2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题09 相似三角形(逐题详解版)

2021年上海市16区中考数学一模汇编
专题09 相似三角形
一、单选题
1．（2021·上海长宁区·九年级一模）下列命题中，说法正确的是（ ）
A ．四条边对应成比例的两个四边形相似
B ．四个内角对应相等的两个四边形相似
C ．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
D ．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
2．（2021·上海杨浦区·九年级一模）在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，下列说法中，错误的是（ ）
A ．AO
B DO
C S S =△△ B ．AOB BOC S O
D S OB =△△ C ．AOD BOC S OA S OC =△△ D ．ABD ABC S AD S BC
=△△ 3．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知ABC 与DEF 相似，又40A ∠=︒，60B ∠=︒，那么D ∠不可能是（ ）
A ．40°
B ．60°
C ．80°
D ．100°
4．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，//AB DE ，//BC DF ，已知::AF FB m n =，BC a =，那么CE 等于（ ）．
A ．am n
B ．an m
C ．am m n +
D ．an m n
+ 5．（2021·上海金山区·九年级一模）如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，//DE BC ，2AD =
，
3BD =，BC a =，那么ED 等于（ ）
A ．23a
B ．23a -
C ．25a
D ．25
a - 6．（2021·上海徐汇区·九年级一模）下列说法中，正确的是（ ）
A ．两个矩形必相似
B ．两个含45︒角的等腰三角形必相似
C ．两个菱形必相似
D ．两个含30角的直角三角形必相似
7．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，己知在ABC 中，点D 、点E 是边BC 上的两点，连接AD 、AE ，且AD ＝AE ，如果ABE ∽CBA ，那么下列等式错误的是（ ）
A ．A
B 2＝BE •BC
B ．CD •AB ＝AD •A
C C ．AE 2＝C
D •B
E D ．AB •AC ＝BE •CD
8．（2021·上海九年级一模）如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，DE BC //，DF AC //，联结BE ，BE 与DF 相交于点G ，则下列结论一定正确的是（ ）
A ．AD DE D
B B
C = B ．AE BF AC BC = C ．B
D BF AD D
E = D ．DG B
F GF FC
= 9．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90BAD ∠=︒，对角线的交点为点O ．如果梯形ABCD 的两底边长不变，而腰长发生变化，那么下列量中不变的是（ ）
A ．点O 到边A
B 的距离
B ．点O 到边B
C 的距离 C ．点O 到边C
D 的距离
D ．点O 到边DA 的距离
10．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，在ABC 中，点D 、F 是边AB 上的点，点E 是边AC 上的点，如果∽ACD=∽B ，DE //BC ，EF //CD ，下列结论不成立的是（ ）
A ．2AE AF AD =⋅
B ．2A
C A
D AB =⋅
C ．2AF AE AC =⋅
D ．2AD AF AB =⋅
11．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点G 是ABC 的重心，GE AC ⊥，垂足为E ，如果8CB =，则线段GE 的长为（ ）
A ．53
B ．73
C ．83
D ．103
12．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，在梯形ABCD 中，//,3AD BC BC AD =，对角线AC BD 、交于点,O EF 是梯形ABCD 的中位线，EF 与BD AC 、分别交于点G H 、，如果OGH ∆的面积为1，那么梯形ABCD 的面积为（ ）
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
13．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 上一点，过D 作DF AB ⊥交边BC 于点E ，交AC 的延长线于点F ，联结AE ，如果1tan 3EAC ∠=
，1CEF S =，那么ABC S 的值是（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
二、填空题
14．（2021·上海崇明区·九年级一模）如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1:4，那么这两个三角形的面积比为________．
15．（2021·上海闵行区·九年级一模）已知两个相似三角形的相似比为4：9，那么这两个三角形的周长之比为__________．
16．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如果两个相似三角形的周长之比为1:4,
那么这两个三角形对应边上的高之比为_______________________．
17．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在ABC 中，点,D E 分别在边,AB AC 上， //DE BC ，如果
AED 和四边形DECB 的面积相等，BC DE 的长是 _____ ．
18．（2021·上海长宁区·九年级一模）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条
