新疆兵团农二师华山中学2014-2015学年高二数学下学期第一次月考试题 理

数学理
一、单项选择（10*3＝30分）
1、已知R b a ∈、，则复数 i a b +是虚数的充分必要条件是 （ ） A.0ab ≠ B.0a ≠ C.0b ≠ D.0a =且0b ≠
2、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ） A.假设三内角都大于60度 B ．假设三内角都不大于60度
C.假设三内角至多有一个大于60度 D ．假设三内角至多有两个大于60度
3、用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以2a ＞0”，你认为这个推理( )
A ．大前题错误
B ．小前题错误
C ．推理形式错误
D ．是正确的 4、已知i 为虚数单位，复数121i
z i
+=
-，则复数z 在复平面上的对应点位于（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 5、如图中阴影部分的面积是 （ ）
A ．23
B ．923-
C ．323
D ．353
6、函数x x x f 43
1)(3
-=
的单调递减区间是（ ） A ．)2,(--∞ B ．)2,2(- C ．),2(∞+ D ．),2()2,(+∞⋃--∞ 7、已知数列{}n a 为等比数列，且2
2201320150
4a a x dx +=-⎰
，则()
20142012
2014
2016
2a a a a
++的值为（ ）
A ．2π
B ．2π
C ．π
D ．24π
8、设函数()f x 在定义域内可导，
()y f x =的图象如图，则导函数'
()y f x =的图象可能为
（ ）
O
y
(1,2)
2
3y x =-(3,6)
--2y x =x
9、已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( ) A. B.
C.
D.
10、直线1y x =-与双曲线()2
2
210y x b b
-=>有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围
是（ ） A. ()
1,2
B.
(
)
2,+∞
C. ()1,+∞
D. ()(
)
1,22,⋃
+∞
二、填空题（4*4＝16分）
11、用数学归纳法证明“221n n >+对于0n n ≥的自然数都成立”时，第一步中的值0n 应取 12、根据下列4个图形及黑方块的个数的变化规律，现用()f n 表示第n 个图黑方块总数，则
(5)f =___________，试猜测()f n =
__________.
13、若函数()2
lg ,03,0a
x x f x x t dt x >⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩⎰，()18f f =⎡⎤⎣⎦，则a 的值为__________.
14、已知直线与椭圆22
194
x y +=交于,A B 两点，设线段AB 的中点为P ，若直线的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于 . 三、解答题（共54分）
（10分）15、根据要求证明下列各题： （1）用分析法证明：5623->-
（2）用反证法证明：1，2，3不可能是一个等差数列中的三项 （10分）16、若a ，b ， c 是不全相等的正数，求证： lg
＋lg
＋lg
＞lg a ＋lg b ＋lg c.
（10分）17、如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4,2==AC BC ．//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2.
（Ⅰ）求证：BC ⊥平面1A DC ；
（Ⅱ）若2=CD ，求平面BE A 1与平面1A BC 所成二面角的大小．
（12分）18、已知双曲线C 与椭圆14
82
2=+y x 有相同的焦点，实半轴长为3． （Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 有两个不同的交点A 和B ,且2OA OB ⋅>（其中O 为原点）,求k 的取值范围．
（12分）19、 设函数()1x
f x e -=-，函数()1
x
g x ax =
+(其中a ∈R ，e 是自然对数的底数）． (1)当a=0时，求函数()()()h x f x g x '=⋅的极值；
(2)若()()f x g x ≤在[0，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围．
A
B
C
D
E
图1
图2
A 1
B
C
D
E
参考答案
一、单项选择
二、填空题 11、【答案】5
12、【答案】41，1222+-n n 13、【答案】2 14、【答案】9
4
- 【解析】 三、解答题
15、试题解析：（1）要证：3265->
-；即证：3526+>+；
即证：22
(35)(26)+>+；即证：82158212+>+；
即证：1512>；即证：1512>；而1512>显然成立，且以上各步皆可逆， 所以：3265->
-
（其他方法参照给分）
（2）假设1，2，3是某一个等差数列中的三项，且分别是第,,m n k 项（*
,,m n k N ∈），
则数列的公差2131d n m k m --=
=--，则2()
21n m k m
--=-， 因为*
,,m n k N ∈，所以(),()n m k m Z --∈，所以
2()
n m k m
--为有理数，
所以21-是有理数，这与21-是无理数相矛盾。

