【通用版】2019高考数学(文科)二轮复习解答题通关练3立体几何含答案

3.立体几何
1.如图，在三棱柱ABF －DCE 中，∠ABC ＝120°，BC ＝2CD, AD ＝AF, AF ⊥平面ABCD .
(1)求证：BD ⊥EC ；
(2)若AB ＝1，求四棱锥B －ADEF 的体积.
(1)证明 已知ABF －DCE 为三棱柱，且AF ⊥平面ABCD ， ∴DE ∥AF ，ED ⊥平面ABCD . ∵BD ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥BD ，
又ABCD 为平行四边形，∠ABC ＝120°，故∠BCD ＝60°， 又BC ＝2CD ，故∠BDC ＝90°，故BD ⊥CD ，
∵ED ∩CD ＝D ，ED ，CD ⊂平面ECD ，∴BD ⊥平面ECD ，∵EC ⊂平面ECD ，故BD ⊥EC . (2)解 由BC ＝2CD 得AD ＝2AB ，∵AB ＝1，故AD ＝2，作BH ⊥AD 于点H ，
∵AF ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，
∴AF ⊥BH ，又AD ∩AF ＝A ，AD ，AF ⊂平面ADEF ， ∴BH ⊥平面ADEF ，又∠ABC ＝120°， ∴在△ABH 中，∠BAH ＝60°，又AB ＝1， ∴BH ＝
32
， ∴V B －ADEF ＝13×(2×2)×32＝23
3
.
2.如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AF
AD
＝λ(0<λ<1).
(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)是否存在实数λ，使得平面BEF ⊥平面ACD . (1)证明 ∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD .
∵CD ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，AB ，BC ⊂平面ABC ， ∴CD ⊥平面ABC .
又∵AE AC ＝AF AD
＝λ(0<λ<1)， ∴无论λ为何值，恒有EF ∥CD ， ∴EF ⊥平面ABC . 又∵EF ⊂平面BEF ，
∴无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC . (2)解 假设存在λ，使得平面BEF ⊥平面ACD . 由(1)知BE ⊥EF ，
∵平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ，BE ⊂平面BEF ， ∴BE ⊥平面ACD . 又∵AC ⊂平面ACD ， ∴BE ⊥AC .
∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝∠ABD ＝90°，∠ADB ＝60°， ∴BD ＝2，∴AB ＝2tan60°＝6， ∴AC ＝AB 2
＋BC 2
＝7. 由Rt△AEB ∽Rt△ABC ， 得AB 2
＝AE ·AC ，∴AE ＝
67
，
∴λ＝AE AC ＝67
.
故当λ＝6
7
时，平面BEF ⊥平面ACD .
3.如图，在四棱锥P —ABCD 中，PC ＝AD ＝CD ＝1
2
AB ＝2，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，PC ⊥平面ABCD .
(1)求证：BC ⊥平面PAC ；
(2)若M 为线段PA 的中点，且过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A —CMN 的高.
(1)证明 连接AC ，在直角梯形ABCD 中，AC ＝AD 2
＋DC 2
＝22，
BC ＝(AB －CD )2＋AD 2＝22，
所以AC 2
＋BC 2
＝AB 2
，
即AC ⊥BC .又PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PC ⊥BC ，又AC ∩PC ＝C ，AC ，PC ⊂平面PAC ， 故BC ⊥平面PAC .
(2)解 N 为PB 的中点，连接MN ，CN .
因为M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，所以MN ∥AB ， 且MN ＝1
2
AB ＝2.
又因为AB ∥CD ，所以MN ∥CD ，所以M ，N ，C ，D 四点共面， 所以N 为过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 的交点. 因为BC ⊥平面PAC ，N 为PB 的中点， 所以点N 到平面PAC 的距离d ＝1
2BC ＝ 2.
又S △ACM ＝12S △ACP ＝12×1
2×AC ×PC ＝2，
所以V 三棱锥N —ACM ＝13×2×2＝2
3.
由题意可知，在Rt△PCA 中，
PA ＝AC 2＋PC 2＝23，CM ＝3，
在Rt△PCB 中，PB ＝BC 2
＋PC 2
＝23，
CN ＝3，所以S △CMN ＝12
×2×2＝ 2.
设三棱锥A —CMN 的高为h ，
V 三棱锥N —ACM ＝V 三棱锥A —CMN ＝13×2×h ＝23
，
解得h ＝2，故三棱锥A —CMN 的高为 2.
4.(2018·乐山联考)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.
(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P －ABC 体积的最大值；
(3)若BC ＝2，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值.
(1)证明 在△AOC 中，因为OA ＝OC, D 为AC 的中点，所以AC ⊥OD . 又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC .
因为DO ∩PO ＝O ，DO ，PO ⊂平面PDO ，所以AC ⊥平面PDO .
(2)解 因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1. 又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为1
2×2×1＝1.
又因为三棱锥P －ABC 的高PO ＝1，
故三棱锥P －ABC 体积的最大值为13×1×1＝1
3.
(3)解 在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°， 所以PB ＝12
＋12
＝ 2.
同理PC ＝2，所以PB ＝PC ＝BC .在三棱锥P －ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面C ′PB ，使之与平面ABP 共面，如图所示.
当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值. 又因为OP ＝OB ，C ′P ＝C ′B ，
所以OC ′垂直平分PB ，即E 为PB 中点. 从而OC ′＝OE ＋EC ′＝22＋62＝2＋62， 即CE ＋OE 的最小值为
2＋6
2
.。