对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD 中，AB AC ==32
AD CD ==，点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．如果AC 是凸四边形ABCD 的相似对角线，那么EF 的长等于_________． 19．（2021·上海长宁区·九年级一模）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4．那么这两个三角形的周长之比为_______________．
20．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2
B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边A
C 、BC 上，点
D 、
E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．
21．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知ABC 的边BC 长60厘米，高AH 为40厘米，如果DE=2DG ，那么DG=______厘米．
22．（2021·上海静安区·九年级一模）如图，在∽ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，∽AED =∽B ，如果AD =2，AE =3，CE =1，那么BD 长为____．
23．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，//EF AB ，12
AF FC =，如果四边形ABEF 的面
积为25，那么ABC 的面积为______．
24．（2021·上海闵行区·九年级一模）在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且//DE BC ，如果：25DE BC =，那么AE EC
=__________． 25．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D ，G 分别在AB 、AC 上，已知ABC 的边16BC cm =，高AH 为10cm ，则正方形DEFG 的边长为___．
26．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，//AB CD ，AD 、BC 相交于点E ，过E 作//EF CD 交BD 于点F ，如果3AB =，6CD =，那么EF 的长是________．
27．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，90BDC ∠=︒，4=AD ，9BC =，那么BD =______．
28．（2021·上海虹口区·九年级一模）已知△ABC 和△A 'B 'C '，顶点A 、B 、C 分别与顶点A '，B '，C '对应，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''边上的中线，如果3BC =， 2.4AD =，2B C ''=，那么A D ''的长是________．
29．（2021·上海金山区·九年级一模）已知：如图，ABC ∆的中线AE 与BD 交于点G ，//DF AE 交BC 于F ，那么DF AG
=______．
30．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，矩形ABCD 沿对角线BD 翻折后，点C 落在点E 处．联结CE 交边AD 于点F ．如果DF ＝1，BC ＝4，那么AE 的长等于_________．
31．（2021·上海九年级一模）如果两个相似三角形的周长比为2:3，那么它们的对应角平分线的比为_________________．
32．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，12
AE EB =，联
结DE 交对角线AC 于点O ，那么AO OC
的值为_____．
33．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，点D 、E 、F 分别位于ABC 的三边上，且//DE BC ，//EF AB ．如果ADE 的面积为2，CEF △的面积为8，那么四边形BFED 的面积是________．
34．（2021·上海浦东新区·九年级一模）秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt ABC 中，∽C=90°，AC=12，BC=5，AD∽AB ，AD=0.4，过点D 作DE //AB 交CB 的延长线于点E ，过点B 作BF∽CE 交DE 于点F ，那么BF=______．
35．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，ABC 中，AB=10，BC=12，AC=8，点D 是边BC 上一点，且BD ：CD=2：1，联结AD ，过AD 中点M 的直线将ABC 分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC 、AC 相交于点E 、F ，那么线段BE 的长为______．
36．（2021·上海静安区·九年级一模）如图，在∽ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∽BC ，如果AB =12，BC =9，AC =6，四边形BCED 的周长为21，那么DE 的长为____．
37．（2021·上海宝山区·九年级一模）在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt ABC △，90C ∠=︒，要截得的正方形EFGD 的边FG 在AB 上，顶点E 、D 分别在边CA 、CB 上，如果4AF =，9GB =，那么正方形铁皮的边长为______．
38．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在ABC 中，2AB AC =，点D 在边AB 上，且ACD B ∠=∠，那么ACD ABC
