八年级-人教版-数学-上册-[综合训练]第2课时 角平分线的判定

第2课时角平分线的判定
1．如图，△ABC的外角∠ACF，∠EAC的平分线CP，AP交于点P，PM⊥BE于点M，PN⊥BF于点N．有如下结论：①BP平分∠ABC；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△P AC＝S△MAP＋S△NCP．其中正确的有（）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB＋CD＝AC．
参考答案1．【答案】D
【解析】如图，过P作PQ⊥AC于Q．
∵∠ACF，∠EAC的平分线CP，AP交于点P，PM ⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PQ，PQ＝PN．
∴PM＝PN，∴点P在∠ABC的平分线上，
即BP平分∠ABC，故①正确；
∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，
∴∠PMA＝∠PQA＝90°，∠PQC＝∠PNC＝90°．
在Rt△PMA和Rt△PQA中，
PA PA
PM PQ
=
⎧
⎨
=
⎩
，
，
∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL）．
∴∠MP A＝∠QP A．
同理Rt△PQC≌Rt△PNC．
∴∠PCN＝∠ACP，∠QPC＝∠NPC．
∵∠PMA＝∠PNC＝90°，∴∠ABC＋∠MPN＝360°－90°－90°＝180°．
∴∠ABC＋2∠APC＝180°，故②正确；
∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，∴∠FCA＝∠ABC＋∠CAB＝2∠PCN．
又∵∠PCN＝1
2
∠ABC＋∠CPB，∴∠ABC＋∠CAB＝2(
1
2
∠ABC＋∠CPB)．
∴∠CAB＝2∠CPB，故③正确；
∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，∴S△P AC＝S△MAP＋S△NCP，故④正确．综上，正确的有4个．
2．【答案】证明：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E．
∵∠ABD＝90°，OA平分∠BAC，∴OB＝OE．
∵点O为BD的中点，∴OB＝OD．
∴OE＝OD．
∴OC平分∠ACD．
（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，
AO AO OB OE
=
⎧
⎨
=
⎩
，
，
（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE．同理可得CD＝CE．
∵AC＝AE＋CE，
∴AB＋CD＝AC．。