苏科版九年级数学上册 全册期末复习试卷易错题(Word版 含答案)

苏科版九年级数学上册 全册期末复习试卷易错题（Word 版 含答案）
一、选择题
1．如图，四边形ABCD 内接于
O ，若40A ∠=︒，则C ∠=（ ）
A ．110︒
B ．120︒
C ．135︒
D ．140︒ 2．圆锥的底面半径为2，母线长为6，它的侧面积为（ ） A ．6π
B ．12π
C ．18π
D ．24π
3．sin 30°的值为（ ） A ．3
B ．
3 C ．
12
D ．
22
4．如图，已知点D 在ABC ∆的BC 边上，若CAD B ∠=∠，且:1:2CD AC =，则
:CD BD =（ ）
A ．1:2
B ．2:3
C ．1:4
D ．1:3
5．已知3
sin α=，则α∠的度数是（ ） A ．30° B ．45°
C ．60°
D ．90°
6．若将半径为24cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为
（ ） A ．3cm
B ．6cm
C ．12cm
D ．24cm
7．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）
A ．100°
B ．72°
C ．64°
D ．36°
8．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD =1，BD =2，则DE BC
的值为（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
14
D ．
19
9．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ） A ．
15
B ．
25
C ．
35
D ．
45
10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点M 是AB 上的一点，点N 是CB 上的一点，
4
3
=BM CN ，当∠CAN 与△CMB 中的一个角相等时，则BM 的值为（ ）
A ．3或4
B ．83
或4
C ．83
或6
D ．4或6
11．抛物线2
y 3(x 1)1=-+的顶点坐标是( ) A ．()1,1
B ．()1,1-
C ．()1,1--
D ．()1,1-
12．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了5株麦苗，测得苗高(单位：cm)为：10、16、8、17、19，则这组数据的极差是（ ） A ．8 B ．9
C ．10
D ．11
13．抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是
( )
A ．y ＝(x+1)2+3
B ．y ＝(x+1)2﹣3
C ．y ＝(x ﹣1)2﹣3
D ．y ＝(x ﹣1)2+3
14．不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取
出1个球是红球的概率是（ ） A ．
13
B ．
14
C ．
15
D ．
16
15．若二次函数y ＝x 2+4x +n 的图象与x 轴只有一个公共点，则实数n 的值是（ ） A ．1
B ．3
C ．4
D ．6
二、填空题
16．关于x 的一元二次方程20x a +=没有实数根，则实数a 的取值范围是 ． 17．
O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为2，则直线l 与O 的位置关系是______.
18．若圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm ，则它的侧面展开图的面积为_____cm 2． 19．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，若∠P ＝40°，则∠ADC ＝____°．
20．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，当y ＜3时，x 的取值范围是____．
21．某企业2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x ，则可列方程____．
22．若x 1，x 2是一元二次方程2x 2＋x －3＝0的两个实数根，则x 1＋x 2＝____． 23．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为______．
24．如图，ABC ∆是O 的内接三角形，45BAC ∠=︒，BC 的长是
54
π
，则O 的半径是__________．
25．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y﹣0.03﹣0.010.020.04
则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是_____．
26．如图，在△ABC和△APQ中，∠PAB=∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC，则这个条件可以是________．
27．如图，在⊙O中，分别将弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是__________________．
28．如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为_____．
29．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=110°，则∠BOD等于________°.
