高考数学总复习 第2讲 参数方程课件 理 新人教A版选修44

核心要点(yàodiǎn) 研究
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例1
[2012·北京高考]直线
x＝2＋t y＝－1－t
(t为参数)与曲线
x＝3cosα， y＝3sinα
(α为参数)的交点个数为________．
[审题视点] 本题主要考查直线和圆的位置关系，考查参数 方程和普通方程之间的转化等基础知识，考查数形结合(jiéhé)思 想的运用．
x＝t＋1， y＝1－2t
(t为参数)与曲线C2：
x＝asinθ y＝3cosθ
(θ为参数，a>0)有
一个公共点在x轴上，则a＝________.
[审题视点] 通过消参化为普通方程，联立方程(lián lìfānɡ chénɡ)组确定a的值．
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[解析] ∵C1：xy＝＝t1＋－12，t， ∴C1的方程为2x＋y－3＝0.
(3)
曲
线
x＝2 y＝3
3cosθ， 2sinθ
(θ
为参数)中两焦点间的距离是
________.
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1. 想一想：提示：平面直角坐标系中，对于同一曲线来 说，由于选择的参数不同，得到的曲线的参数方程也不同．
填一填：1 2．填一填：(1)－32 (2)(2，－1) 3 (3)2 6
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1.将参数(cānshù)方程化为普通方程，需要根据参数(cānshù) 方程的结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有：代入 消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数 (cānshù)方程，常利用同角三角函数关系式消参如sin2θ＋cos2θ＝ 1等.
2.将参数(cānshù)方程化为普通方程时，要注意两种方程的 等价性，不要增解.
解：曲线C2上的点到曲线C1上的点的距离d＝
|4sinθ＋3cosθ－3|，其最大值为8 5
5
5 .
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在曲线或者直线的参数方程与普通方程中，根据问题的实际需要 进行相互转化能够使问题的解决(jiějué)更为方便．一般来说，如果问题 中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程， 以便于问题的解决(jiějué)．
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课前自主导(zhǔdǎo) 学
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1. 参数方程的概念
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都
是某个变数t的函数
x＝fx y＝gt
(*)，如果对于t的每一个允许值，
由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组
(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参数．
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3点必须注意 1. 参数方程(fāngchéng)通过代入消元或加减消元消去参数化 为普通方程(fāngchéng)，要注意普通方程(fāngchéng)与原参数方 程(fāngchéng)的取值范围保持一致． 2. 普通方程(fāngchéng)化为参数方程(fāngchéng)需要引入参 数，选择的参数不同，所得的参数方程(fāngchéng)也不一样．一 般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横 坐标(或纵坐标)． 3. 常见曲线的参数方程(fāngchéng)中的参数都有几何意义， 注意利用几何意义常能够给解题带来方便.
∵C2：xy＝＝a3scionsθθ，， ∴C2的方程为ax22＋y92＝1. ∵C1与C2有一个公共点在x轴上，且a>0， ∴C1与x轴的交点32，0在C2上，代入解得a＝32.
[答案]
3 2
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奇思妙想(qísī miào xiǎnɡ)：在本例中若a＝2，则曲线C2上 的点到曲线C1上的点的最大距离？
π 3

)＝m化为直角坐
标方程为x－
3
y－2m＝0，将曲线C2的参数方程
x＝2＋2cosθ， y＝2sinθ
(θ为参数)化为普通方程为(x－2)2＋y2＝4.因为
两曲线有且只有一个公共点，即直线x－ 3 y－2m＝0与圆(x－
2)2＋y2＝4相切，所以|2－22m|＝2，则m＝－1或m＝3.
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参数方程
过点M(x0，y0)，倾斜角为 α的直线l
圆心在点M0(x0，y0)，半 径为R的圆
圆心在原点，半径为R的 圆
椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα
(t为参数)
x＝x0＋Rcosθ， y＝y0＋Rsinθ
(θ为参数)
x＝Rcosθ， y＝Rsinθ
(0，2 3 3)，
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所以直线l的平面直角坐标方程为 3x＋3y－2 3＝0.
又圆C的圆心坐标为(2，－ 3)，半径r＝2，
圆心到直线l的距离d＝|2
3－3 3－2 3＋9
3|＝32<r，故直线l与
圆C相交．
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1. 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何 问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦 时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意 两坐标系的关系，注意ρ，θ的取值范围，取值范围不同对应的 曲线不同． 2. 解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表 (dàibiǎo) 的 几 何 意 义 是 什 么 ； 其 次 要 认 真 观 察 方 程 的 表 现 形 式，以便于寻找最佳化简途径．
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2种必会方法 1. 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思 路是消去(xiāo qù)参数，常用的消参方法有代入消去(xiāo qù) 法、加减消去(xiāo qù)法、恒等式(三角的或代数的)消去(xiāo qù) 法． 2. 普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思 路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y ＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x ＝f(t))．
的距离d＝ 46.所以AB＝
10 2.