S S =△△__________．
39．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知点D ．E 分别在ABC 的边AB 和AC 上，//DE BC ，34DE BC =
，
四边形DBCE的面积等于7，则ADE的面积为____．
40．（2021·上海金山区·九年级一模）如图，在□ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若=，ABC
∆的面积等于15，那么FEC
CE BE
2
∆的面积等于______．
2021年上海市16区中考数学一模汇编
专题09 相似三角形
一、单选题
1．（2021·上海长宁区·九年级一模）下列命题中，说法正确的是（ ）
A ．四条边对应成比例的两个四边形相似
B ．四个内角对应相等的两个四边形相似
C ．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
D ．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
【答案】D
【分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答．
【详解】A 、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；
B 、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；
C 、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题；
D 、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题；故选：D ．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形相似和相似多边形，难度不大． 2．（2021·上海杨浦区·九年级一模）在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，下列说法中，错误的是（ ）
A ．AO
B DO
C S S =△△ B ．AOB BOC S O
D S OB =△△ C ．AOD BOC S OA S OC =△△ D ．ABD ABC S AD S BC
=△△ 【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质及等积法可直接进行排除选项．
【详解】解：如图所示：
∽AD∽BC ，∽∽AOD∽∽COB ，ABC DBC S S =，ABD ABC S AD S BC
=△△，故D 正确， ∽OA OD OC OB =，∽22AOD BOC S OA S OC
=△△，故C 错误； ∽,DOC OBC ABC AOB OBC DBC S S S S S S =+=+△△，∽AOB DOC S S =△△，A 正确； ∽AOB BOC S OA S OC
=△△，即AOB BOC S OD S OB =△△，故B 正确；故选C ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等积法是解题的关键．
3．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知ABC 与DEF 相似，又40A ∠=︒，60B ∠=︒，那么D ∠不可能是（ ）
A ．40°
B ．60°
C ．80°
D ．100°
【答案】D
【分析】利用三角形的内角和定理即可求出∽C ，然后根据相似三角形的性质和对应情况分类讨论即可得出∽D 可能的度数，从而作出判断．
【详解】解：∽ABC 中，40A ∠=︒，60B ∠=︒
∽∽C=180°－∽A －∽B=80°
∽ABC 与DEF 相似
∽∽D=∽A=40°或∽D=∽B=60°或∽D=∽C=80°
∽D ∠不可能是100°.故选：D ．
【点睛】此题考查的是相似三角形的性质和三角形内角和定理，根据相似三角形的性质分类讨论是解题关键．
4．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，//AB DE ，//BC DF ，已知::AF FB m n =，BC a =，那么CE 等于（ ）．
A ．am n
B ．an m
C ．am m n +
D ．an m n
+ 【答案】D
【分析】先证明：四边形DEBF 是平行四边形，可得DF BE =，利用::AF FB m n =，再求解
AF m AB m n
=+，再证明ADF ACB ∽，利用相似三角形的性质求解BE ，再利用线段的和差可得答案． 【详解】解： //AB DE ，//BC DF ，∴ 四边形DEBF 是平行四边形，DF BE ∴=， ::AF FB m n =，AF m
AB m n
∴=+，//DF BC ，ADF ACB ∴∽ AF DF AD AB BC AC ∴==, //AB DE ，BE AD m BC AC m n ∴==+，BC a =，ma BE m n
∴=+， .ma na CE a m n m n ∴=-
=++ 故选：.D 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，比例的基本性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2021·上海金山区·九年级一模）如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，
//DE BC ，2AD =，
3BD =，BC a =，那么ED 等于（ ）
A ．23a
B ．23a -
C ．25a
D ．25
a - 【答案】D
【分析】先根据相似三角形的判定与性质求出DE 与BC 的数量关系，再根据向量的定义即可求出ED 的值．
【详解】解：∽//DE BC ，∽DE AD BC AB
=， ∽2AD =，3BD =，∽223
DE BC =+，∽25DE BC =． ∽BC a =，∽ED =25
a -．故选D ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及向量的定义，向量用有向线段来表示，有向线段长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．