30．如图，AE、BE是△ABC的两个内角的平分线，过点A作AD⊥AE．交BE的延长线于点
D．若AD＝AB，BE：ED＝1：2，则cos∠ABC＝_____．
三、解答题
31．某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元.试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件.设每件商品降价x元时，日盈利为w元.据此规律，解决下列问题：
（1）降价后每件商品盈利元，超市日销售量增加件（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变的情况下，求每件商品降价多少元时，超市的日盈利最大？最大为多少元？
32．定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM•ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB的“相关角”．
（1）如图1，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，且∠MPN＝150°．求证：∠MPN是∠AOB的“相关角”；
（2）如图2，已知∠AOB＝α（0°<α<90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相关角”，连结MN，用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积；
（3）如图3，C是函数
4
y
x
=（x>0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和
y轴于点A，B两点，且满足BC＝3CA，∠AOB的“相关角”为∠APB，请直接写出OP的长及相应点P的坐标．
33．解方程
（1）（x+1）2﹣25＝0
（2）x2﹣4x﹣2＝0
34．中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率
为；
（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率． 35．（1）如图①，点A ，B ，C 在O 上，点D 在O 外，比较A ∠与BDC ∠的大
小，并说明理由；
（2）如图②，点A ，B ，C 在O 上，点D 在O 内，比较A ∠与BDC ∠的大小，并
说明理由；
（3）利用上述两题解答获得的经验，解决如下问题：
在平面直角坐标系中，如图③，已知点()1,0M ，()4,0N ，点P 在y 轴上，试求当
MPN ∠度数最大时点P 的坐标.
四、压轴题
36．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts ． （1）如图①，
①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值； （2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当38
83
a t ==
，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．
37．如图, AB 是⊙O 的直径,点D 、E 在⊙O 上,连接AE 、ED 、DA ,连接BD 并延长至点C ,使得DAC AED ∠=∠．
（1）求证: AC 是⊙O 的切线；
（2）若点E 是BC 的中点, AE 与BC 交于点F ， ①求证: CA CF =；
②若⊙O 的半径为3，BF =2,求AC 的长．
38．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，连结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ．
（1）若ED ＝BE ，求∠F 的度数：
（2）设线段OC ＝a ，求线段BE 和EF 的长（用含a 的代数式表示）； （3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长．
39．如图 1，抛物线2
1:4C y ax ax c =-+交x 轴正半轴于点()1,0,A B ，交y 轴正半轴于
C ，且OB OC =．
（1）求抛物线1C 的解析式；
（2）在图2中，将抛物线1C 向右平移n 个单位后得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线1C 在第一象限内交于一点P ，若CAP ∆的内心在CAB △内部，求n 的取值范围
（3）在图3中，M 为抛物线1C 在第一象限内的一点，若MCB ∠为锐角，且
3tan MCB ∠＞，直接写出点M 横坐标M x 的取值范围___________
40．()1尺规作图1：
已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上
求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形． 作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．
()2特例思考：
如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.
()3拓展应用：
如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C 的度数． 【详解】
∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝400， ∴∠C ＝1800－400＝1400， 故选D. 【点睛】
此题考查圆内接四边形的性质，解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积． 【详解】
根据圆锥的侧面积公式：πrl ＝π×2×6＝12π， 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了圆锥侧面积公式．熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．3．C
解析：C
【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值求出答案．
【详解】
解：sin 30°＝1 2
故选C
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据两角对应相等证明△CAD∽△CBA，由对应边成比例得出线段之间的倍数关系即可求解.【详解】
解：∵∠CAD=∠B，∠C=∠C,
∴△CAD∽△CBA,
∴
1
2 CD CA
CA CB
,
∴CA=2CD,CB=2CA,∴CB=4CD,
∴BD=3CD,
∴
1
3 CD
BD
.
故选：D.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，得出线段之间的关系是解答此题的关键. 5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】
解：由sinα=，得α=60°，
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
6．C
解析：C
【解析】 【分析】
易得圆锥的母线长为24cm ，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2π即为圆锥的底面半径. 【详解】
解：圆锥的侧面展开图的弧长为：2π24224π⨯÷=，
∴圆锥的底面半径为：()24π2π12cm ÷=.
故答案为：C.