故假设不成立，所以1，2，3不可能是某等差数列的三项。

16、【答案】证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴
≥
＞0，
≥
＞0，
≥
＞0.
又上述三个不等式中等号不能同时成立．
∴··＞abc 成立．
上式两边同时取常用对数， 得lg ＞lg abc ，
∴lg ＋lg
＋lg
＞lg a ＋lg b ＋lg c.
17、
试题解析：（Ⅰ）证明：在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥
1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.
由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面
1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面.
（Ⅱ）如图,以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系xyz D -．取A 1C 的中点F ，连DF ，
则)1,1,0()2,0,0(,)0,2,2(,)0,0,1(,)0,2,0(,)0,0,0(1F A B E C D
C A DF DC A
D 1,
4⊥∴==
由（1）可知，BC DF ⊥,从而BC A DF 1平面⊥
∴DF 为平面BC A 1的法向量，)1,1,0(=DF
又)2,2,2(1-=B A ，)0,2,1(--=BE 设平面BE A 1的法向量为)1,,(y x n = 由⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨
⎧=⋅=⋅12
1y x BE n B A n )1,1,2(-=⇒n
n DF ⋅=
∴平面BE A 1与平面1A BC 所成锐二面角的余弦值为090
考点：线面垂直的判定与性质、空间向量的应用.
18、
试题解析：（1）解：设双曲线的方程为)0,0(122
22>>=-b a b
y a x
2,3==c a ,1=∴b ,
故双曲线方程为13
22
=-y x ． （2）解：将2+=kx y 代入13
22
=-y x 得0926)31(22=---kx x k 由⎩⎨⎧>∆≠-0
0312k 得,312≠k 且12<k
设),(),,(2211y x B y x A ,则由2>⋅OB OA 得
)2)(2(21212121+++=+kx kx x x y y x x =2)(2)1(21212++++x x k x x k
2231262319)
1(2
22>+-+--+=k k k k k ,得.33
12
<<k 又2
1k <，21
13
k ∴
<<,即)1,33()33,1( --∈k 19、【答案】（1）函数()h x 在1x =处取得极大值1(1)h e
=，无极小值；（2）1
[0,]2.
（1）()(),x
x f x e
x e --''=--=
函数()()(),()(1),x
x
h x f x g x xe h x x e --''===-
当x<1时，()0h x '>；当x>1时，()0h x '<,故函数在(,1)-∞上单调递增，在(1)+∞，上单调递减.∴函数()h x 在1x =处取得极大值1
(1)h e
=.函数()h x 无极小值. （2）由题11x x e ax --≤
+在[0,)+∞上恒成立，0,1[0,1),0,1
x x
x e ax -≥-∈∴≥+ 当0,x =则R a ∈，若0,x >则1
a x
>-恒成立，则0a ≥.
不等式11
x x e ax --≤+恒成立等价于(1)(1)0x
ax e x -+--≤在[0,)+∞上恒成立，
令()(1)(1),x
u x ax e x -=+--则()(1)(1)1,x
x
u x a e ax e --'=-++-
又令()(1)(1)1,x
x
x a e ax e
υ--=-++-则()(21),0,0x x e a ax x a υ-'=--≥≥.
①当0a =时，()0,x
x e
υ-'=-<则()x υ在[0,)+∞上单调递减，∴ ()=()(0)=0x u x υυ'≤，
∴ ()u x 在[0,)+∞上单减，∴ ()(0)=0u x u ≤，即()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立 ②当0a >时，21
()().x a x a e x a
υ--'=-- （i ）当210a -≤，即1
02
a <≤
时，()0,x υ'≤则()x υ在[0,)+∞上单调递减， ∴ ()=()(0)=0x u x υυ'≤，∴()u x 在[0,)+∞上单调递减，∴ ()(0)=0u x u ≤， 此时()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立； （ii ）若210a ->，即12a >时，若210a x a -<<时，()0,x υ'>则()x υ在21(0,)a a
-上单调递增，。