最大公因数与最小公倍数 考点总结+针对性训练 完整版 后面带答案

最大公因数与最小公倍数
一、知识梳理：
（1）、最大公因数和最小公倍数。

互质:两个数的最大公因数为1就叫做这两个数互质。

1.两个连续自然数是互质的。

例如:8与9;15与16
2.两个质数必然是互质的。

例如:5和7;11和13
（2）、求最大公因数或最小公倍数的方法
1.若两个数是互质的,则最大公因数为1,最小公倍数为这两个数的乘积。

2.若两个数是倍数关系,则较小的数为它们的最大公因数,较大的数为它们的最小公倍数。

当两个数相差较大时,要判断大数是否为小数的倍数。

3.两个数不是倍数关系的,也不是互质的才适合用分解质因数去求最大公因数和最小公倍数。

（3）、应用题中如何识别是求公因数还是公倍数的方法
1.分析题意,判断结果应该比所给数量大,则是求公倍数;
2.分析题意,判断结果应该比所给数量小,则是求公因数
3.题目中含“最多”或“最长”等字眼,则是求最大公因数
4.题目中含“至少”,“下一次”字眼,则是求最小公倍数
二、最大公因数与最小公倍数针对性练习：
一、填空题。

1、如果有两个质数的和等于24，可以是（）＋（），（）＋（）或（）＋（）。

2、a b c 都是质数，甲数=a×b×b，乙数=a×b×c，甲乙两数的最大公因数是（），最小公倍数是（）
3．a=2×2×5，b=2×3×5，那么a 和b的最小公倍数是（），最大公因数是（）。

4、找出下列每组数的最大公因数、最小公倍数
15和12的最大公因数是（），最小公倍数是（）
18和27的最大公因数是（），最小公倍数是（）
17和34的最大公因数是（），最小公倍数是（）
5、一个自然数除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是（）。

6、有三根铁丝，一根长48dm,一根长60dm,，一根长36dm，要把他们截成同样长的几段，不许剩余，每段最长是（）dm,一共可以截成（）段。

7、三个连续自然数的和是18，这三个自然数的最大公约数是（），最小公倍数是
（）。

8、a和b都是自然数，而且a=8b，那么a和b的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

9、m和n是两个相邻的自然数，都不为0，则它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

10、如果自然数A除以自然数B商是17,那么A与B的最大公约数是( ),最小公倍数是( ）。

11、最小质数与最小合数的最大公约数是( ),最小公倍数是( )。

12、能被5、7、16整除的最小自然数是（）。

13、在( )里写最大公因数、[ ]里写最小公倍数。

(1)(7、8)=( ), [7,8]=( )
(2)(25,15)=( ) [25、15]=( )
(3)(140,35)=( ) [140,35]=( )
(4)(24,36)=( ) [24、36]=( )
(5)[3,4,5]=( ) [8,16]=( )
14、5和12的最小公倍数减去( )就等于它们的最大公因数。

15、91和13的最小公倍数是它们最大公约数的( )倍。

16、已知两个大于1的互质数的最小公倍数是153，这两个互质数是（）和（）。

17、3个连续自然数的最小公倍数是60,这三个数是（）、（）和（）。

18、被2、3、5除,结果都余1的最小整数是( ),最小三位整数是( )。

19、一筐苹果4个4个拿,6个6个拿,或者8个8个拿都正好拿完,这筐苹果,最少有( )个。

20、三个连续偶数的和是42,这三个数的最大公约数是( )。

21、三个不同质数的最小公倍数是105,这三个质数是（ )、( )和( )。

22、自然数m和n,n=m+1,m和n的最大公约数是( ),最小公倍数是( ）
23、把自然数a与b分解质因数,得到a=2×5×7×m,b=3×5×m,如果a与b的最小公倍数是2730,那么m=( )。