【点睛】
本题考查的知识点是圆锥的有关计算，熟记各计算公式是解题的关键.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：设AC 和OB 交于点D ，根据同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数2倍可得：∠O=2∠A=72°，根据∠C=28°可得：∠ODC=80°，则∠ADB=80°，则∠B=180°-∠A-∠ADB=180°-36°-80°=64°，故本题选C ．
8．B
解析：B
【解析】
试题分析：∵DE ∥BC ，∴
AD DE AB BC =，∵13AD AB =，∴3
1DE BC =．故选B ． 考点：平行线分线段成比例． 9．B
解析：B
试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，从0，﹣1，﹣2，1，3中任抽一张，那么抽到负数的概率是
25
. 故选B. 考点：概率. 10．D
解析：D
【解析】
【分析】
分两种情形：当CAN B ∠=∠时，CAN CBA ∆∆∽，设3CN k =，4BM k =，可得
CN AC AC CB
=，解出k 值即可；当CAN MCB ∠=∠时，过点M 作MH CB ⊥，可得CAN BAC ∆∆∽，得出125MH k =，165BH k =，则1685
CH k =-，证明ACN CHM ∆∆∽，得出方程求解即可．
【详解】
解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，
∴CMB CAB CAN ∠>∠>∠，AB=10，
CAN CAB ∴∠≠∠，
设3CN k =，4BM k =，
①当CAN B ∠=∠时，可得CAN CBA ∆∆∽，
∴
CN AC AC CB =， ∴3668
k =， 32k ∴=
， 6BM ∴=．
②当CAN MCB ∠=∠时，如图2中，过点M 作MH CB ⊥，可得BMH BAC ∆∆∽，
∴
BM MH BH BA AC BC ==， ∴41068
k MH BH ==，
125MH k ∴=，165
BH k =， 1685CH k ∴=-
， MCB CAN ∠=∠，90CHM ACN ∠=∠=︒，
ACN CHM ∴∆∆∽， ∴CN MH AC CH
=， ∴123516685
k k k =-， 1k ∴=，
4BM ∴=．
综上所述，4BM =或6．
故选：D ．
【点睛】
本题考相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
已知抛物线顶点式y =a （x ﹣h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ）．
【详解】
∵抛物线y =3（x ﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．
故选A ．
【点睛】
本题考查了由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
计算最大数19与最小数8的差即可.
【详解】
19-8=11，
故选：D.
【点睛】
此题考查极差，即一组数据中最大值与最小值的差.
13．D
解析：D
【解析】
【分析】
按“左加右减，上加下减”的规律平移即可得出所求函数的解析式.
【详解】
抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位得y ＝（x ﹣1）2，再向上平移3个单位得y ＝（x ﹣1）2+3.
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k （a ，b ，c 为常数，a ≠0），确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．
14．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据红球的个数以及球的总个数，直接利用概率公式求解即可.
【详解】
因为共有6个球，红球有2个， 所以，取出红球的概率为2163
P =
=， 故选A.
【点睛】
本题考查了简单的概率计算，正确把握概率的计算公式是解题的关键. 15．C
解析：C
【解析】
【分析】
二次函数y =x 2+4x +n 的图象与x 轴只有一个公共点，则240b ac =-=⊿，据此即可求得．
【详解】
∵1a =，4b =，c n =，
根据题意得：2244410b ac n =-=⨯⨯=⊿﹣，
解得：n =4，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a ≠0）的
交点与一元二次方程20ax bx c ++=根之间的关系．24b ac =-⊿决定抛物线与x 轴的交点个数．⊿＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；0=⊿时，抛物线与x 轴有1个交点；⊿
＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题
16．a＞0．
【解析】
试题分析：∵方程没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为a＞0．考点：根的判别式．
解析：a＞0．
【解析】
试题分析：∵方程20
x a
+=没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为a＞0．考点：根的判别式．
17．相交
【解析】
【分析】
由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．
【详解】
解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的
解析：相交
【解析】
【分析】
由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．
【详解】
解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的距离为2，
∵4＞2，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故答案为：相交.
【点睛】
本题考查知道知识点是圆与直线的位置关系，若d＜r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离；若d=r，则直线与圆相切.
18．15
【解析】
【分析】
先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算.
【详解】
∵圆锥的底面半径为3cm，高为4cm
∴圆锥的母线长
∴圆锥的侧面展开图的面积
故填：.
