数据错误. 横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，常用于研究
2）函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系 函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况
如：人的身高与年龄；产品的成本与生产数量 商品的销售额与广告费；家庭的支出与收入。等等
一.回顾复习
问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间
的函数关系是 y = x2
i=1
=
i=1 n
xi2 - nx2
= 0.849,
i=1
a = y - bx = -85.712
故所求线性回归方程为： y ˆ0.849x85.712
bˆ 0.849 是斜率的估计值，说明身高x每增加1个单位时，
体重y就增加0.849个单位，这表明体重与身高具
有正的线性相关关系.
5.根据回归方程作出预报.
因此，对于身高172cm的女大学生，由线性回归方程可以预报其
体重为： y ˆ 0 .8 4 9 1 7 2 8 5 .7 1 2 6 0 .3 1 6 ( k g )
思考1：如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？
1)用相关系数r来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱
n
(xi - x)(yi - y)
180
185
身高/cm
3.设回归方程：由散点图可知，样本点呈条状分布，身高和体重有
yˆ bˆx aˆ 较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来近似的刻画它们之
间的关系.故设回归直线方程为
4.求回归方程：
n
n
(xi - x)(yi - y)
xiyi - nxy
有
b = i=1 n
(xi - x)2
一.回顾复习
正相关（增） 确定性关系——函数关系 线性相关
1、两个变量的关系
相关关系
负相关（减）
不确定性关系
非线性相关
2、相关关系的定义：
不相关关系
对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的
两个变量之间的关系叫做相关关系。 注：1）对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。
yi
y (2)求 xi2, xi yi.
i1
i1
n
(xi x)(yi y)
n
xi
nxy
i
（3）代入公式
b i1 n
(xi x)2
i1
i1 n
xi2
n
2
x
,
i1
^
a y bx,......(1)
（4）写出直线方程为y=bx^+a,即为所求的回归直线方程。
5.回归分析的基本步骤:
画散点图
遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素； 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差； 3、身高 y 的观测误差。
以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。
思考4：函数模型与回归模型之间的差别？
函数模型： ybxa
回归模型： ybxae
函数模型：因变量y完全由自变量x确定
线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和 随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y的变化。
n
__
xiyi nxy
相关系数 r = i=1
i1
n
n
(xi - x)2 (yi - y)2
i=1
i=1
n i1
xi2
n
_
x
2
n i1
yi2
n
_
y
2
2）相关系数的性质:
（1）|r|≤1． （2）ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．
（3）|r|越接近于1，x与y相关程度越强；
|r|越接近于0，x与y相关程度越弱．
种方法把它剔除？
1.残差分析与残差图的定义：
数据点和它在回归直线上相应位置的差异
ei =yi yi 为残差。
(yi
yi)
是随机误差的效应，称
然后，我们可以通过残差 e1,e2, ,en 来判断模型拟合的效果，判断原始
数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。
我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本 编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。
根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能
耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）
例1、某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如
下表所示.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求回归方程 预报、决策
练习1：下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程
中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数 据.
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性
回归方程 yˆ bˆx aˆ
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试
在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量。
因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式， 线性回归模型是一次函数模型的一般形式.
小结：线性回归分析的基本步骤：
1.确定变量； 2.作散点图，判断相关关系； 3.设回归方程； 4.求回归方程； 5.根据回归方程作出预报.
高二数学 选修1-2
1)相关系数r
(xi x)( yi y)
i 1
.
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
i 1
i 1
2) 相关系数r的性质:
（1）|r|≤1．
（2）ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关． （3）|r|越接近于1，x与y相关程度越强；
|r|越接近于0，x与y相关程度越弱．
案例1：女大学生的身高与体重
我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e， （其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差）。
体重/kg
75 70 65 60 55 50 45 40
150
155
160
165
170
身高/cm
175
180
185
思考3：产生随机误差项e的原因是什么？
随机误差e的来源(可以推广到一般）：
1、其它因素的影响：影响体重y 的因素不只是身高x,可能还包括
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图： 2、由散点图知道身高和体重有比较 好的线性相关关系，因此可以用线性 回归方程刻画它们之间的关系。
3、从散点图还看到，样本点散布在 某一条直线的附近，而不是在一条 直线上，所以不能用一次函数 y=bx+a描述它们关系。
思考：有些时候，样本数据中难免混有错误数据，通过何
1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）
——随机误差与线性回归模型
一.复习回顾
1、线性回归模型：y=bx+a+e
（其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差）。 2.线性回归分析的基本步骤：
1）确定变量； 2）作散点图，判断相关关系；
3）设回归方程；4）求回归方程；5）根据回归方程作出预报.
3、线性相关关系强弱n的判断：相关系数r
2.用相关指数R2来刻画回归的效果：
n
( yi yˆ ) 2
R2
1
i 1 n
本例中,由上面公式可求得r=0.798>0.75．
表明体重与身高有很强的线性相关性，从而说明我们建立的回归模型 有意义的.
练习2:某种产品的零件数x与加工时间y之间有如表所示数据:
零件数X
2
4
5
6
8
加工时间y(分 30 40
60
50
70
钟)
(1)求线性回归方程; (2)y ˆ6.5x17.5
思考2：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg
水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
y
500 水稻产量
450
· ··
400
·
350 · · ·
300
施化肥量
10 20 30 40 50
x
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
y
500 水稻产量
小 二 乘 估
i1
i1
aˆ y bˆx
计
注：1）回归直线方程 yˆ bˆx aˆ 恒过样本中心点( x , y )
(其中 x1ni n1xi,y1ni n1yi）
2）、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。
4.求回归直线方程的步骤：
(1)求x1 n
n n
ni1
xi,y1 ni n1
相关关系的测度（相关系数取值及其意义）
完全负相关
无线性相关
完全正相关
-1.0 -0.5 0 +0.5 +1.0
r
负相关程度增加
正相关程度增加
①、当 r 时1，x与y为完全线性相关，它们之间存在确定的函数关系。
②、当 0 r时，1表示x与y存在着一定的线性相关， r的绝对值越大，越接近于1，表示x与y直线相关程度越高，反之越低。
（1）画出散点图 （2）根据女大学生的身高预报体重的回归方程， （3）预报一名身高为172cm的女大学生的体重.
解：1.确定变量：
由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变
量x，体重为因变量y． 75
70
65
2. 作散点图； 60
体重/kg
55
50
45
40
150
155
160
165
170
175
问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？
通常：r∈[-1,-0.75]--负相关很强; r∈[0.75,1]—正相关很强;
r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; r∈[0.3, 0.75]—正相关一般;
r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;
注:通常，r>0.75，认为两个变量有很强的相关性．
8
6
4
问
残
2
题
差
0
数
图
-2 0
2
4
6
8
10
据
越 窄 越 好
-4
-6
-8
注意：残差图的作用：
1)发现原始数据中的可疑数据，问题数据 2)判断模型的适用性，若模型选择的正确，残差图中的点应该比较均匀地落在
以横轴为中心的水平的带状区域中 带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高，
说明选用的模型较合适。
下表列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。
编号 身高/cm 体重/kg
残差
1 165 48
-6.373
2 165 57
2.627
3 157 50
2.419
4 170 54
-4.618
5 175 64
1.137
6 165 61
6.627
7 155 43
-2.883
8 170 59
0.382
450
· ··
400
·
350 · · ·
300
散点图 施化肥量
10 20 30 40 50
x
探索1：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？
发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。 探索2：在这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最能代表
x与y之间的关系呢？
3.线性回归直线方程：yˆ bˆx aˆ
确定性关系
问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否有一个确
定性的关系？ 例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上进行施肥量对水
稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。