6．（2021·上海徐汇区·九年级一模）下列说法中，正确的是（ ）
A ．两个矩形必相似
B ．两个含45︒角的等腰三角形必相似
C ．两个菱形必相似
D ．两个含30角的直角三角形必相似
【答案】D
【分析】根据相似多边形、相似三角形的判定逐项判断即可得．
【详解】A 、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一定相似，此项错误；
B 、如果一个等腰三角形的顶角是45︒，另一等腰三角形的底角是45︒，则不相似，此项错误；
C、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项错误；
D、两个含30角的直角三角形必相似，此项正确；故选：D．
【点睛】本题考查了相似多边形、相似三角形的判定，熟练掌握相似图形的判定方法是解题关键．7．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，己知在ABC中，点D、点E是边BC上的两点，连接AD、AE，且AD＝AE，如果ABE∽CBA，那么下列等式错误的是（）
A．AB2＝BE•BC B．CD•AB＝AD•AC
C．AE2＝CD•BE D．AB•AC＝BE•CD
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定及性质对每一个选项一一证明即可．
【详解】解：∽ABE∽CBA，∽AB BE
BC AB
=，∽BAE＝∽C，∽AEB＝∽CAB，
∽AB2＝BE•BC，（故选项A正确）∽AD＝AE，∽∽ADE＝∽AED，∽∽ADE＝∽CAB，
又∽∽C＝∽C，∽CDA∽CAB，∽CD AD
AC AB
=，∽CD•AB＝AD•AC，（故选项B正确）
∽∽ADE＝∽AED，∽BAE＝∽C，∽ABE∽CAD，∽AE BE CD AD
=，
∽AE•AD＝CD•BE，又∽AD＝AE，∽AE2＝CD•BE，（故选项C正确）
∽∽ADE＝∽AED＜90°，∽∽ADB＝∽AEC＞90°，∽AB＞AD，AC＞AE，∽AB•AC＞AE2，
即AB•AC＞CD•BE，（故选项D错误）故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．
8．（2021·上海九年级一模）如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，DE BC //，DF AC //，联结BE ，BE 与DF 相交于点G ，则下列结论一定正确的是（ ）
A ．AD DE D
B B
C = B ．AE BF AC BC = C ．B
D BF AD D
E = D ．DG B
F GF FC
= 【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定和平行线分线段成比例进行判断即可．
【详解】解：∽DE∽BC ，DF∽AC ，∽四边形DFCE 是平行四边形，∽DE=CF ，DF=CE ，
∽DE∽BC ，DF∽AC ，∽∽ADE∽∽ABC ，∽BFD∽∽BAC ，∽AD DE AB BC
=，故A 错误； AE AD AC AB BC CF ==，即AE CF AC BC
=，故B 错误； ∽DF∽AC ，∽BD BF BF AD CF DE
==，故C 正确； ∽DE∽BC ，∽DG DE CF GF BF BF
==，故D 错误，故选：C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和平行线分线段成比例是解答的关键．
9．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90BAD ∠=︒，对角线的交点为点O ．如果梯形ABCD 的两底边长不变，而腰长发生变化，那么下列量中不变的是（ ）
A ．点O 到边A
B 的距离
B ．点O 到边B
C 的距离 C ．点O 到边C
D 的距离
D ．点O 到边DA 的距离
【答案】D 【分析】变化后的梯形为ABC D ''，对角线的交点为O '，连接OO '，利用平行证出∽ABO∽∽CDO ，∽ABO '∽C D O '''△列出比例式即可证出
BO BO DO D O '=''
，从而证出OO '∽DD '，然后根据平行线之间的距离处处相等即可证出结论． 【详解】解：如下图所示，变化后的梯形为ABC D ''，对角线的交点为O '，连接OO '
由题意易知：CD=C D ''∽AB∽CD ，AB∽C D ''∽∽ABO∽∽CDO ，∽ABO '∽C D O '''△ ∽AB BO CD DO =，AB BO C D D O '=''''∽BO BO DO D O '=''
∽OO '∽DD ' 根据平行线之间的距离处处相等，可得点O 和点O '到DA 的距离相等，点O 和点O '到AB 、BC 、CD 的距离不一定相等∽不变量是点O 到边DA 的距离故选D ．
【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质和平行线之间的距离，找出相似三角形并证出OO '∽DD '是解题关键．
10．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，在ABC 中，点D 、F 是边AB 上的点，点E 是边AC 上的点，如果∽ACD=∽B ，DE //BC ，EF //CD ，下列结论不成立的是（ ）
A ．2AE AF AD =⋅
B ．2A
C A
D AB =⋅
C ．2AF AE AC =⋅
D ．2AD AF AB =⋅
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定及性质以及平行线分线段成比例对每个选项逐个证明即可．
【详解】解：∽DE //BC ，EF //CD ，∽∽ADE=∽B ，∽ACD=∽AEF ，又∽∽ACD=∽B ，∽∽ADE=∽AEF ，
∽∽ADE=∽AEF ，∽A=∽A ，∽AEF∽ADE ，∽AE AD AF AE
=，∽2AE AF AD =⋅，故选项A 正确； ∽∽ACD=∽B ，∽A=∽A ，∽ACD∽ABC ，∽AC AD AB AC
=，∽2AC AD AB =⋅，故选项B 正确； ∽DE //BC ，∽AE AD AC AB =，∽EF //CD ，∽AE AF AC AD
