2022-2023学年四川省绵阳中学高三三诊模拟数学试题(二)

2022-2023学年四川省绵阳中学高三三诊模拟
数学试题（二）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合{}
24x A x =≤∣，{}2log 2B x
x =≤∣，则A B ⋂=（ ） A ．{}
2x x ≤∣ B ．{02}x x <≤∣ C ．{}
4x
x ≤∣
D ．{04}x x <≤∣
2．若复数z 满足()1317i z i -=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．已知命貪()0:0,p x π∃∈，0sin 0x <命题:1q x ∀>，2log 0x >，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧
B ．p q ∨⌝
C ．()
p q ⌝∨
D ．p q ⌝∧
4．世界人口变化情况的三帞统计图如图所示．
下列结论中错误的是（ ）
A ．从折线图能看出世界人口的总量还羞年份的增加而增加
B ．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
C ．1957年到2050年各洲中北桊洲人口睇长速度最僈
D ．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平 5．函数()2
1sin 2
f x x x x =
-的大致图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知1sin cos 5αα+=
，其中,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则tan2α=（ ） A ．247-
B ．43-
C ．724
D ．247
7．已知直角三角形ABC ，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，现将该三角形沿斜边AB 旋
转一周，则旋转形成的几何体的体积为（ ） A ．12π B ．16π C ．
485π
D ．
243
π
8．某校迎新晩会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晩会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A ．36种
B ．48种
C ．72种
D ．120种
9．已知函数()()cos 0,2f x A x πωϕωϕ⎛
⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的部分图像如图所示，则（ ）
A ．()cos 6f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
B ．()sin 6f x x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
C ．()f x 在8,23ππ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
上单调递增 D ．若()f x θ+为偶函数，则()6k k πθπ=+∈Z
10．第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底葅与国际化的现代
风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，且相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为1O ，2O ，3O ，4O ，5O ，若双曲线C 以1O ，3O 为焦点、以直线24O O 为一条渐近线，则C 的离心率为（ ）
A ．
29011 B ．29013 C ．1311 D ．12
5
11．已知正方体1111ABCD A B C D 的棱长为a ，点E ，F ．G 分别为棱AB ，1AA ，11C D 的中点，下列结论中正确的个数是（ ）
①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形：②11B D ∥平面EFG ：③异面
直线EF 与1BD 所成角的正切值为2；④四面体11ACB D 的体积等于等3
3
a ．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．已知实数0a >， 2.718
e =，对任意()1,x ∞∈-+，不等式()e e 2ln x a ax a ⎡⎤≥++⎣⎦
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,e
⎛⎤ ⎥
⎝
⎦
B ．1,1e ⎡⎫⎪
⎢⎣⎭ C ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置） 13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若a b ∥，则32a b +=______．
14．在ABC △中，已知120B =︒，AC =，2AB =则BC =______．
15．已知抛物线2
:2C y x =的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线l 与C 交于A ，B 两点，则以线段AB 为直径的圆被y 轴所截得的弦长为______．
16．已知四棱锥P ABCD -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD
是等腰梯形，AD BC ∥，3AB AD CD ===，3
ABC π
∠=
，PA =M 是线段AB
上一点，且AM AB λ=．过点M 作球O 的截面，所得截面圆面积的最小值为2π，则
λ=______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．已知数列{}n a 是首项114a =，公比14q =的等比数列，设()
*
14
23log N n n b a n +=∈，数列{}n c 满足n n n c a b =．
（1）证明：数列{}n b 成等差数列．
（2）若2
114
n c m m ≤
+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的収值范围． 18．为调查A ，B 两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A
和只服用药物B 的患者的康复时间，经整理得到如下数据：
假设用频率估计概率，且只服用药物A 和只服用药物B 的患者是否康复相互独立．
（1）若一名患者只服用药物A 治疗，估计此人能在14天内康复的概率；
（2）从样本中只服用药物A 和只服用药物B 的患者中各随机抽取1人，以X 表示这2人中能在7天内康复的人数，求X 的分布列和数学期望：