24、三个数的和是312,这三个数分别能被7、8、9整除,而且商相同。

这三个数分别是（）、（）、（）。

25、已知(A,40)=8,[A,40]=80,那么A=( )。

二、选择题
1．两个合数的最大公因数是1，最小公倍数是144，这两个数是（）A．1和144 B．8和18 C．7和72 D．9和16
2．a和b都是自然数，而且a=4b，那么a和b的最大公因数是（），最小公倍数是（）
A．4 B．b C．a D．ab
3．a=2×2×5，b=2×3×5，那么a 和b的最小公倍数是（）
A．600 B．300 C．60 D．10
4．m是n的1/3（m、n均为非零自然数），m与n两个数的最小公倍数是（）A．n B．1C．m D．mn
5．两个数的最大公因数是12，最小公倍数是144，其中一个数是36，另一个数是（）A．156 B．12 C．48 D．132
6．两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，则这两个数的差是（）A．45 B．35 C．25 D．40或20
7．某班同学在一起做游戏，3人一组少1人，4人一组多3人，6人一组少1人，这个班至少有（）人．
A．20 B．13 C．12 D．11
8．根据a=bc（a、b、c都是不为0的自然数），可以知道a和b的最小公倍数是（）A．a B．b C．c D．bc
9．如果a÷b=7（a和b都是不为0的自然数），a和b的最大公因数是（）A．a B．b C．7
10．甲、乙两个数的最大公约数是4，最小公倍数是24，甲数是12，乙数是（）A．4 B．6 C．8 D．24
11．已知甲数=2×2×2×3×5，乙数=2×3×3×3×5，那么甲数和乙数的最小公倍数是（）
A．120 B．180 C．270 D．1080
12．m、n是非零自然数，m÷n=1…1，那么n和m的最小公倍数是（）A．m B．mn C．n
13．如果a÷b=5（a、b是不为0的自然数），那么a、b的最大公因数是（）A．a B．b C．5 D．0
14．甲和乙的最大公约数是6，最小公倍数是60，若甲为12，则乙是（）A．24 B．15 C．30
三、判断题：
1、一个数的因数的个数是有限的，而倍数的个数是无限的。

（）
2、因为7×8=56，所以56是倍数，7和8是因数。

（）
3、14比12大，所以14的因数比12的因数多。

（）
4、1是1，2，3，4，5......的因数。

（）
5、一个数的最小因数是1，最大因数它本身。

（）
6、一个数的最小倍数是它本身。

（）
7、12是4的倍数，8是4的倍数，12与8的和也是4的倍数。

（）
四、解答题：
1、一批练习本，如果平均分给6位同学，就多出3本；如果平均分给8位同学，还是多出3本，如果平均分给10位同学，仍然会多出3本，这批练习本至少有多少本？
2、一袋糖果，如果平均分给4个小朋友，还剩3块，如果平均分给5个小朋友，还缺1块，如果平均分给6个小朋友，还缺1块，这袋糖果至少有多少个？
3、有一条小路边上种了36棵小树，每两棵树之间的间隔是2米，现在改为株距是5米，一共有多少棵小树不必挪动？
4、甲、乙、丙三个班的同学去公园划船,甲班49人,乙班56人,丙班42人。

把各班同学分别分成小组,分乘若干条小船,使每条船上人数相等,最少要多少条船?
5、有三根铁丝,长度分别是120厘米、180厘米、300厘米。

现在要把它们截成相等的小段,每根都不能有剩余。

每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段
6、兄弟三人在外工作,大哥6天回家一次,二哥8天回家一次,小弟12天回家一次。

兄弟三人同时在十月一日回家,下一次三人再见面是哪一天?
7、有一个长80厘米,宽60厘米,高115厘米的长方体储冰容器,往里面装入大小相同的立方体冰块,这个容器最少能装多少数量冰块?
8、已知某小学六年级学生超过100人,而不足140人。

将他们按每组12人分组,多3人;按每组8人分,也多3人。

这个学校六年级学生多少?
9、把长120厘米,宽80厘米的铁板裁成面积相等,最大的正方形而且没有剩余,可
以裁成多少块
10、从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆,加上两端的两根一共是55根电线杆,现在改成每隔60米安装一根电线杆,除两端的两根不用移动外,中途还有多少根不必移动,
11、现在有香蕉42千克,苹果112千克,桔子70千克,平均分给幼儿园的几个班,每班分到的这三种水果的数量分别相等,那么最多分给了多少个班,每个班至少分到了三种水果各多少千克？
12、把1.36米，宽0.8米的长方形纸裁剪成同样大小的正方形纸，如果要使得正方形纸的面积尽可能大，且裁完没有剩余，可以裁出多少张？
13、五年级甲班的学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占1/7，得80～89分的人数占1/2，得70～79分的人数占1/3，那么，得70分以下的有多少人？
14、大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米。

由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印。

求圆形花圃的周长。

15、甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？
最大公约数与最小公倍数常用结论：A×B=（A,B）×[A,B]
16、已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。

17、已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数分别是多少？
18、两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？
19、两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？
20、两个三位数的最大公约数29，它们的最小公倍数是4959．那么这两个三位数的差是多少？
21、两个数不成倍数关系，它们的最大公因数是10，最小公倍数是450．那么，较小的数是多少？
22、两个大于1的自然数互质，且它们的最小公倍数是216，求较大的那个数是几．
【参考答案】
一、填空题。

