全国青年数学教师优质课获奖教学设计：等比数列的前n项和Word版含答案
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1
q qn) q
1 a1 a n q
1q
,q 1
sn a1 a1q
a1 q n 2 a1 q n 1
a1 q a1 a1q
a1qn 2 a1 qsn 1
a1 q sn an a1 qsn anq
sn
a1 a n q ( q 1)
1q
sn qsn a1 anq
推导等比数列前 n 项和 Sn 的公式，引导学生类比前面的特例完成以上推导课本上的推
生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥了组织者、推进者和指导者的作用，
而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者！让学生享受成功的喜悦！
]
【基础知识形成性练习】
1． 在公比为 q 的等比数列 { an } 中
(1)若 a1
2 ,q
1 ，则 Sn
________ ；
33
（2）若 a1 2, q 2, n 8 ，则 Sn ________；
（3）若 a1 8, q 2, a n 1 ，则 Sn ________；
2
2．判断正误：
11 （ 1） + +
24
+（ 1）n 2
1
1 2n
（ 2)1 2 4 8
( 2)n 1 1 (1 2n) 12
（ 3)1 2 22 23
2n 1 (1 2n) 12
(4)c1 c2
cn 1 cn c(1 cn) 1-c
提出问题 :如何推导等比数列前 n 项和公式？（学生很自然地模仿以上方法推导）
学生 A ： Sn a1 a1q a1q 2
a1q n 2 a1q n 1 (1)
qSn a1q a1q 2
a1q n 1 a1q n ( 2)
（ 1） -（ 2）有 (1 q)Sn a1 a1qn
Sn
学生 B：
na1 , a1 (1
(四 )新知应用
例 1、求等比数列
111 , ,,
1
,
的前 8 项的和．
2 4 8 16
变式 1：求等比数列
1 ,
11 ,,
1
,
的第 6 项到第 10 项的和．
2 4 8 16
例 2、求数列 1 a a2 a3
an 1
(a 0) 的前 n 项和。
变式 2：求 1 x
在“主
创设情境 布疑激趣
观察实验 建立模型
探寻特例 提出猜想
深入思考 证明猜想
简单应用 总结评估
四、教学目标
1、掌握等比数列的前 n 项和公式，能用等比数列的前
n 项和公式解决相关问题。
2、通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。 3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发 展数学的理性思维。
S30 1 2 22
2 29 ①若用公比 2 乘以上面等式的两边，得到
2S30 2 22
229 230 ②
若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：
S30 230 1 1073741823(分 ) ≈1073(万元 ) ＞ 465（万元）
答案 :穷人不能向富人借钱 （三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。
破，另外，对于 q = 1 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的
过程中容易出错。 教学对象是刚进入高中的学生， 虽然具有一定的分析问题和解
决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、
敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。
三、设计思想
本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，让学生通过 个人、小组、 集体等多种解难释疑的尝试活动， 深入探讨。 让学生在“活动”中学习， 动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下：
五、教学重点与难点
重点：掌握等比数列的前 n 项和公式，能用等比数列的前 难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。
n 项和公式解决相关问题。
六、教学过程
（一） 复习回顾 1、（提问）等比数列的定义？通项公式？性质？
2、（提问）等差数列前 n 项和公式是什么？ （二） 创设问题情景
引例：“一个穷人到富人那里去借钱 ,原以为富人不愿意， 哪知富人一口答应了下来 ,但提 出了如下条件： 在 30 天中， 富人第一天借给穷人 1 万元 ,第二天借给穷人 2 万元 ,以后每天所 借的钱数都比上一天多 1 万 ;但借钱第一天 ,穷人还 1 分钱 ,第二天还 2 分钱 ,以后每天所还的钱
课题：等比数列的前 n 项和
一、教材分析
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修 5）》（北师大版）
第一章第三节第一课时。 从在教材中的地位与作用来： 看《等比数列的前 n 项和》
是数列这一章中的一个重要内容， 它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用， 如
储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分
类讨论、整体变换和方程等思想方法， 都是学生今后学习和工作中必备的数学素
养。
二、学情分析
从学生的思维特点看， 很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公，应因势利导。不利因素是：本节公式的推
导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突
数都是上一天的两倍 ,30 天后互不相欠 .穷人听后觉得挺划算 ,本想定下来 ,但又想到此富人是 吝啬出了名的 ,怕上当受骗 ,所以很为难。 ”请在座的同学思考讨论一下 ,穷人能否向富人借钱 ?
[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中
来！启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。
导方法后， 教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发言）
学生 C：
a2 a3 a1 a 2
an
q
an 1
a2 a3 a1 a 2
an q 即 an 1
sn a1 sn a n
q
sn
a1 anq (q 1q
1)
。
[ “特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！
教师让学生进行各种尝试， 探寻公式的推导的方法， 同时抓住机会或创设问题情景调动了学
]
学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：
穷人 30 天借到的钱： S3' 0 1 2
(1 30) 30
30
465 （万元）
2
穷人需要还的钱： S30 1 2 22
2 29 ?
[直觉先行 ,思辨引路 ,在矛盾冲突中引发学生积极的思维 !]
