四边形 多边形的内角和

四边形多边形的内角和
知识要点：
1.四边形的有关概念:内角、外角、对角线、凸四边形。

2.凸四边形：把四边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫凸四边形。

如图（1）是凸四边形，下图（2）不是凸四边形。

图（1）图（2）
我们只研究凸四边形和凸多边形。

3.多边形的对角线,四边形有两条对角线。

如图，四边形ABCD中，AC，BD是它的两条对角线。

类似地我们可以给出多边形对角线的概念，如图，五边形ABCDE中，AC，AD，
BD，BE，CE是它的五条对角线。

即=5（条）。

同样，我们可以计算出六边形有=9（条）对角线（请同学们自己动手画图）……。

我们可以得出n边形的对角线有条（n为正整数）。

4.四边形内角和定理：四边形内角和等于360°，（一条对角线将四边形分成两个三角形，由此推出四边形内角和为2×180°=360°）。

类似地我们可以得出五边形内角和为3×180°=540°，n边形内角和等于(n-2)·180°（即多边形内角和定理）。

四边形外角和等于360°，任意多边形的外角和也是360°（多边形内角和定理的推论）。

5.多边形的有关问题
多边形的内角和定理：n边形的内角和为180°(n-2)。

多边形的外角和定理：多边形的外角和为360°。

多边形的对角线：多边形共条对角线。

注意问题
1、关于四边形的概念，可以仿照三角形，通过类比的分法来建立，但要注意的是，三角形的三个顶点确定一个平面，所以三顶点总是共面的，也就是说三角形一定是平面图形，但四边形就不是这样，它的四个顶点有不共面的情况，又限于我们现在研究的是平面图形，所以在四边形的定义加上“在同一平面内”这个条件。

2、三角形的三边确定后，三角形的形状就确定了，而四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变，四边形改变形状时，只改变某些角的大小，它的边长不变，周长不变，这正是四边形的不稳定性，但它仍是四边形，所以它的内角和不变。

例题分析
第一阶段
[例1]如图4—1—5，求：∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的度数和。

思路分析：
一个不规则的几何图形，只有转化为规则的几何图形，才便于我们研究，考虑到四边形的内角和为定值，连结AD，∠E、∠F转移至四边形中，六角之和为360°就一目了然了。

解：连结AD，在△AOD和△EOF中，∵∠AOD与∠EOF是对顶角，∴∠E+∠F=∠OAD+∠ODA。

又∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°。

[例2]如图4—1—7，AB、BC、CD是三根长度分别为1cm、2cm、5cm的木棒，它们之间连结处
可以转动，现在A、D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考：这根橡皮筋的最大长度可以拉到________，最短长度为____________。

根据这一思考方法，若一四边形的长度依次为3、7、x、2,则x的取值范围是__________,若四边形长度依次为3、7、x、5，则x的取值范围是_________。

思路分析：
由于B、C两处可以转动，当A、B、C、D形成一条线段时，AD最长，它等于1+2+5=8(cm)，当A、B、C拉直，此时B、A落在CD上时，AD最小，其值为2cm。

设四边形ABCD的边分别为BC=3，CD=7，DA=x，AB=2，拉直B、C、D，形成△DBA，则x的取值范围是：3+7-2<x<3+7+2，即8<x<12，如果拉直C、B、A，形成△DCA，则x的取值范围是：7-3-2<x<7+3+2，即2<x<12，比较两种情况得出x的取值范围应为：2<x<12。

设四边形MNHF的边分别为NH=3，HF=7，MF=x，MN=5，则类似上面的四边形有：3+7-5，3+5-7<x<3+5+7，故x的范围是1<x<15。

答案： 8cm，2cm，2<x<12，1<x<15。

[例3]下列关于多边形的叙述：
（1）如果一个多边形的每个内角都相等，且都等于150°，那么这个多边形为12边形；
（2）如果一个多边形的每个外角都相等，且都等于60°，则这个多边形为六边形；
（3）如果一个n边形有n条对角线，则n的值为5；
（4）存在一个多边形，其内角和为1900°，正确说法的序号是_____________。