1、5+19 7+17 11+13
2、ab ab2c
3、60 10
4、3 60
9 54
17 34
5、58
6、12 12
7、1 210
8、b a
9、1 mn
10、B A
11、2 4
12、560
13、(1)(7、8)=( 1 ), [7,8]=( 56 )
(2)(25,15)=( 5 ) [25、15]=( 75 )
(3)(140,35)=( 35 ) [140,35]=( 140 )
(4)(24,36)=( 12 ) [24、36]=( 72 )
(5)[3,4,5]=( 60 ) [8,16]=( 16)
14、59
15、7
16、9 17
17、3 4 5
18、31 121
19、24
20、2
21、3 5 7
22、1 mn
23、13
24、91 104 117
25、16
二、选择题
D BC C A C
D D A B C
D B B C
三、判断题：
√××√√√√
四、解答题：
1、先把多的3本练习本拿出来，那么平均分给6位同学可以分完，平均分给8位同学可以分完，平均分给10位同学也可以分完，
说明是6，8，10的公倍数
6，8，10的最小公倍数是120
120+3=123（本）
2、平均分给4个小朋友，还剩3块，说明缺1块
平均分给5个小朋友，还缺1块
平均分给6个小朋友，还缺1块
如果给这袋糖果补上1块，那么就会变成4，5，6的公倍数
4，5，6的最小公倍数是60
60-1=59（块）
3、总距离：（36-1）×2=70（米）
【2，5】=10
70÷10+1=8（棵）
4、要使使用的船的条数越少，每条船上的人数就要越多
（49，56，42）=7
最少使用的船的条数：49÷7+56÷7+42÷7=21（条）
5、每小段最长，即求最大公因数
（120，180，300）=60
每小段最长60厘米
段数：120÷60+180÷60+300÷60=10（段）
6、【6，8，12】=24
10月1日+24天10月25日
7、（80，60，115）=5，说明正方体的棱长最大为5厘米
块数：（80÷5）×（60÷5）×（115÷5）=4416（块）
8、先去掉3人，剩下的人数是12和8的公倍数
[12，8]=24（人）
24×5+3=123（人）
9、要裁成最大的正方形，正方形的边长是120和80的最大公因数（120，80）=40 边长是40厘米
可以裁成的块数：（120÷40）×（80÷40）=6（块）
10、总距离：50×（55-1）=2700（米）
【50，60】=300
2700÷300=9（根） 9-1=8（根）
11、（42，112，70）=14，说明最多分给14个班级
每个班分到的香蕉：42÷14=3（个）
每个班分到的苹果：112÷14=8（个）
每个班分到的句子：70÷14=5（个）
12、1.36米=136厘米 0.8米=80米
正方形的边长是136和80的最大公因数
（136，80）=8
所以边长为8厘米
（136÷8）×（80÷8）=170（张）
13、分数不低于90分的人数占1/7，说明总人数是7的倍数；
得80～89分的人数占1/2，说明总人数是2的倍数；
得70～79分的人数占1/3，说明总人数是3的倍数，
则总人数是2，3，7的公倍数，
【2，3，7】=42
≥90的人数：42÷7=6（人）
80-80的人数：42÷2=21（人）
70-79的人数：42÷3=14（人）
<70的人数:42-6-21-14=1(人)
14、【54，72】=216，把216厘米当作一个小周期，在这个周期中，小明走：216÷54=4（步）
爸爸走：216÷72=3（步）
一个周期中会留下：3+4-1=6（个）脚印
周期数：60÷6=10(个) 周长：216×10=2160（厘米）
15、4×288÷36=32
16、最大公因数：240÷60=4
60÷4=15=1×15=3×5
（1）4×1=4，4×15=60
（2）4×3=12，4×5=20
所以这两个数是4和60，或者12和20
17、126÷21=6=1×6=3×2
（1）21×1=21，21×6=126
（2）21×3=63，21×2=42
所以这两个数是21和126，或者63和42
18、90÷15=6=1×6=3×2
（1）15×1=15，15×6=90
（2）15×3=45，15×2=30
所以这两个数是15和90，或者45和30
19、90÷9=10=1×10=5×2
（1）9×1=9，9×10=90
（2）9×5=45，9×2=18
所以这两个数是9和90，或者45和18
20、4959÷29=171=1×171=3×57=9×19
要使这两个数都是三位数，那么只能是171=9×19这种情况
29×9=261 29×19=551，相差：551-261=290
21、450÷10=45，45=1×45=3×15=5×9
不成倍数关系的两个数分别是：5×10=50，9×10=90
较小的数是50
22、216=2×108=3×72=4×54=6×36=8×27=9×24=12×18
互质的情况只有8和27，所以较大的数是27
11。