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经典(jīngdiǎn)演练提 能
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1. [2012·广东高考]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2
的参数方程分别为
x＝t y＝
t
(t为参数)和
x＝ y＝
2cosθ 2sinθ
(θ为参
数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
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x＝12t，
[变式探究]
已知直线l的参数方程为
y＝
22＋
3 2t
(t为
参数)，若以平面直角坐标系xOy的O点为极点，x轴正半轴为 极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标
方程为ρ＝2cos(θ－π4)． (1)求直线l的倾斜角； (2)若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求AB的长．
答案(dáàn)：(1,1)
解析：由C1得y＝ x，即y2＝x(y≥0)．
①
由C2得x2＋y2＝2.
②
由①②联立yx22＝ ＋xy， 2＝2， 得xy＝＝11，.
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2. [2011·陕西高考]在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：
x＝3＋cosθ y＝4＋sinθ
(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为
________．
答案(dáàn)：3
解析：∵C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1，
∴两圆心之间的距离为d＝ 32＋42＝5.
∵A∈曲线C1，B∈曲线C2，∴|AB|min＝5－2＝3.
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(θ为参数)
x＝acosφ， y＝bsinφ
(φ为参数)
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(1)若直线的参数方程为
x＝1＋2t， y＝2－3t
(t为参数)，则直线的
斜率为________．
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(2)若圆的参数方程为xy＝＝2－＋13＋co3ssαin，α (α 为参数)，则圆心
为________，半径为________．
例3 [2012·福建高考]在平面直角坐标系中，以坐标原点
O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l上两
点M，N的极坐标分别为(2,0)，(
23 3
，
π 2
)，圆C的参数方程为
x＝2＋2cosθ， y＝－ 3＋2sinθ
(θ为参数)．
(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方
3.
[2013·西安模拟]已知曲线C1的极坐标方程是ρcos(θ＋
π 3
)
＝m，曲线C2的参数方程为
x＝2＋2cosθ y＝2sinθ
(θ为参数)，若两曲
线有且只有一个公共点，则实数m的值是________．
答案(dáàn)：－1或3
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解析：将曲线C1的极坐标方程ρcos(θ＋
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x＝tcos60°， 解：(1)直线l的参数方程可以化为 y＝ 22＋tsin60°， 根
据直线参数方程的意义，可知直线l经过点(0，
2 2
)，倾斜角为
60°.
(2)直线l的普通方程为y＝ 3x＋ 22，ρ＝2cos(θ－4π)的直角
坐标方程为(x－ 22)2＋(y－ 22)2＝1，所以圆心( 22， 22)到直线l
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平面直角坐标(zhíjiǎo zuò biāo)系中，同一曲线的参数方程 唯一吗？
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已知O为原点，参数方程
x＝cosθ， y＝sinθ
一点为A，则|OA|＝________.
(θ为参数)上的任意
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2．直线、圆、椭圆的参数(cānshù)方程
曲线
第2讲 参数方程
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不同寻常的一本书，不可不读哟！
1.了解参数方程(fāngchéng)，了解参数的意义． 2. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程(fāngchéng).
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1个重要策略 参数方程是新课标新增的选学内容，对该部分知识的复习， 只需要掌握好参数方程与普通方程的互化、常见曲线参数方程中 参数的几何意义，会解与教材例题、习题(xítí)难度相当的题目即 可．
x＝2pt2， y＝2pt
(t为参数)，p>0，可得曲线
方程为y2＝2px(p>0)．
∵|EF|＝|MF|，且|MF|＝|ME|(抛物线定义)，
∴△MEF为等边三角形，
E的横坐标为－p2，M的横坐标为3.
∴EM中点的横坐标为3－2 p2，与F的横坐标p2相同．
∴3－2 p2＝p2，∴p＝2.
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[解] 方程转化为普通方程，直线为x＋y＝1，圆为x2＋y2
＝9，
法一：圆心到直线的距离为d＝
|1| ＝ 2
12<3，所以直线与圆
相交，答案为2.
法二：联立方程组
x2＋y2＝9， x＋y＝1，
消去y可得x2－x－4＝0，
Δ>0，所以直线和圆相交，答案为2.
[答案(dáàn)] 2
程；
(2)判断直线l与圆C的位置关系．
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[解] (1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，
(0，
2 3
3
)，又点P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标
为(1，
33)，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝
3 3 x.
(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，
4.
[2012·课标全国高考]已知曲线C1的参数方程是
x＝2cosφ y＝3sinφ
(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极
π 4
表示直线y＝x(y≥0)，而
x＝t＋1， y＝t－12
表示y＝(x－2)2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点
M(x0，y0)．联立
y＝x， y＝x－22
可得，x2－5x＋4＝0，可得x1＋x2
＝5.即x0＝y0＝x1＋2 x2＝52，故M52，52.
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例2 [2012·湖南高考]在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：
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[变式探究] [2012·湖北高考]在直角坐标系xOy中，以原
点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝
π 4
与曲线
x＝t＋1， y＝t－12
(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的
中点的直角坐标为________．
答案：52，52
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解析：由极坐标方程可知，θ＝
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[变式探究] [2012·天津高考]已知抛物线的参数方程为
x＝2pt2， y＝2pt
(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线
上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是
3，则p＝________.
答案(dáàn)：2
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解析：由参数方程