2021年高中数学第二章2.1.5平面直角坐标系中的距离公式学案北师大版必修2

1．5 平面直角坐标系中的距离公式
知识点一 两点间的距离公式
[填一填]
(1)公式：两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式|AB |＝
(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，如图所示．
(2)文字叙述：平面直角坐标系内两点间的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
[答一答]
1．两点间的距离公式中点A ，B 的位置有先后之分吗？
提示：点A ，B 的位置没有先后之分，即距离公式也可以写为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. 2．式子x 2＋y 2的几何意义是什么？
提示：x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离． 知识点二 点到直线的距离公式
[填一填]
点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2
，如图所示．
[答一答]
3．点到直线的距离公式中，直线l 的方程是哪种形式？如果是斜截式方程，如何求？
提示：在点到直线的距离公式中，直线l 的方程是一般式．若直线l 的方程为y ＝kx ＋b (斜截式)，则可化为kx －y ＋b ＝0，故P (x 1，y 1)到直线l 的距离d ＝|kx 1－y 1＋b |k 2＋1
.
4．点到直线的距离公式对于A ＝0或B ＝0或P 0在直线l 上的特殊情况是否还适用？ 提示：仍然适用．
①当A ＝0，B ≠0时，直线l 的方程为By ＋C ＝0，即y ＝－C B ，d ＝|y 0＋C B |＝|By 0＋C |
|B |，适
合公式；
②当B ＝0，A ≠0时，直线l 的方程为Ax ＋C ＝0，x ＝－C A ，d ＝|x 0＋C A |＝|Ax 0＋C |
|A |，适合
公式；
③当P 0点在直线l 上时，有Ax 0＋By 0＋C ＝0， d ＝|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2＝0，适合公式．
知识点三 两条平行直线间的距离
[填一填]
(1)定义：夹在两条平行直线间公垂线段的长叫作这两条平行直线间的距离．
(2)求法：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离公式为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2
.
特别地，若两条直线的方程为l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，那么两平行线间的距离d ＝|b 1－b 2|1＋k 2
. [答一答]
5．l 1与l 2之间的距离公式是如何推导的？
提示：在直线l 1上任取一点P (x 0，y 0)，则Ax 0＋By 0＝－C 1.点P 到直线l 2的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C 2|A 2＋B 2＝|C 1－C 2|
A 2＋
B 2
.
6．两条平行线x ＋y －1＝0,2x ＋2y ＋5＝0之间的距离是d ＝
|－1－5|
12＋12
＝32吗？
提示：不是．虽然两条平行直线的方程均为一般式方程，但是两直线方程中x ，y 的系数不满足分别相等．
所以应把两方程系数统一，即2x ＋2y ＋5＝0化为x ＋y ＋5
2＝0，再求距离d ＝|－1－52
|
12＋12
＝
72
4
.
1．点到直线的距离的几种特殊情况 (1)点P (x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|；
(2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|；
(3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝a (a ≠0)的距离d ＝|y 0－a |； (4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |. 2．对两条平行直线间的距离的理解
(1)这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点)． (2)两条平行直线间的距离是分别在两条直线上的两点间的距离的最小值． (3)在使用公式
|C 1－C 2|
A 2＋
B 2
时，必须有两个前提条件：一是两条直线的方程都是一般式；二是x ，y 的系数分别对应相等，否则必须先化为对应相等才能套用公式.
类型一 两点间的距离公式
【例1】 已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)． (1)求BC 边上的中线AM 的长； (2)求证：△ABC 为等腰直角三角形．
【思路探究】 (1)已知A 点的坐标，欲求中线AM 的长，只需求出点M 的坐标，然后利用两点间的距离公式求解即可．(2)利用两点间距离公式结合勾股定理来证明．
【解】 (1)设点M 的坐标为(x ，y )， ∵点M 为BC 的中点，∴x ＝
3＋12＝2，y ＝－3＋7
2
＝2， 即点M 的坐标为(2,2)，由两点间的距离公式得： |AM |＝(－3－2)2＋(1－2)2＝26， ∴BC 边上的中线AM 的长为26.
(2)证明：证法一：∵|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213，|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213， ∴|AC |＝|AB |，
又∵A ，B ，C 三点不共线，∴△ABC 是等腰三角形． ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB ＝－3－13－(－3)＝－2
3，
∴k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB ， ∴△ABC 是等腰直角三角形．
证法二：∵|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213， |AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213， |BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形．
规律方法 中点的坐标公式经常用到，要牢牢记住．两点间的距离公式可用来解决一些有关距离的问题，根据题目条件直接套用公式即可，要注意公式的变形应用，公式中两点的位置没有先后之分．
已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值． 解：设点P 的坐标为(x,0)，
于是|P A |＝(x ＋1)2＋(0－2)2＝x 2＋2x ＋5， |PB |＝(x －2)2＋(0－7)2＝x 2－4x ＋11.