19．如图在棱锥P ABC -中，侧面PAC 是等边三角形，AB BC ⊥，PB PC =．
（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；
（2）若24AC AB ==，则在棱PA 上是否存在动点M ，使得平面MBC 与平面ABC 的夹角为60︒？若存在，试确定点M 的位置；若不存在，说明理由．
20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>离心率为1e ，短轴长为2，双曲线22
:1
3
y E x -=的离心率为2e ，且122e e =
．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过椭圆C 的右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线
:2l x =-于点M ，交直线AB 于点N ，当MAN ∠最小时，求直线AB 的方程．
21．已知函数()21
ln 12
f x x x x x =---．
（1）求()f x 的单调区间； （2）若函数2
1()(2)(1)ln 12
g x x a x a x =
+-+--恰有两个零点，求正数a 的取值范圈． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题记分。

22．在直角坐标系xOy 中，曲线M 的方程为()()2
2
344x y -+-=，曲线N 的方程为
xy a =．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
4
π
θ=
．
（1）求曲线M ，N 的极坐标方程；
（2）若0a >，直线l 与曲线M 交于A ，B 两点，与曲线N 的一个交点为点C ，且
111OA OB OC ++=，求a 的值． 23．已知a ，b ，c 为正数，且满足3a b c ++=． （1）证明：3ab bc ca ++≤； （2）证明：9412ab bc ac abc ++≥
2020级高三三诊数学模拟试题试题二）
参考答案．．．．（．仅供参考．．．．）．
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。

1．B 2．D 3．D 4．C ． 5．C ． 6．D ． 7．C ． 8．C ． 10．B 11．B 12．A
二．填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置） 13514．3BC =． 15．2
2
1
22134
r d -=-= 16．
13或23
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（1）证明：由题意知14n
n a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，*N n ∈．
∵()
*14
23log N n n b a n +=∈，∴143log 2n n b a =-，
1114
3log 21
b a =-= ∴1
11111
14
4
4
4
3log 3log 3log 3log 3n n n n n n
a b b a a q a +++-=-===，
∴数列{}n b 是首项11b =，公差3d =的等差数列．
（2）∵()()()1
1
1111313291444n n n n n c c n n n +++⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
-=+⨯--⨯=-⨯ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
，*n ∈N ．
∴当1n =时，211
4
c c ==．当2n ≥时，1n n c c +<， 即1234n c c c c c =>>>
>．
∴当1n =或2时，n c 取最大值14
． 又2114n c m m ≤
+-对一切正整数n 恒成立，∴211144
m m +-≥， 即2450m m +-≥．得1m ≥戓5m ≤-．
18．（1）只服用药物A 的人数为数为360+228+12=600人，且能在14天内康复的人数360+228=588人，故一名患者只服用药物A 治疗，估计此人能在14天内康复的概率为：
5884960050
=
； （2）只服用药物A 的患者7天内康复的概率为
3603
6005
=． 只服用药物B 的患者7天内康复的概率为1602
160200405
=++，
其中X 的可的取值为0，1，2，
()3260115525PX ⎛⎫⎛⎫==-
⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()323213
111555525
P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()326
25525
P X ==
⨯=
， 则分布列为：
1
2
625 1325 625
数学期望为6136
0121252525
EX =⨯
+⨯+⨯=； 19．【解析】（1）设D ，E 分别是AC ，BC 的中点，连接PD ，DE ，PE ，
则DE AB ∥，1
2
DE AB =，由于AB BC ⊥，所以DE BC ⊥，
由于三角形PAC 是等边三角形，所以PD AC ⊥，由于PB PC =，所以PE BC ⊥．
由于DE PE E ⋂=，DE ，PE ⊂平面PDE ，所以BC ⊥平面PDE ，
由于PD ⊂平面PDE ，所以BC PD ⊥，
由于AC BC C ⋂=，AC ，BC ⊂平面ABC ，所以PD ⊥平面ABC ， 由于PD ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ． （2）由（1）可知平面PAC ⊥平面ABC ，
以A 为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
24AC AB ==，则4PA PC ==，30ACB ∠=︒，60CAB ∠=︒，
所以()3,1,0B
，(
)
0,2,23P ，()0,4,0C ，
60PAC ∠=︒，设()0,,3M t t ，02t ≤≤，平面ABC 的一个法向量是()0,0,1m =，()3,3,0BC =-，()0,4,3CM t t =-，设平面MBC 的一个法向量是(),,n x y z =，
则()330430
n BC x y n CM t y tz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，故可设()
3,3,4n t t t =-，
若平面MBC 与平面ABC 的夹角为60°，则cos 60||||
m n
m n ⋅︒=
⋅∣
，即222412
93(4)t t t t -=
++-， 43t =
（负根舍去），则4430,33M ⎛ ⎝，42
23
3=⨯， 所以M 是线段AP 上，靠近P 点的三等分点．
