菱形正方形的性质与判断

矩形、菱形、正方形 菱形的性质及判定
板块一、菱形的性质
如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，
证明：与互相平分．
E ABCD AD E
F AC H CB F AB P AB EF 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质， 还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且四边相等． 角的性质：邻角互补，对角相等．
对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．
菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．
点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定
判定 ：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
P
H F
E
D
C B
A
☆菱形的周长为，两邻角度数之比为，则菱形较短的对角线的长度为
如图3，在菱形中，，、分别是边和的中点，
于点，则（）
A ．
B ．
C ．
D ．
☆已知菱形的两条对角线的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是
已知，菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数．
板块二、菱形的判定
☆如图，在中，平分，的中垂线交于点，交于点，求证：四边形是菱形
20cm 2:1ABCD 110A ∠=︒E F AB BC EP CD ⊥P FPC ∠=35︒45︒50︒55︒ABCD AC BD ，ABCD E F BC CD AE AF EF AB ===C ∠F
E
D
C
B
A
ABC ∆BD ABC ∠BD AB E BC F BEDF 图3E D P
C F B
A
如图，在梯形纸片中，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，连结.求证：四边形是菱形．
（辽宁）如图，已知△ABC 的面积为3，且AB=AC ，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EFA．
（1）求△ABC 所扫过的图形的面积； （2）试判断AF 与BE 的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BEC=15°，求AC 的长．
F
E
D
C
B
A
ABCD //AD BC AD CD >D C AD C DE BC E C E 'CDC E 'C'
D
C
B A E
巩固练习
一、选择题
1、（天津）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（）
A、矩形
B、菱形
C、正方形
D、梯形
2、能判定一个四边形是菱形的条件是（）
A、对角线相等且互相垂直
B、对角线相等且互相平分
C、对角线互相垂直
D、对角线互相垂直平分
3、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（）
A、平行四边形
B、矩形
C、菱形
D、正方形
4、（梅州）如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四
边形OACB（）
A、是正方形
B、是长方形
C、是菱形
D、以上答案都不对
二、解答题
5.（贵阳）如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
6、如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．
（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）
（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；
矩形、菱形、正方形 正方形的性质及判定
1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ①边的性质：对边平行，四条边都相等． ②角的性质：四个角都是直角．
③对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．
④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图
形．
平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）
3．正方形的判定
判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．
正方形的性质
例1、在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE=CA,连接
AE
例题精讲 知识点睛 正方形菱形矩形平行四边形
交CD于F，求的度数。

例2：如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE.求证：AE⊥EG.
对比练习：
例2：如上图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使AE⊥EG.求证：EG=AE.
例3、P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数.
AFD
例4、（海南省）如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB . （1）求证：①PE=PD ；②PE ⊥PD ；
（2）设AP =x ,△PBE 的面积为y .求出y 关于x 的函数关系式，并写出
x 的取值范围；
例7.☆如图，四边形为正方形，以为边向正方形外
作等边三角形，与相交于点，则
正方形的判定
例1：（淄博）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，
AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，（1）求证：四
边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．
ABCD AB ABE CE BD F AFD ∠=A
B
C
P
D
E
F
E
D
C
B
A
例2、如图，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：EO=FO
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.
例3.如图，在正方形中，、分别是、的中点，求证：．
ABCD E F AB BC AM AD
A
M
N
E
M
F
E
D
C
B
A
课后练习
一、选择题
1、（大兴安岭）如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，
且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；
④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
2、在平面直角坐标系中，称横、纵坐标均为整数的点为整点，
如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（）
A、13
B、21
C、17
D、25
3、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE=BC，
连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，
若正方形ABCD的边长为1，则PM+PN=（）
A、1
B、
C、
D、1+
4、顶点为A（6，6），B（﹣4，3），C（﹣1，﹣7），D（9，﹣4）的正方形
在第一象限的面积是（）
A、25
B、36
C、49
D、30
5、矩形的四个内角平分线围成的四边形（）
A、一定是正方形
B、是矩形
C、菱形
D、只能是平行四边形
6、如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD
内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为（）
A、4
B、2
C、2
D、2
7、下列五个命题：
（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；
（2）如果a≥0，那么=a
（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限；（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．
其中不正确命题的个数是（）
A、2个
B、3个
C、4个
D、5个
8、（重庆）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，
点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能
为正方形，
③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是（）
A、①②③
B、①④⑤
C、①③④
D、③④⑤
二、填空题
9、如图，若正方体的边长为a，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积为_________ ．
10.已知正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别为边DC，
BC上的点，
BF=1cm，CE=2cm，BE，DF相交于点G，
则四边形CEGF的面积为_________ cm2．
三、解答
10、如图，正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15度．
（1）求证：DF+BE=EF；
（2）则∠EFC的度数为_________ 度；
（3）则△AEF的面积为_________ ．。