【点睛】
解析：15π
【解析】
【分析】
先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算.
【详解】
∵圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm
∴圆锥的母线长22345()cm =+=
∴圆锥的侧面展开图的面积()23515cm
ππ=⨯⨯=
故填：15π.
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长. 19．115°
【解析】
【分析】
根据过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点，∠P=40°，可以求得∠OCP 和∠OBC 的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D 的度数，本题得以解决．
【详解】
解：连
解析：115°
【解析】
【分析】
根据过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点，∠P=40°，可以求得∠OCP 和∠OBC 的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D 的度数，本题得以解决．
【详解】
解：连接OC ，如右图所示，
由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，
∴∠COB=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=65°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=115°，
故答案为：115°．
【点睛】
本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
20．－1＜x＜3
【解析】
【分析】
根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．
【详解】
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点睛
解析：－1＜x＜3
【解析】
【分析】
根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．
【详解】
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
21．720（1+x）2=845．
【解析】
【分析】
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x，根据2017年全年收入720万元，2019 解析：720（1+x）2=845．
【解析】
【分析】
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x，根据2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，即
可得出方程．
【详解】
解：设该企业全年收入的年平均增长率为x，
则2018的全年收入为：720×（1+x）
2019的全年收入为：720×（1+x）2．
那么可得方程：720（1+x）2=845．
故答案为：720（1+x）2=845．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的运用，解此类题的关键是掌握等量关系式：增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．
22．【解析】
【分析】
直接利用根与系数的关系求解．
【详解】
解：根据题意得x1+x2═
故答案为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1
解析：
1 2 -
【解析】
【分析】
直接利用根与系数的关系求解．【详解】
解：根据题意得x1+x2═
1
2 b
a
-=-
故答案为
1
2 -．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则
x1+x2=
b
a
-，x1•x2=
c
a
．
23．4
【解析】
【分析】
根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt△OBD中，OD==4．
故答案为4．
解析：4
【解析】
【分析】
根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=1
2
BC=3，
∵OB=1
2
AB=5，
∴
在Rt△OBD中，=4．
故答案为4．
【点睛】
本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．
24．【解析】
【分析】
连接OB、OC，如图，由圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.
【详解】
解：连接OB、OC，如图，
∵，
∴∠BOC=90°，
∵的长是，
∴，
解得：
解析：5 2
【解析】
【分析】
连接OB、OC，如图，由圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.
解：连接OB 、OC ，如图，
∵45BAC ∠=︒，
∴∠BOC =90°，
∵BC 的长是
54π， ∴9051804
OB ππ⋅=， 解得：52OB =
. 故答案为：52
.
【点睛】
本题考查了圆周角定理和弧长公式，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键. 25．18＜x ＜6.19
【解析】
【分析】