思路分析：
(1)如果设这个多边形的边数为x，由多边形内角和定理有(x-2)·180°=n150°，求得n=12，故(1)正确；
(2)由于多边形的外角和恒定为360°，360÷60=6，故说法(2)正确；
(3)n边形的对角线的条数为，所以，求得n=5，说法(3)正确；
(4)由多边形内角和公式知：其内角的度数和应是180°的整数倍，而1900不能被180整除，因此，说法(4)不正确。

答案：(1) (2) (3)。

第二阶段
[例4]如图4—2—1，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F、∠G的度数和为______________。

思路分析：
若连结CF，由三角形内角和定理有∠E+∠D的度数与∠DCF+∠EFC的度数相等，因此上述七角之和恰好为一个五边形的内角和，(5-2)·180°=540°。

答案：540°
[例5]一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。

思路分析：
多边形的内角和为180°的整数倍，而多边形的外角一定小于180°，注意到边数必为正整数这个隐含条件，可以利用不等式确定边数的范围，然后再通过边数为整数来确定边数。

解：
设边数为n，这个外角为x°，则O<x<180°。

∵1350-180<1350-x<1350，
即1170<1350-x<1350。

又∵(n-2)·180<1350-x，
∴1170<(n-2)·180<1350，
∴8.5<n<9.5。

又∵n为整数，
∴n=9。

[例6]一个多边形的内角和不可能是（）
A、1800°
B、360°
C、1080°
D、910°
思路分析：因多边形的内角和等于180°的整数倍，而910°不能被180°整除，故选D。

答案：D
第三阶段
[例7]一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是_________。

思路分析：多边形内角和、外角和定理。

解：设边数为n，根据题意有
n·30°=360°，n=12。

故应填12.
[例8]一个多边形每一个内角都是144°，求此多边形的边数。

思路分析：
（思路一）设边数为n，由内角和定理列方程求解；
（思路二）可先求出外角的度数，再由外角和定理求边数。

解法一：设多边形的边数为n，根据题意，得
(n-2)·180°=n·144°，
∴n=10。

解法二：设多边形得边数为n，
n(180°-144°)=360°，
∴n=10。

[例9]一块四边形玻璃被打碎成如图4.1—4所示的三块，带上哪一块到玻璃店可配出原样来？思路分析：四边形由四条边组成。

解：带上第(1)块可配出原样。

例题分析：
例1、四边形最多有几个钝角？几个直角？几个锐角，最少有几个钝角？几个锐角？
分析：根据内角和定理来列举。

解：四边形中最多有三个钝角，四个直角、三个锐角，可以没有钝角和锐角。

假设有四个钝角，则它的内角和就大于360°，这和四边形内角和为360°矛盾，所以它最多有三个钝角，假设有四个锐角，则它的内角和又小于360°，故此也是错误的，最多只能有三个锐角。

当然可以有四个直角，此时它是矩形（长方形），此时即没有钝角也没有锐角。

例2、已知四边形各内角之比为3:3:5:4，求四个内角。

分析：由四边形内角和定理知，四边形内角和为360°。

依条件可设其内角为3x,3x,5x,4x,根据题意得：3x+3x+5x+4x=360°，解这个一元方程即可。

解：设四个内角分别为3x,3x,5x,4x，
则3x+3x+5x+4x=360°，x=24°,
∴3x=72°，5x=120°，4x=96°,
∴四边形各内角分别为72°，72°，120°，96°。

例3.若一个多边形所有的内角与外角的和为1260°，求这个多边形的边数。

分析：多边形的边数与内角和的关系是由多边形内角和定理给出的。

解：设多边形的边数为n，则由多边形内角和定理及推论得
(n-2)·180°+360°=1260°
(n-2)·180°=900°
n-2=5
∴n=7
答：这个多边形的边数为7。

例4、正多边形的每一个内角都比它相邻的外角的3倍还多20°，则这个多边形的内角和是多少？
分析：这类题目的关键在于抓住多边形的边数、内角、外角及内角和、外角和这些量之间的关系，对多边形的内角和公式一定要熟悉。

解：设多边形的边数为n,每个外角为x°，则其相邻的内角为(3x+20)°,
解得
180°(9-2)=1260°,
∴多边形的内角和为1260°。

例5.一个多边形除一个内角外，其余各角和为2210°，求这个内角的度数及多边形的边数。

分析：考虑多边形的内角和与边数的关系，可以利用方程的思想来解决。

解：设这个多边形的边数为n，这个内角的度数为x°
依题意得(n-2)·180°=x°+2210°
又∵0<x°<180°
∴2210°<(n-2)·180°<2210°+180°
∴12 <n-2<13
∴14 <n<15
∵n是整数，∴n=15
∴x°=(15-2)×180°-2210°=130°
答：这个内角度数为130°，多边形的边数为15。

