线性代数各章知识及脉络图

M r1 ri i 2,3,L ,n
M


0
n1

n

n1

n


n
1


n
1

特殊行列式
1、（主）对角行列式、上（下）三角行列式
a11
a11
a11 a11 L a11
a22 O
a11 a22 M MO

a22 L O
一个整数） 当给定具体的范德蒙德行列式时，可能变量采用不同的名称，或者是已经赋予具体的值。 参见“范德蒙德行列式专辑”
-3-
认识余子式（Minor）和代数余子式（Algebraic Minor），及其之间的关系
det aij 的 i, j 元 aij 的余子式 Mij 和代数余子式 Aij ，仅与位置 i, j 有关， aij 的取值如何并不影响其余
x12 L x22 L M
x n1 1
x n1 2
M
MM
x n1 1
x n1 2
L
M x n1
n1
M x n1
n
1
xn1
x2 n1
L
1 xn xn2 L
x n1 n1
x n1 n
f x1, x2,L , xn
xi x j
ni j1
f x1, x2,L , xn
余子式、代数余子
式
n
Dn akj Akj （按 j 行展开） k 1
给定（i,j）元的值
化三角形－加边法、爪型行列式； 公式法－特殊行列式、范德蒙德行列式；
递推、数学归纳法；等
未给定（i,j）元的值
用行列式性质计算； 用矩阵性质计算； 用方阵的特征值；等
克拉默法则； 判断方阵的可逆，利用伴随几种求逆矩阵； 线性相关性的判定； 求矩阵的秩，并判断线性方程组的解存在情况； 求方阵的特征值。
子式 Mij 和代数余子式 Aij 的取值。 Aij 1 i j Mij ，代数余子式即为带符号的余子式。
一、行列式
行列式
知识结构网络图
概念 性质 展开式
计算
应用
不同行、不同列的 n 个元素之积的代数和
经转置行列式的值不变； 某行有公因数 k，可把 k 提到行列式外； 某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和； 两行互换行列式变号； 某行的 k 倍加至另一行．行列式的值不变；
n
Dn aik Aik （按 i 行展开） k 1
L
x3 x2 x3 x1 x2 x1
认识范德蒙德行列式
可以将 n 阶范德蒙德行列式看成式关于 n 个变量 x1, x2 ,L , xn 的函数，即 Dn f x1, x2 ,L , xn 。此种类型
行列式具有如下三个特点：
○1 从列的角度看：第 j 列元素从上到下依次为同一个变量 x j 的零次幂、1 次幂、…、n－1 次幂，
xn x j
xn1 x j L
x3 x j
x2 x j
n1 j1
n2 j1
2 j1
1 j1
xn xn1 xn xn2 L xn x2 xn x1
xn1 xn2 xn1 xn3 L xn1 x2 xn1 x1
解答：设原行列式为
1 ，则新的行列式为
1 2 ，
det A M
2 3
n
det
B


M

n1 n

n
1



1
2

0

2
3


2
3
detB Nhomakorabea
行列式的性质
522 【例】：已知 531，252，234 都是 9 的倍数，利用行列式的性质（而不是展开），证明 3 5 3 也是 9 的
124
倍数。
522
522
522
解答： 3 5 3 r3 102 r1 ,r3 10r2 3
5
3
1 9
r3
9
3
5
3
124
531 252 234
58 27 26
【例】：如果除最后一行外，从每一行减去后面的一行，而从最后一行减去原先的第一行，问行列式值如 何变化？
a11
M

n i 1
aii
ann a11 a11 L ann
ann
2、（次）对角行列式、上（下）三角行列式
N an1
a1n
a2 ,n 1

N
an1 L
a2 ,n 1 an ,n 1
a1n a11 L a2,n a21 L
MN ann an1
a1n a2 ,n 1
a1n
nn1 n
j 1, 2,L , n ；
○2 从行的角度看：第 i 行元素是从左往右依次为 x1, x2 ,L , xn 的 i－1 次幂， i 1, 2,L , n
○3 从结果看： f x1, x2,L , xn ni j1
xi x j
是关于变量 x1, x2 ,L
,
xn
证明 A 0
R Ann n ；
0 是方阵 A 的特征值；
A A
-1-
行列式是线性代数中的重要工具，在求解线性方程组、求逆矩阵、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特 征值、判断二次型的正定性等方面都要用到．本章的重点是应用行列式的性质和展开定理计算行列式．行 列式的计算除了利用性质及展开定理外，还有三角化法、升阶法、递推法和数学归纳法等，计算方法多， 技巧性强，这是难点所在．要掌握好这些方法，首先必须具体分析所求行列式元素分布的规律，针对其特 点采取适当的方法；其次是要注意总结、积累经验，不断提高运算能力．
的
1 2
n
n

1次齐次函数；而且该
齐次函数可以分解为 1 n n 1个一次因式 2
xi x j
之积，其中 n i j 1 ，即脚标大者与脚标小者之
差。（说明：i 可以取值为1, 2,L , n ，例当 i 取值为 4 时，j 只可以取值为 3、2、1，即区间i 1,1中的每
1 2
aii
i 1
-2-
3、分块三角行列式
A
形式简记为：
OA


A
B
O
，
A
A 1kn A B
B OB
B BO
4、范德蒙德行列式
1
x1
f x1, x2 ,L , xn x12
1L
x2 L x22 L
1
xn1 x2
n1
1 1 x1
xn 1 x2 xn2 M M