根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y ＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
【详解】
由表格数据可得，当x ＝6.18时，y ＝﹣0.01，当x ＝6.19
解析：18＜x ＜6.19
【解析】
【分析】
根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y ＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
【详解】
由表格数据可得，当x ＝6.18时，y ＝﹣0.01，当x ＝6.19时，y ＝0.02，
∴当y ＝0时，相应的自变量x 的取值范围为6.18＜x ＜6.19，
故答案为：6.18＜x ＜6.19．
【点睛】
本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y 由正变为负时，自变量的取值即可．
26．∠P=∠B（答案不唯一）
【解析】
【分析】
要使△APQ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P或∠C=∠Q或．
【详解】
解：这个条件
解析：∠P=∠B（答案不唯一）
【解析】
【分析】
要使△APQ∽△ABC，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可
以是∠B=∠P或∠C=∠Q或AP AQ AB AC
=．
【详解】
解：这个条件为：∠B=∠P ∵∠PAB=∠QAC，
∴∠PAQ=∠BAC
∵∠B=∠P，
∴△APQ∽△ABC，
故答案为：∠B=∠P或∠C=∠Q或AP AQ AB AC
=．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．27．【解析】
【分析】
作OH⊥AB，延长OH交于E，反向延长OH交CD于G，交于F，连接OA、OB、OC、OD，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD，又因AB∥CD，所以四边形ABCD是平行
解析：
【解析】
【分析】
作OH⊥AB，延长OH交O于E，反向延长OH交CD于G，交O于F，连接OA、OB、OC、OD，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD，又因AB∥CD，所以四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形面积公式即可得解．
【详解】
如图，作OH⊥AB，垂足为H，延长OH交O于E，反向延长OH交CD于G，交O于F，连接OA、OB、OC、OD，则OA=OB=OC=OD=OE=OF=4，
∵弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，
∴OH=HE=1
×4=2
2
，OG=GF=
1
×4=2
2
，即OH=OG，
又∵OB=OD，
∴Rt△OHB≌Rt△OGD，
∴HB=GD，
同理，可得AH=CG= HB=GD
∴AB=CD
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△OHA中，由勾股定理得：
2222
4223
OA OH
-=-=
∴AB=43
∴四边形ABCD的面积=AB×GH=434=163
故答案为：3．
【点睛】
本题考查圆中折叠的对称性及平行四边形的证明，关键是作辅助线，本题也可通过边、角关系证出四边形ABCD是矩形．
28．2+
【解析】
【分析】
设线段AB＝x，根据黄金分割点的定义可知AD＝AB，BC＝AB，再根据CD＝AB﹣AD﹣BC可列关于x的方程，解方程即可
【详解】
∵线段AB＝x，点C、D是AB黄金分割点
解析：5
【解析】
【分析】
设线段AB＝x，根据黄金分割点的定义可知AD＝35
2
AB，BC＝
35
2
AB，再根据CD
＝AB﹣AD﹣BC可列关于x的方程，解方程即可
【详解】
∵线段AB＝x，点C、D是AB黄金分割点，
∴较小线段AD＝BC x，
则CD＝AB﹣AD﹣BC＝x﹣x＝1，
解得：x＝
故答案为：
【点睛】
本题考查黄金分割的知识，解题的关键是掌握黄金分割中，较短的线段＝原线段的
35
倍．
29．140
【解析】
试题解析：：∵∠A=110°
∴∠C=180°-∠A=70°
∴∠BOD=2∠C=140°．
解析：140
【解析】
试题解析：：∵∠A=110°
∴∠C=180°-∠A=70°
∴∠BOD=2∠C=140°．
30．【解析】
【分析】
取DE的中点F，连接AF，根据直角三角形斜边中点的性质得出AF＝EF，然后证得△BAF≌△DAE，得出AE＝AF，从而证得△AEF是等边三角形，进一步证得∠ABC＝60°，即可
【解析】
【分析】
取DE的中点F，连接AF，根据直角三角形斜边中点的性质得出AF＝EF，然后证得
△BAF≌△DAE，得出AE＝AF，从而证得△AEF是等边三角形，进一步证得∠ABC＝60°，即可求得结论．
【详解】
取DE的中点F，连接AF，
∴EF ＝DF ，
∵BE ：ED ＝1：2，
∴BE ＝EF ＝DF ，
∴BF ＝DE ，
∵AB ＝AD ，
∴∠ABD ＝∠D ，
∵AD ⊥AE ，EF ＝DF ，
∴AF ＝EF ，
在△BAF 和△DAE 中
AB AD ABF D BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BAF ≌△DAE （SAS ），
∴AE ＝AF ，
∴△AEF 是等边三角形，
∴∠AED ＝60°，
∴∠D ＝30°，
∵∠ABC ＝2∠ABD ，∠ABD ＝∠D ，
∴∠ABC ＝60°，
∴cos ∠ABC ＝cos60°3 3 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
31．（1）(30-x );10x ；（2）每件商品降价10元时，商场日盈利最大，最大值是4000元.