例6.一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形？它的每个内角是多少度？
解：法一，设这个多边形的边数为n
∵每个外角都等于72°，∴每个内角=180°-72°=108°
∴(n-2)·180°=108°·n
解得n=5
答：这个多边形是五边形，每个内角为108°。

法二：设这个多边形的边数为n
依题意n·72°=360°
n= =5
每个内角为180°-72°=108°
答：略。

说明：这两个解法同样是从不同的角度解决问题，显然法二比法一简单。

看来，认真分析已知条件，选择好的解法是很重要的。

例7.四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，∠D的外角度数是75°，求∠A？
解：由已知∠D的外角为75°
∴∠D=180°-75°=105°
又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°（四边形内角和为360°）
∵∠A=∠B=∠C
∴3∠A+105°=360°
∴∠A=85°
答：∠A=85°。

例8、已知如图，在四边形ABCD中，∠B和∠C的平分线相交于点O，求证：∠BOC= (∠A+∠D）分析：本题综合运用了三角形内角和定理，四边形内角和定理及角平分线等知识，通过等量代换及和，差计算证得结果。

证明：∵∠A+∠D+∠DCB+∠CBA=360°（四边形内角和定理）
∴∠DCB+∠CBA=360°-(∠A+∠D）
又∵∠1= ∠DCB，∠2= ∠CBA
∴∠1+∠2= (∠DCB+∠CBA)= [360°-（∠A+∠D）]=180°- (∠A+∠D）
又∵∠BOC+∠1+∠2=180°
∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-[180°- （∠A+∠D)]= (∠A+∠D）
即：∠BOC= (∠A+∠D)。

测试
选择题
1．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是为（）
A、5
B、6
C、7
D、8
2．九边形内角和以及外角和的度数分别为（）
A、1260°360°
B、1080°180°
C、1260°1080°
D、1620°360°
3．多边形内角和为2340°，则这个多边形的边数为（）
A、13
B、15
C、18
D、20
4．若一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数为（）
A、14
B、10
C、12
D、15
5．一个多边形的内角和与它的外角和等于2700°，则这个多边形的边数为（）A、13 B、15 C、16 D、14
6．内角和等于外角和的多边形是（）边形。

A、3
B、4
C、5
D、6
7．如果一个四边形四个内角之比是2：2：3：5，那么这四个内角中（）
A、只有一个锐角
B、只有一个直角
C、有两个直角
D、有两个钝角
8．若一个多边形从一个顶点可以引五条对角线，则它是（）边形。

A、五
B、六
C、七
D、八
9．一个多边形的边数增加，它的内角和也随着增加，而它的外角和（）
A、随着增加
B、随着减少
C、保持不变
D、无法确定
10．四边形的四个内角可以都是（）
A、锐角
B、直角
C、钝角
D、以上答案都不对
答案与解析
答案：1、D 2、A 3、B 4、C 5、B 6、B 7、B 8、D 9、C 10、B
解析：
4.若一个多边形的每个内角都等于150°，则每个相邻外角都是30°，因为外角和为360°，360÷30＝12（边）。

7.分析：四个内角之比是2：2：3：5,所以设这个四边形的各个角分别为2x、2x、3x、5x，所以2x+2x+3x+5x=360，分别求出各角。

8.若一个多边形从一个顶点可以引五条对角线，则这个多边形除了这个顶点和相邻两顶点外还有5个顶点，则它的边数为：5+3＝8。

中考解析
任意多边形的内角和为(n-2)·180°（这里n表示边数），外角和是360°，需指出的是多边形内角和随边数的变化而变化，而外角和是一个定值，它不随边数的变化而变化，此类题目类型大致可分为：
（1）已知边数，求内角和。

其方法是直接将边数代入公式即可。

（2）已知角度求边数。

若已知内角和，则直接用内角和公式列方程可求边数；
若已知一个内角的度数，则列出这个角度乘以n等于(n-2)·180°的方程，求边数；
若已知一个外角的度数，则只需用外角和除以已知角的度数，即求出边数；
若已知内、外角和的度数之比，则利用等于已知比，可求边数。