由|P A |＝|PB |，得x 2＋2x ＋5＝x 2－4x ＋11，解得x ＝1. 所以点P 的坐标为(1,0)， 则|P A |＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2. 类型二 点到直线的距离公式
【例2】 若点(－2,2)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离为3，求c 的值． 【思路探究】 直接利用点到直线的距离公式列方程，解出c 的值． 【解】 由点(－2,2)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离为3， 得d ＝|3×(－2)＋4×2＋c |32＋42＝|2＋c |5＝3. 解得c ＝13或c ＝－17.
规律方法 熟记点到直线的距离公式，一定不要忽略分子中的绝对值符号，否则容易漏解．
求点P (3，－2)到下列直线的距离：
(1)3x －4y ＋3＝0；(2)y ＝6；(3)y 轴；(4)x 轴． 解：(1)d ＝|3×3－4×(－2)＋3|32＋(－4)2
＝205＝4.
(2)解法一：∵直线y ＝6与x 轴平行，∴d ＝|6－(－2)|＝8. 解法二：将y ＝6变形为0·x ＋y －6＝0， ∴d ＝|0×3＋(－2)－6|
02＋12＝8. (3)d ＝|3－0|＝3. (4)d ＝|－2－0|＝2.
类型三 两条平行直线间的距离
【例3】 求两条平行线l 1：6x ＋8y ＝20和l 2：3x ＋4y －15＝0的距离． 【思路探究】 由题目可获取以下主要信息： ①l 1与l 2是两定直线；②l 1∥l 2.
解答本题可先在直线l 1上任取一点A (2,1)，然后再求点A 到直线l 2的距离即为两直线的距离；或者直接应用两条平行线间的距离公式d ＝
|C 1－C 2|A 2＋B 2
.
【解】 解法一：若在直线l 1上任取一点A (2,1)，则点A 到直线l 2的距离，即为所求的平行线间的距离，
∴d ＝|3×2＋4×1－15|32＋42＝1.
如图所示．
解法二：直接应用两条平行线间的距离公式， l 1：3x ＋4y －10＝0，l 2：3x ＋4y －15＝0， ∴d ＝|－10－(－15)|32＋4
2
＝1. 规律方法 针对这个类型的题目一般有两种思路：
①利用“化归”思想将两条平行直线的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
②直接用公式d ＝|C 1－C 2|
A 2＋
B 2
，但要注意两直线方程中x ，y 的系数必须分别相同．
若两条平行直线3x －2y －1＝0与6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，求a
c ＋2的值．
解：由题意知36＝－2a ≠－1
c ，∴a ＝－4，c ≠－2，
∴6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c
2＝0，
由两条平行直线间的距离公式，得|c
2
＋1|32＋(－2)2＝21313，
解得c ＝2或c ＝－6， 当c ＝2时，
a c ＋2＝－42＋2
＝－1； 当c ＝－6时，a
c ＋2＝－4－6＋2＝1.
类型四 解析法的应用
【例4】 △ABD 和△BCE 是在直线AC 同侧的两个等边三角形，用解析法证明：|AE |＝|CD |.
【证明】 如图，以B 点为坐标原点，取AC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，
设△ABD 和△BCE 的边长分别为a 、c ，则A (－a,0)、C (c,0)、D (－a 2，32a )、E (c 2，3
2
c )，
则|AE |＝[c 2－(－a )]2＋(3
2
c －0)2 ＝
a 2＋ac ＋
c 24＋3c 2
4
＝a 2＋ac ＋c 2， |CD |＝ (－a 2－c )2＋(3
2
a －0)2 ＝
a 24＋ac ＋c 2
＋3a 2
4
＝a 2＋ac ＋c 2. ∴|AE |＝|CD |.
规律方法 解析法的步骤：①建立坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系．
△ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D ，B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |.用解析法证明：△ABC 为等腰三角形．
证明：作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)．设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)．
因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |， 所以，由距离公式可得 b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )， 即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )，
又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c ， 所以|AB |＝|AC |，即△ABC 为等腰三角形． 类型五 距离公式的应用
【例5】 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2＋x 2－4x ＋8，求f (x )的最小值，并求取得最小值时x 的值．
【解】 因为f (x )＝x 2－2x ＋2＋x 2－4x ＋8
＝(x －1)2＋(0－1)2＋(x －2)2＋(0－2)2.
它表示点P (x,0)与点A (1,1)的距离加上点P (x,0)与点B (2,2)的距离之和，即在x 轴上求一点P (x,0)，使其与点A (1,1)、B (2,2)的距离之和最小．
由图可知，转化为求两点A ′(1，－1)和B (2,2)间的距离，其距离为函数f (x )的最小值．所以f (x )的最小值为(1－2)2＋(－1－2)2＝10.