【解析】
【分析】
（1）降价后的盈利等于原来每件的盈利减去降低的钱数；件降价1元，超市平均每天可多售出10件，则降价x 元，超市平均每天可多售出10x 件；
（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=利润w ，化为一般式后，再配方
可得出结论．
【详解】
解：（1）降价后每件商品盈利(30-x)元；，超市日销售量增加10x 件；
（2）设每件商品降价x 元时，利润为w 元
根据题意得：w =(30-x )(100+10x )= -10x 2+200x +3000=-10(x -10)2+4000
∵-10<0，∴w 有最大值，
当x =10时，商场日盈利最大，最大值是4000元；
答：每件商品降价10元时，商场日盈利最大，最大值是4000元．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的实际应用，根据题意找出等量关系式列出利润w 关于x 的二次函数解析式是解题的关键．
32．（1）见解析；（2）1
9180,sin 22MON MPN S αα∠=︒-=△；（3）3
OP =，P
点坐标为⎝⎭或⎝⎭
【解析】
【分析】
（1）由角平分线求出∠MOP ＝∠NOP ＝
12∠AOB ＝30°，再证出∠OMP ＝∠OPN ，证明△MOP ∽△PON ，即可得出结论；
（2）由∠MPN 是∠AOB 的“相关角”，判断出△MOP ∽△PON ，得出∠OMP ＝∠OPN ，即可得出∠MPN ＝180°﹣12
α；过点M 作MH ⊥OB 于H ，由三角形的面积公式得出：S △MON ＝12
ON •MH ，即可得出结论； （3）设点C （a ，b ），则ab ＝3，过点C 作CH ⊥OA 于H ；分两种情况：①当点B 在y 轴正半轴上时；当点A 在x 轴的负半轴上时，BC ＝3CA 不可能；当点A 在x 轴的正半轴上时；先求出14CA AB =，由平行线得出△ACH ∽△ABO ，得出比例式：14CH AH AC OB OA AB ===，得出OB ，OA ，求出OA •OB ，根据∠APB 是∠AOB 的“相关角”，得出OP ，即可得出点P 的坐标；②当点B 在y 轴的负半轴上时；同①的方法即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵∠AOB ＝60°，P 为∠AOB 的平分线上一点，
∴∠AOP ＝∠BOP ＝12
∠AOB ＝30°， ∵∠MOP +∠OMP +∠MPO ＝180°，
∴∠OMP +∠MPO ＝150°，
∵∠MPN ＝150°，
∴∠MPO +∠OPN ＝150°，
∴∠OMP＝∠OPN，∴△MOP∽△PON，
∴OM OP OP ON
=，
∴OP2＝OM•ON，
∴∠MPN是∠AOB的“相关角”；
（2）解：∵∠MPN是∠AOB的“相关角”，∴OM•ON＝OP2，
∴OM OP OP ON
=，
∵P为∠AOB的平分线上一点，
∴∠MOP＝∠NOP＝1
2α，
∴△MOP∽△PON，∴∠OMP＝∠OPN，
∴∠MPN＝∠OPN+∠OPM＝∠OMP+∠OPM＝180°﹣1
2α，
即∠MPN＝180°﹣1
2α；
过点M作MH⊥OB于H，如图2，
则S△MON＝1
2
ON•MH＝
1
2
ON•OM sinα＝
1
2
OP2•sinα，
∵OP＝3，
∴S△MON＝9
2
sinα；
（3）设点C（a，b），则ab＝4，
过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；
Ⅰ、当点A在x轴的负半轴上，如图3所示：
BC＝3CA不可能，
Ⅱ、当点A在x轴的正半轴上时，如图4所示：
∵BC＝3CA，
∴
1
4 CA
AB
=，
∵CH//OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴
1
4 CH AH AC
OB OA AB
===，
∴
1
4 b OA a
OB OA
-
==,
∴OB＝4b，OA＝4
3 a，
∴OA•OB＝4
3
a•4b＝
16
3
ab＝
64
3
，
∵∠APB是∠AOB的“相关角”，∴OP2＝OA•OB，
∴
6483
3
OP OA OB
⋅
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：
4646
,
⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
；
②当点B在y轴的负半轴上时，如图5所示：
∵BC＝3CA，
∴AB＝2CA，
∴
1
2 CA
AB
=，
∵CH//OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴
1
2 CH AH AC
OB OA AB
===，
∴
1
2 b a OA OB OA
-
==
∴OB＝2b，OA＝2
3 a，
∴OA•OB＝2
3
a•2b＝
4
3
ab＝
16
3
，
∵∠APB是∠AOB的“相关角”，∴OP2＝OA•OB，
∴
1643
3
OP OA OB
⋅=
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：
2626
⎝⎭
；
综上所述：点P的坐标为：
4646
⎝⎭或
2626
⎝⎭
．
【点睛】
本题考查反比例函数与几何综合，掌握数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