教师紧接着把如何求 S30 1 2 22
229 ？的问题让学生探究：
q qn) q
1 a1 a n q
1q
,q 1
sn a1 a1q
a1 q n 2 a1 q n 1
a1 q a1 a1q
a1qn 2 a1 qsn 1
a1 q sn an a1 qsn anq
sn
a1 a n q ( q 1)
1q
sn qsn a1 anq
推导等比数列前 n 项和 Sn 的公式，引导学生类比前面的特例完成以上推导课本上的推
生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥了组织者、推进者和指导者的作用，
而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者！让学生享受成功的喜悦！
]
【基础知识形成性练习】
1． 在公比为 q 的等比数列 { an } 中
(1)若 a1
2 ,q
1 ，则 Sn
________ ；
33
（2）若 a1 2, q 2, n 8 ，则 Sn ________；
（3）若 a1 8, q 2, a n 1 ，则 Sn ________；
2
2．判断正误：
11 （ 1） + +
24
+（ 1）n 2
1
1 2n
（ 2)1 2 4 8
( 2)n 1 1 (1 2n) 12
（ 3)1 2 22 23
2n 1 (1 2n) 12
(4)c1 c2
cn 1 cn c(1 cn) 1-c
提出问题 :如何推导等比数列前 n 项和公式？（学生很自然地模仿以上方法推导）
学生 A ： Sn a1 a1q a1q 2
a1q n 2 a1q n 1 (1)
qSn a1q a1q 2
a1q n 1 a1q n ( 2)
（ 1） -（ 2）有 (1 q)Sn a1 a1qn
Sn
学生 B：
na1 , a1 (1
(四 )新知应用
例 1、求等比数列
111 , ,,
1
,
的前 8 项的和．
2 4 8 16
变式 1：求等比数列
1 ,
11 ,,
1
,
的第 6 项到第 10 项的和．
2 4 8 16
例 2、求数列 1 a a2 a3
an 1
(a 0) 的前 n 项和。
变式 2：求 1 x
在“主
创设情境 布疑激趣
观察实验 建立模型
探寻特例 提出猜想
深入思考 证明猜想
简单应用 总结评估
四、教学目标
1、掌握等比数列的前 n 项和公式，能用等比数列的前
n 项和公式解决相关问题。
2、通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。 3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发 展数学的理性思维。
S30 1 2 22
2 29 ①若用公比 2 乘以上面等式的两边，得到
2S30 2 22
229 230 ②
若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：
S30 230 1 1073741823(分 ) ≈1073(万元 ) ＞ 465（万元）
答案 :穷人不能向富人借钱 （三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。
破，另外，对于 q = 1 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的
过程中容易出错。 教学对象是刚进入高中的学生， 虽然具有一定的分析问题和解
决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、
敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。
三、设计思想
本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，让学生通过 个人、小组、 集体等多种解难释疑的尝试活动， 深入探讨。 让学生在“活动”中学习， 动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下：
五、教学重点与难点
重点：掌握等比数列的前 n 项和公式，能用等比数列的前 难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。
n 项和公式解决相关问题。
六、教学过程
（一） 复习回顾 1、（提问）等比数列的定义？通项公式？性质？
2、（提问）等差数列前 n 项和公式是什么？ （二） 创设问题情景
引例：“一个穷人到富人那里去借钱 ,原以为富人不愿意， 哪知富人一口答应了下来 ,但提 出了如下条件： 在 30 天中， 富人第一天借给穷人 1 万元 ,第二天借给穷人 2 万元 ,以后每天所 借的钱数都比上一天多 1 万 ;但借钱第一天 ,穷人还 1 分钱 ,第二天还 2 分钱 ,以后每天所还的钱
课题：等比数列的前 n 项和
一、教材分析
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修 5）》（北师大版）
第一章第三节第一课时。 从在教材中的地位与作用来： 看《等比数列的前 n 项和》
是数列这一章中的一个重要内容， 它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用， 如
储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分
类讨论、整体变换和方程等思想方法， 都是学生今后学习和工作中必备的数学素
养。
二、学情分析
从学生的思维特点看， 很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公，应因势利导。不利因素是：本节公式的推
导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突
数都是上一天的两倍 ,30 天后互不相欠 .穷人听后觉得挺划算 ,本想定下来 ,但又想到此富人是 吝啬出了名的 ,怕上当受骗 ,所以很为难。 ”请在座的同学思考讨论一下 ,穷人能否向富人借钱 ?
[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中
来！启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。
导方法后， 教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发言）
学生 C：
a2 a3 a1 a 2
an
q
an 1
a2 a3 a1 a 2
an q 即 an 1
sn a1 sn a n
q
sn
a1 anq (q 1q
1)
。
[ “特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！
教师让学生进行各种尝试， 探寻公式的推导的方法， 同时抓住机会或创设问题情景调动了学
]
学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：
穷人 30 天借到的钱： S3' 0 1 2
(1 30) 30
30
465 （万元）
2
穷人需要还的钱： S30 1 2 22
2 29 ?
[直觉先行 ,思辨引路 ,在矛盾冲突中引发学生积极的思维 !]
教师紧接着把如何求 S30 1 2 22
229 ？的问题让学生探究：