再由直线方程的两点式得A ′B 方程为3x －y －4＝0，令y ＝0，得x ＝43.
故当x ＝4
3
时，f (x )取得最小值，且最小值为10.
规律方法 将函数表达式变形为f (x )＝(x －1)2＋(0－1)2＋(x －2)2＋(0－2)2，可以看作P (x,0)到点A (1,1)与到点B (2,2)的距离之和，即在x 轴上求一点P ，使|P A |＋|PB |最小．巧用对称、数形结合，使解法直观、简捷且准确．
在函数y ＝4x 2的图像上求一点P ，使点P 到直线4x ＝y ＋5的距离最短，并求这个最短的距离．
解：直线方程可化为4x －y －5＝0，设
P (a,4a 2)，则点
P 到直线的距离为d ＝|4a －4a 2－5|
42
＋(－1)2
＝
⎪⎪⎪⎪－4⎝⎛⎭⎫a －122－417
＝
⎪⎪⎪
⎪4⎝⎛⎭⎫a －122＋417
.当a ＝1
2
时，点P ⎝⎛⎭⎫12，1到直线的距离最短，最短距离为417
17
.
——多维探究系列—— 数形结合在平行线间距离中的应用
【例6】 两条互相平行的直线分别过点A (6,2)和点B (－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d ，求：
(1)d 的变化范围；
(2)当d 取最大值时，两条直线的方程．
【思路分析】 先分别作出过A ，B 两点的两条平行直线，由于直线的其他几何要素不知道，我们发现平行直线的倾斜角不同，则两条平行直线间的距离不同，然后用函数思想与
数形结合思想去分析．
【精解详析】 (1)当两条平行直线与AB 垂直时，两平行直线间的距离最大，此时d ＝|AB |＝(6＋3)2＋(2＋1)2＝310；
当两条平行直线各自绕点A ，B 逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0<d ≤310，
即d 的变化范围是(0,310]．
(2)当d 取最大值310时，两条平行直线都垂直于AB ， 所以k ＝－1k AB ＝－1
2－(－1)
6－(－3)
＝－3.
故所求的直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.
【解后反思】 通过数形结合思想和函数思想与方法，根据题中的已知点不动，而两条平行直线可以绕点转动，我们很容易直观感受到两条平行直线间距离的变化情况，从而求出两条平行直线间的距离的范围．
求过点(3,5)的所有直线中，距原点最远的直线方程．
解：如图所示，设l 是过点A (3,5)的任意一条直线，过O 作OH ⊥l ，垂足为H ，则有|OH |≤|OA |.当H 与A 点重合时，O 点到直线l 的距离最大，
d max ＝|OA |＝32＋52＝34. 此时，直线l 与OA 垂直．
由k OA ＝53，得l 的斜率k ＝－1k OA ＝－3
5
.
所以l 的方程为y －5＝－3
5
(x －3)，即3x ＋5y －34＝0.
一、选择题
1．点(0,5)到直线y ＝2x 的距离是( D ) A.3
2 B.52 C.52
D. 5
解析：2x －y ＝0，d ＝
|0－5|22＋(－1)2
＝ 5.
2．已知点A (a,2)(a >0)到直线x －y ＋3＝0的距离为1，则a 为( C ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1
D.2＋1
解析：由|a －2＋3|
1＋1＝1，解得a ＝2－1或a ＝－2－1(舍去)．
3．经过点(－4,3)且与原点的距离等于3的直线方程是( D ) A ．3x ＋4y ＝0 B ．24x ＋7y ＋75＝0 C ．y ＝3或3x ＋4y ＝0 D ．y ＝3或24x ＋7y ＋75＝0
解析：由题可知，设直线方程为y －3＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＋3＝0. ∴|4k ＋3|
1＋k 2
＝3，解得k ＝0或－24
7.
∴所求直线方程为y ＝3或24x ＋7y ＋75＝0. 二、填空题
4．与直线7x ＋24y ＝5平行且距离等于3的直线方程是7x ＋24y －80＝0或7x ＋24y ＋70＝0.
解析：设直线方程为7x ＋24y ＋C ＝0. ∵
|C ＋5|
72＋242
＝3，∴C ＝－80或70.
∴直线方程为7x ＋24y －80＝0或7x ＋24y ＋70＝0. 三、解答题
5．在直线x ＋3y ＝0上求一点，使它到原点的距离等于它到直线x ＋3y －10＝0的距离． 解：直线x ＋3y ＝0与x ＋3y －10＝0的距离为 |0＋10|12＋32
＝10.
设所求点为(－3m ，m )，则(－3m )2＋m 2＝10. ∴m ＝±1，故所求点为(－3,1)或(3，－1)．。