=，∽AF AD AD AB =，∽2AD AF AB =⋅，故选项D 正确； ∽EF //CD ，∽
AE AF AC AD =，∽AF AC AE AD ⋅=⋅，故选项C 错误，故选：C ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．
11．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点G 是ABC 的重心，GE AC ⊥，垂足为E ，如果8CB =，则线段GE 的长为（ ）
A ．53
B ．73
C ．83
D ．103
【答案】C
【分析】因为点G 是ABC 的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1，可知点D 为BC 的中点，
21AG GD =，根据GE AC ⊥，可得90AEG ∠=︒，进而证得AEG △∽ACD △，从而得到
EG AG CD AD
=，代入数值即可求解． 【详解】如图，连接AG 并延长交BC 于点D ．
点G 是ABC 的重心，∴点D 为BC 的中点，21AG GD =，8CB =，∴142
CD BD BC ===， GE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，90C ∠=︒，∴90AEG C ∠=∠=︒，
EAG CAD ∠=∠（公共角），∴AEG △∽ACD △，∴EG AG
CD AD =，21
AG GD =，∴23AG AD =， ∴243EG AG AD ==，∴83
EG =．故选：C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．
12．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，在梯形ABCD 中，//,3AD BC BC AD =，对角线AC BD 、交于点,O EF 是梯形ABCD 的中位线，EF 与BD AC 、分别交于点G H 、，如果OGH ∆的面积为1，那么梯形ABCD 的面积为（ ）
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
【答案】C
【分析】设AD=2x ，BC=6x ，根据EF 是梯形ABCD 的中位线，求得EG=FH=
1
2AD =x ，GF=12
BC =3x ，证得GH=AD ，由此得到1OGH AOD S S ∆∆==，39BOC OGH S S ∆∆==，033A B DOC AOD S S S ∆∆∆===，即可求出答案． 【详解】设AD=2x ，BC=6x ，∽EF 是梯形ABCD 的中位线，
∽点E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、BD 、AC 的中点，EF∽AD∽BC ，∽EF=
1
()2
4AD BC +=x ， ∽EG=FH=
1
2AD =x ，GF=12
BC =3x ，∽GH=2x ，∽GH=AD ，∽GH∽AD,∽∽OAD∽∽OHG, ∽
1OD AD OG GH
==，∽OG=OD ，1OGH AOD S S ∆∆==， ∽GH∽BC,∽∽OGH∽∽OBC ，∽
21
63
GH x BC x ==∽99BOC OGH S S ∆∆==， ∽O 是DG 的中点，G 是BD 的中点，∽033A B DOC AOD S S S ∆∆∆===，133916ABCD S ∴=+++=， 故选：C ．
．
【点睛】此题考查梯形中位线的性质定理，三角形中位线的性质定理，同底或同高三角形面积的关系，相似三角形的性质，这是一道与中位线相关的综合题．
13．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 上一点，过D 作
DF AB ⊥交边BC 于点E ，交AC 的延长线于点F ，联结AE ，如果1tan 3EAC ∠=，1CEF
S
=，那么
ABC
S
的值是（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
【答案】C
【分析】证明∽BAC∽∽FEC ，得2
1
9
EFC BAC S EC S AC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，进一步得出结论．
【详解】解：∽90ACB ∠=︒，DF∽AB ，∽∽ACB=∽FCE=∽BDE=90°
又∽FEC=∽BED∽∽F=∽B∽∽ABC∽∽EFC∽()22
211
tan 39
EFC BAC S EC EAC S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫==∠== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∽1CEF
S
=∽99BAC FEC S S ∆∆== 故选：C
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
二、填空题
14．（2021·上海崇明区·九年级一模）如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1:4，那么这两个三角形的面积比为________．
【答案】1:16
【分析】根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．
【详解】解：∽相似三角形对应高的比等于相似比，∽两三角形的相似比为1：4，
∽两三角形的面积比为1：16．故答案为：1：16．
【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比．
15．（2021·上海闵行区·九年级一模）已知两个相似三角形的相似比为4：9，那么这两个三角形的周长之比为__________．
【答案】4：9
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可直接得出结果．
【详解】解∽两个相似三角形的相似比为4：9，∽这两个相似三角形的周长比为4：9．故填：4：9．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．
16．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如果两个相似三角形的周长之比为1:4,那么这两个三角形对应边上的高之比为_______________________．