例1．如果一个多边形的内角和等于它的外角和，那么这个多边形是（）
A、三角形
B、四边形
C、五边形
D、六边形
解：多边形外角和为360°，设这个多边形的边数为n,
由题意，可知有(n-2)·180°=360°,
解之，得n=4。

故选B。

例2．一个多边形的内角和为720°,那么这个多边形是（）。

A、四边形
B、五边形
C、六边形
D、七边形
解：设这个多边形的边数为n, 则依题意有
(n-2)·180°=720°,
解之，得n=6。

故选C。

例3．如果一个多边形的外角和等于它的内角和的一半，那么这个多边形的边数是（）
A、3
B、4
C、5
D、6
解：设这个多边形的边数为n, 则依题意，有=360°,
解之，得n=6. 故选D。

例4．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是（）A、5 B、6 C、7 D、8
解：设这个多边形的边数为n, 则依题意，有(n-2)·180°=360°×3-180°,
解得n=7。

故选C。

练习题
1、在平面内，由不在同一直线上的四条线段________组成的图形叫做四边形。

2、在四边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做四边形的____________。

3、四边形________的角叫四边形的内角，四边形的内角和等于_________。

4、四边形________的角叫四边形的外角，四边形的外角和等于________。

5、一个六边形的内角和等于_______度，外角和等于_______度。

6、一个多边形每增加一边，其内角和增加_______，其外角和__________（变或不变）。

7、n边形n个内角与某一个外角总和1350°，则n等于（）
A、6
B、7
C、8
D、9
8、一个多边形共有14条对角线，那么这个多边形的边数为（）
A、5
B、6
C、7
D、8
9、下列关于四边形的说法，
(1)四边形中至少有一个角不是钝角；
(2)延长四边形的某一边得直线L，若其余各边都在L的同侧，则这个四边形是凸四边形；
(3)四边形的四个外角中至少有两个钝角；
(4)四边形中，如果四条边长确定，那么该四边形惟一确定，其中正确说法的个数为（）
A、0
B、1个
C、2个
D、3个
10、一个四边形四个内角之比为1：2：3：4，下列说法：
(1)这个四边形有两个钝角；
(2)这个四边形是凸四边形；
(3)这个四边形最小的内角为36°；
(4)这个四边形四条边之比也恰好为1：2：3：4，其中正确说法的个数为（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、无法确定
11、一个四边形的四个外角之比为2：3：5：8，下列说法：
(1)这个四边形的最小外角为40°；
(2)这个四边形的最大内角为160°；
(3)这个四边形的最大外角为160；
(4)这个四边形的四个内角的度数与四个外角的度数有着相同的数值，其中错误说法的序号为（）
A、(1)和(3)
B、(1)和(4)
C、(2)和(3)
D、(2)和(4)
12、四边形ABCD中，如果AD∥BC，那么∠A：∠B：∠C：∠D可以等于（）
A、3：5：6：4
B、3：4：5：6
C、4：5：5：4
D、6：6：4：3
13、下列说法：
(1)多边形中至少有一个角不是钝角；
(2)多边形的外角和随着边数的增加而增加；
(3)六边形的六个内角中至少有三个钝角；
(4)多边形的外角中至少有一个锐角；
(5)如果把一个多边形的边数增加，则所有外角的平均值将减小，其中正确说法的个数是（）
A、1
B、2
C、3
D、4
14、五边形ABCDE中，∠A：∠B：∠C：∠D：∠E=2：3：4：5：6，则最大角为（）
A、150°
B、135°
C、162°
D、54°
15、一个多边形除了一个内角外，其余各角之和为2570°，则这个内角的度数为（）
A、30°
B、105°
C、130°
D、120°
16、有两个多边形，如果它们都是各边相等、各内角相等的多边形，且这两个多边形的边数之比为1：2，内角和之比为3：8，则这两个多边形的边数分别是（）
A、4、8
B、5、10
C、6、12
D、7、14
参考答案
1、首尾顺次相接
2、对角线
3、相邻两边所组成360°
4、的一边与另一边的延长线所组成，360°
5、720°，360°
6、180°，不变
7—11 D C C C D
12—16 C A C C B。