20．（1）双曲线的离心率22e =，由212212b e a ==-，则221
2
b a =，其中22b =，所以22a =，
即椭圆方程为：2
212
x y += （2）当直线AB 的斜率存在且为零时，其垂直平分线与直线l 平行，不满足题意，
故直线AB 的斜率不为零，可设直线AB 的方程为1x ty =+，
()11,A x y ，()22,B x y ，(),M M M x y ，(),N N N x y
联立直线AB 与椭圆C 的方程22
112
x ty x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去x 得 ()2
22210t
y ty ++-=，()()
222442810t t t ∆=++=+>
由一元二次方程根与系数的关系可得122
22
t
y y t -+=
+， 122
12y y t =-+则22
N t
y t =-+，22221122N N t x ty t t =+=-+=++ 由MN AB ⊥，则MN k t =-，
2
2
2
222226112122
MN
M N t MN k
x x t t t t +=+-=+⋅--=+⋅++ 又222
122112111222t AN AB t y y t t +==+⋅-=+⋅
+
则(
)2222
232tan 2122241
1t MN MAN t AN
t t ∠+⎛⎫
=
=
=
++≥⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭
当且仅当2
2
211
t t +=
+，即1t =±时取等号．
此时直线AB 的方程为10x y +-=或10x y --=，
故当MAN ∠最小时，直线AB 的方程为10x y +-=或10x y --=．
21．（1）由题意可得()ln f x x x ='-．设()ln h x x x =-，则()111x h x x x -=-='．由()0h x '>，得01x <<，由()0h x '<，得1x >，则()h x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，
即()f x '在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，从而()()110f x f '=-'≤<， 故()f x 的单调递减区间是()0,∞+，无递增区间．
（2）由题意可得()()()()2211112x a x a x a x a g x x a x x x
+-+-+---=+='+-=． ①当10a -<，即1a >时，由()0g x '>，得1x >，由()0g x '<，得01x <<， 则()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．
所以要使()g x 要有两个零点，首先要求()112102g a =
+--<，解得512a <<． 下面证明512
a <<
时，()g x 确实存在两个零点： ()()()()()2211211ln 231ln 1ln 322
g x x x ax a x x ax a x ax a x =
--++-=--++-≥+-- 所以()33331111e 1lne 3c 0a a a g ae a a α----⎛⎫≥+--=> ⎪⎝⎭，
且3
1e 1a -<，故在31e ,1a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
内存在一个零点．
()()()22222e c 1lnc 3c 21c 21g a a a a a ≥+--=--=--，
因为1a >，所以()2c 210a -->，故在()
21,e 内存在一个零点． 所以512
a <<
时，()g x 存在两个零点．
②）当1－a =0，即1a =时，()21102g x x x =--=，解得1x =±，
因为0x >，所以1x =+，则()g x 有且仅有1个零点，故1a =不符合题意． ③当011a <-<，即01a <<时，由()0g x '>，
得01x a <<-或1x >，由()0g x '<，得11a x -<<，
则()g x 在()0,1a -和()1,∞+上单调递增，在()1,1a -上单调递减．
显然()112102
g a =
+--<，下面证明当01a <<时()10g a -<恒成立 ()()()()()()2111211ln 1102
g a a a a a a -=-+--+---=，设()10,1t a =-∈，则()22111ln 1ln 1022
t t t t t t t t t +--+-=--+-=． 由（1）可知21ln 12
y t t t t =---在()0,1上单调递减， 则21ln 102t t t t ---<，即()10g a -<成立． 所以01a <<时()g x 不可能有两个零点．
综上，()g x 恰有两个零点时正数a 的取值范围是51,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 22．【详解】（1）由()()22344x y -+-=，得2268210x y x y +--+=，
所以曲线M 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ--+=．
由xy a =，得2cos sin a ρθθ=，即2sin22a ρθ=，
此即曲线N 的极坐标方程；
（2）将4πθ=
代入()2sin220a a ρθ=>
，得ρ= 将4π
θ=代入26cos 8sin 210ρρθρθ--+=
，得2210ρ-+=， 设A ，B 对应的参数分别是1ρ，2ρ
，则12ρρ+=，1221ρρ=，
所以1212
1211111OA OB OC ρρρρρρ+++=+=+
== 解得：9a =．
23．【详解】（1）∵a ，b ，c 为正数，要证3ab bc ca ++≤，∵3a b c ++= 只需证()213
ab bc ca a b c ++≤++，即证()()22232ab bc ca a b c ab bc ca ++≤+++++，即证222ab bc ca a b c ++≤++，
∵a ，b ，c 为正数，∴222a b ab +≥，∴222b c bc +≥，
∴222c a ca +≥，∴()
()22222a b c ab bc ca ++≥++，
∴222ab bc ca a b c ++≤++当且仅当1a b c ===时取等； （2）要证9412ab bc ac abc ++≥，只需证14912a b c
++≥，即证()14936a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭
， 根据柯西不等式可
()()22149
12336a b c a b c ⎛⎫++++≥=++= ⎪⎝⎭， 当且仅当12a =，1b =，32
c =取等号．从而9412ab bc ac abc ++≥．。