33．（1）x1＝4，x2＝﹣6；（2）x1＝，x2＝2
【解析】
【分析】
（1）利用直接开平方法解出方程；
（2）先求出一元二次方程的判别式，再解出方程．
【详解】
解：（1）（x+1）2﹣25＝0，
（x+1）2＝25，
x+1＝±5，
x＝±5﹣1，
x1＝4，x2＝﹣6；
（2）x2﹣4x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，
∴x＝，
即x1＝，x2＝2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式是解题关键．
34．（1）1
4
；（2）
1
6
【解析】
【分析】
（1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式解答即可；
（2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
【详解】
解：（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，
则他选中《九章算术》的概率为1
4
．
故答案为1
4
；
（2）将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M．
方法一：用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果：
A BA CA DA B
AB CB DB C
AC BC DC D AD BD CD
12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件M 的结果有2种，即DB ，BD ，
∴P （M ）＝21=126
． 方法二：根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件M 的结果有2种，即BD ，DB ，
∴P （M ）＝
21=126． 故答案为：
16. 【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
35．（1）B BAC DC >∠∠；理由详见解析；（2）BDC BAC ∠>∠；理由详见解析；（3）()10,2P ， ()30,2P -
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，构建圆周角，然后利用三角形外角性质比较即可；
（2）根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，构建圆周角，然后利用三角形外角性质比较即可；
（3）根据圆周角定理，结合（1）（2）的结论首先确定圆心的位置，然后即可得出点P 的坐标.
【详解】
（1）CD 交O 于点E ，连接BE ，如图所示：
BDE ∆中BEC BDC ∠>∠
又BAC BEC ∠=∠
∴B BAC DC >∠∠
（2）延长CD 交O 于点F ，连接BF ，如图所示：
BDF ∆中BDC BFC ∠>∠
又BFC BAC ∠=∠
∴BDC BAC ∠>∠
（3）由（1）（2）结论可知，当OP=2.5时，∠MPN 最大，如图所示：
∴OM=2.5，MH=1.5 ∴()()2222 2.5 1.52OH OM MH =-=
-=
∴()10,2P ，()20,2P -
【点睛】
本题考查了圆周角定理、三角形的外角性质的综合应用，熟练掌握，即可解题.
四、压轴题
36．（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ≅△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题； （2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ∆∆=，AFO CFO S S ∆∆=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ADF CDF S S ∆∆=；
【详解】
解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=︒，
∴当PBM PCN ≅△△时，有BM NC =，即5t t -=①
5 1.54t at -=-②
由①②可得 1.1a =， 2.5t =．
当MBP PCN ≅△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③
54t at -=-④，
由③④可得0.5a =，2t =．
综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与PCN △全等；
②AP BD ⊥，
90BEP ∴∠=︒，
90APB CBD ∴∠+∠=︒，
90ABC ∠=︒，
90APB BAP ∴∠+∠=︒，
BAP CBD ∴∠=∠，
在ABP △和BCD 中，
BAP CBD AB BC
ABC BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ABP BCD ASA ∴≅△△，
BP CD ∴=，
即54t -=，
1t ∴=；
（2）当38a =，83
t =时，1DN at ==，而4CD =， DN CD ∴<，
∴点N 在点C 、D 之间，。