【答案】1:4
【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，得到对应边上的高之比．
【详解】解：∽两个相似三角形的周长比为1：4，∽两个相似三角形的相似比为1：4，
∽这两个三角形对应边上的高之比为1：4，故答案为：1：4．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解答此题的关键． 17．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在ABC 中，点,D E 分别在边,AB AC 上， //DE BC ，如果
AED 和四边形DECB
的面积相等，BC = DE 的长是 _____ ．
【答案】2
【分析】根据题意可得∽ADE∽∽ABC ，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．
【详解】∽//DE BC ，∽∽ADE∽∽ABC ，∽
2
ADE ABC
S DE S
BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
又∽AED 和四边形DECB 的面积相等，∽
1
2
ADE ABC
S S
=
， ∽2
12DE
BC ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，即：
222DE BC ===，故答案为：2． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
18．（2021·上海长宁区·九年级一模）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD 中，AB AC ==
3
2
AD CD ==
，点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．如果AC
是凸四边形ABCD 的相似对角线，那么EF 的长等于_________．
【答案】
4
【分析】根据相似三角形的判定及性质可得BC ，ACB CAD ∠=∠，继而可证//BC AD ，根据等腰三角形
三线合一性质可得CF ＝BF ＝
12
BC ＝1，3
4AE =，∽AFC ＝∽FAE ＝90°，继而在Rt∽AFC 中，根据勾股定理可
得AF ，继而在Rt∽AEF 中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∽AB AC =，DA DC =∽ABC DAC △∽△∽2AC BC AD =⋅，ACB CAD ∠=∠
∽AB AC ==
3
2
AD CD ==
，∽2BC =又ACB CAD ∠=∠，∽//BC AD ，∽AB ＝AC 又点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．
∽AF∽BC ，AF∽AD ，CF ＝BF ＝
12
BC ＝1，3
4AE =，即∽AFC ＝∽FAE ＝90°，
在Rt∽AFC 中，由勾股定理，得：AF =
=
=
∽在Rt∽AEF 中，由勾股定理，得：4EF ==
=
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是求出综合利用所学知识求得BC ，AF 的长度．
19．（2021·上海长宁区·九年级一模）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4．那么这两个三角形的周长之比为_______________． 【答案】5:4
【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【详解】解：∽两个相似三角形的对应中线的比为5：4，∽其相似比为5：4， ∽这两个相似三角形的周长的比为5：4．故答案为：5：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比是解题的关键． 20．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，1
cot 2
B =
，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．
【答案】
20
7
【分析】作CM∽AB 于M ，交GF 于N ，由勾股定理可得出AB ，由面积法求出CM ，证明∽CGF∽∽CAB ，再根据对应边成比例，即可得出答案．
【详解】作CM∽AB 于M ，交GF 于N ，如图所示： ∽Rt∽ABC 中，∽C ＝90°，AB ＝10，1cot B 2
=
，
∽设BC ＝k ，则AC ＝2k ，AB 2＝AC 2＋BC 2，即：102＝（2k ）2＋k 2，解得：k ＝
∽BC ＝25，AC ＝45，∽CM ＝
AC BC AB ⋅＝4525
⨯＝4，
∽正方形DEFG 内接于∽ABC ，∽GF ＝EF ＝MN ，GF∽AB ，∽∽CGF∽∽CAB ， ∽
CN GF =CM AB ，即4EF EF 410
-=，解得：EF ＝207；故答案为：20
7．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵
活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知ABC 的边BC 长60厘米，高AH 为40厘米，如果DE=2DG ，那么DG=______厘米．
【答案】15
【分析】如图，记,AH DG 的交点为M ， 设,DG x = 2,402,DE x AM x ==-再证明：,ADG ABC ∽利用相似三角形的性质可得：
,DG AM
BC AH
=再列方程，解方程可得答案． 【详解】解：如图，记,AH DG 的交点为M ，
设,DG x = 2DE DG =， 2,DE x ∴= ,AH BC ⊥ 四边形DEFG 为矩形，40AH =，
2,402,MH DE x AM x ∴===- ,AH DG ⊥ //,DG EF ,ADG ABC ∴∽ ,DG AM
BC AH
∴
= 60BC =，
402,6040
x x -∴= 402400120,x x ∴=- 1602400,x ∴= 15,x ∴= 15.DG ∴=
故答案为：15.
【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
22．（2021·上海静安区·九年级一模）如图，在∽ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，∽AED =∽B ，如果AD =2，AE =3，CE =1，那么BD 长为____．
【答案】4
【分析】根据相似三角形的判定得出∽AED∽∽ABC ，得出比例式，代入求出AB 即可． 【详解】AC=AE+CE=3+1=4，∽∽A=∽A ，∽AED=∽B ，∽∽AED∽∽ABC ，
∽
=AD AE
AC AB ，∽23=4AB
，∽AB=6，∽BD=6-2=4，故答案为：4． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，能求出∽AED∽∽ABC 是解此题的关键． 23．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，//EF AB ，1
2
AF FC =，如果四边形ABEF 的面积为25，那么ABC 的面积为______．
【答案】45
【分析】根据//EF AB ，易得∽CFE∽∽CAB ，再依据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出三角形ABC 的面积．
【详解】解：∽//EF AB ∽∽CFE∽∽CAB 又∽
12AF FC =∽3
2
AC FC =，∽94ABC FEC S S =△△ 设∽ABC 的面积为x 则
9
254
x x =-，解得，x=45，经检验x=45是原方程的根,故答案为：45 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，依据相似三角形面积比是相似比的平方，构建方程，是解决问题关键．
24．（2021·上海闵行区·九年级一模）在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且//DE BC ，如果：2
5
DE BC =，那么
AE
EC
=__________． 【答案】
23
【分析】如图，由//DE BC ，可得：ADE ABC △△∽，从而有：2
5
DE AE BC AC ==，设2AE x =，则=5AC x ，求解3EC x =，从而可得答案．
【详解】解：如图，//DE BC ，ADE ABC ∴△△∽，2
,5DE AE BC AC ∴
== 所以设2AE x =，则=5AC x ，3,EC AC AE x ∴=-= 2
.3
AE EC ∴
=
故答案为：2
.3
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 25．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D ，G 分别在AB 、AC 上，已知ABC 的边16BC cm =，高AH 为10cm ，则正方形DEFG 的边长为___．
【答案】
80
13
【分析】高AH 与边DG 的交点为P ，由四边形DEFG 是正方形，得到DE DG PH ==，//DG EF ，所
以ADG B ∠=∠，又因为DAG BAC ∠=∠，可证ADG ∽ABC ，根据相似三角形边之比等于高之比得到
DG AP
BC AH
=，代入数据求解即可． 【详解】高AH 与边DG 的交点为P ，如图，
四边形DEFG 是正方形，∴//DG EF ，DE DG PH ==， 设正方形DEFG 的边长为x cm ，则DE DG PH x ===，
10AH =，∴10AP AH PH x =-=-，//DG EF ，∴ADG B ∠=∠，
DAG BAC ∠=∠（公共角）
，∴ADG ∽ABC ，∴DG AP
BC AH
=， 16BC =，10AH =，∴
101610x x -=，∴8013
x =．故答案为：8013．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是注意图中公共角这个隐含条件．
26．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，//AB CD ，AD 、BC 相交于点E ，过E 作//EF CD 交BD 于点F ，如果3AB =，6CD =，那么EF 的长是________．
【答案】2
【分析】选证明ABE DEC △∽
△得到3162AE AB ED CD ===，利用比例性质得到23
DE DA =，再证明//EF AB ，则可判断DEF DAB ∽，然后利用相似比可得到23EF AB =，问题可解． 【详解】解：/AB/CD ，ABE DEC ∴∽△△3162AE AB ED CD ∴===23
DE DA ∴=， ∽//,//EF CD AB CD ，∽//EF AB ，DEF DAB ∴∽，∴
23EF DE AB AD ==， ∽223233
EF AB ==⨯=，故答案为：2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形时，应注意利用图中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
27．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，90BDC ∠=︒，4=AD ，9BC =，那么BD =______．
【答案】6
【分析】根据题意可知∽ABD∽∽DCB ，利用相似三角形对应边成比例，即可求出答案．
【详解】解：在直角梯形ABCD 中，∽//AD BC ，90A ∠=︒，90BDC ∠=︒，
∽∽ADB=∽DBC ，∽A=∽BDC ，∽∽ADB∽∽DCB,∽
AD BD DB CB
= 又∽AD=4,,BC=9,∽BD=6故答案为:6． 【点睛】本题考察了直角梯形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是得出∽ABD∽∽DCB ．
28．（2021·上海虹口区·九年级一模）已知△ABC 和△A 'B 'C '，顶点A 、B 、C 分别与顶点A '，B '，C '对应，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''边上的中线，如果3BC =， 2.4AD =，2B C ''=，那么A D ''的长是________． 【答案】85
【分析】直接利用相似三角形的性质得出相似比等于对应边上的中线的比进而得出答案．
【详解】解：如图，
∽∽ABC∽∽A 1B 1C 1，3BC =， 2.4AD =，2B C ''=，∽BC AD B C A D ='''' 即3 2.4=2A D ''
∽85A D ''=．故答案为：85
． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
29．（2021·上海金山区·九年级一模）已知：如图，ABC ∆的中线AE 与BD 交于点G ，//DF AE 交BC 于F ，那么DF AG
=______．
【答案】34
【分析】根据已知条件得出G 点是重心，再通过证明BEG ∽BFD △得出比例关系即可．
【详解】∽ABC ∆的中线AE 与BD 交于点G ，∽G 为ABC ∆的重心， ∽DG BG =12，GE AE =13；∽BG BD =23
∽DF //AE ，∽BEG ∽BFD △ ∽
EG DF =23∽GE AE =13∽DF AG =34．故答案为34． 【点睛】本题考查了重心的判定和性质与相似三角形的判定与性质，找到重心和两个相似三角形是解题的关键．
30．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，矩形ABCD 沿对角线BD 翻折后，点C 落在点E 处．联结CE 交边AD 于点F ．如果DF ＝1，BC ＝4，那么AE 的长等于_________．
【分析】由折叠的性质可得Rt BCD Rt BED ∆≅∆，由矩形的性质可证明Rt DAB Rt BCD ∆≅∆，故可得Rt DAB Rt BED ∆=∆，再证明Rt BCD Rt CDF ∆∆求得CD=2，在Rt AEF ∆中由勾股定理可得解．
【详解】解：∽四边形ABCD 是矩形，∽BED 是由∽BCD 翻折得到，
∽Rt BCD Rt BED ∆≅∆，CE BD ⊥，∽4AD BC ==，AB CD ED ==，
∽四边形ABCD 是矩形，∽AD=BC ，AB=CD ，又BD=DB∽Rt DAB Rt BCD ∆≅∆
∽Rt DAB Rt BED ∆≅∆∽AB ED =，ABD EDB ∠=∠∽四边形ABDE 是等腰梯形，
∽CE BD ⊥，//AE BD ∽CE AE ⊥，∽EAD ADB DBC =∠=∠
∽∽90,90DBC FCB FBC FCD ︒︒+∠=∠+∠=∽∽DBC FCD =∠。