吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学总复习阶段测试卷1 理

吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学总复习阶段测试卷1
理
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式： 样本数据
n
x x x ,,21的标准差 锥体体积公式
(n s x x =
++-
13V Sh
= 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式
V Sh = 2
4S R π= 3
4
3V R π=
其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合}4,3,2,1{=U ,
}05|{2=+-=p x x x M ，若}3,2{=M C U ，则实数p 的值为 A. 6- B. 4- C. 4 D. 6
2．若复数i i
a 213++（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为
A. 6-
B. 2-
C. 4
D. 6
理科数学试卷 第1页(共6页)
3．已知
}
{n a 为等差数列，若
π
=++951a a a ，则
)
cos(82a a +的值为
A.
21
-
B. 23-
C. 21
D. 23
4．已知函数,
0,)21(0,)(21
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x f x
则=-)]4([f f
A. 4-
B.
41
-
C. 4
D. 6
5．下列命题错误的是
A. 命题“若
022=+y x ，则0==y x ” 的逆否命题为“若y x ,中至少有一个不为
0，则02
2≠+y x ”；
B. 若命题
1,:02
00≤+-∈∃x x R x p ，
则
01,:2
>+-∈∀⌝x x R x p ； C. ABC ∆中，B A sin sin >是B A >的 充要条件；
D. 若向量b a ,满足0<⋅b a ，则a 与b 的夹角为钝角.
6. 执行右面的程序框图，如果输入30,72==n m ， 则输出的n 是
A. 12
B. 6
C. 3
D. 0
7. 从5,4,3,2,1中不放回地依次取2个数，事件=A “第一次取到的是奇数”，=B “第二次取到的是奇数”，则=)|(A B P
A. 51
B. 103
C. 52
D. 21
8. 函数)sin()(ϕω+=x x f （其中
2||π
ϕ<
）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，
开始
是
输出n 结束
求m 除以n 的余数r
输入m ,n
m=n
n=r r=0? 否
只需把)(x f y =的图象上所有点
A. 向右平移6π个单位长度
B. 向右平移12π
个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向左平移12π
个单位长度
9． 曲线c bx x y ++=2
在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为
]4,0[π
，则点P 到该曲线对称轴距离的取值范围为
A. ]1,0[
B.
]21,0[ C. ]2||,0[b D. ]
2|
1|,0[-b 10. 若圆
2221:240,()
C x y ax a a R +++-=∈与圆
2222:210,()
C x y by b b R +--+=∈外切，则a b +的最大值为
A. 23-
B. 3-
C. 3
D. 23
11．若不重合的四点C B A P ,,,，满足0PA PB PC ++=，AB AC mAP +=，则实数m 的值为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
12. 函数)(x f y =的最小正周期为2，且)()(x f x f =-．当]1,0[∈x 时，1)(+-=x x f ，
那么在区间]4,3[-上，函数)(x f y =的图像与函数
|
|)21
(x y =的图像的交点个数是 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 与抛物线
x y 82=有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5||=PF ，则双曲线方程为 ．
E
D
C
B
A
14．设等比数列}
{n a 的前n 项之和为
n
S ，已知20111=a ，
且
)
(0221•++∈=++N n a a a n n n ，则
=
2012S ．
15．已知不等式组
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥≤a x x y x y 表示的平面区域S 的面积为4，点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的
最大值为 .
16. 一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几 何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表 面积是 .
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）
如图，AB 是底部B 不可到达的一个塔型建筑物，A 为塔的最高点．现需在对岸测出塔高AB ，甲、乙两同学各提出了一种测量方法，甲同学的方法是：选与塔底B 在同一水平面内的一条基线CD ，使B D C ,,三点不在同一
条直线上，测出DCB ∠及CDB ∠的大小（分别 用βα,表示测得的数据）以及D C ,间的距离（用
s 表示测得的数据），另外需在点C 测得塔顶A 的
仰角（用θ表示测量的数据），就可以求得塔高
AB ．乙同学的方法是：选一条水平基线EF ，使
B F E ,,三点在同一条直线上．在F E ,处分别测得
塔顶A 的仰角（分别用βα,表示测得的数据）以
及F E ,间的距离（用s 表示测得的数据），就可以求得塔高AB ．
请从甲或乙的想法中选出一种测量方法，写出你的选择并按如下要求完成测量计算：①画出
测量示意图；②用所叙述的相应字母表示测量数据，画图时B D C ,,按顺时针方向标注，
F E ，按从左到右的方向标注；③求塔高AB ． 18．（本小题满分12分）
y x
N M
E
B
A
O
如图，四边形DCBE 为直角梯形，
90=∠DCB ，
CB DE //，2,1==BC DE ，又1=AC ， 120=∠ACB ， AB CD ⊥，直线AE 与直线CD 所成角为 60．
（Ⅰ）求证：平面⊥ACD 平面ABC ； （Ⅱ）求BE 与平面ACE 所成角的正弦值． 19．（本小题满分12分）
现有B A ,两个项目，投资A 项目100万元，一年后获得的利润为随机变量1X （万元），根据市场分析，1X 的分布列为： X1 12 11.8 11.7 P 61
21
31
投资B 项目100万元，一年后获得的利润2X (万元)与B 项目产品价格的调整(价格上调或下调)有关, 已知B 项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，且在每次调整中价格下调的概率都是)10(<≤p p .
20．（本小题满分12分）
如图椭圆1
34:2
2=+y x C 的右顶点是A ，上下两个顶点分别为D B ,，四边形OANB 是矩形
（O 为原点），点M E ,分别为线段AN OA ,的中点．
F E
D
C
B
A
（Ⅰ）证明：直线DE 与直线BM 的交点 在椭圆C 上；
（Ⅱ）若过点E 的直线交椭圆于S R ,两点，K 为R 关于x 轴的对称点（E K R ,,不共线）， 问：直线KS 是否经过x 轴上一定点，如果是， 求这个定点的坐标，如果不是，说明理由． 21．（本小题满分12分）
设函数
a ae x x f x
-++=-)1ln()(，R a ∈． （Ⅰ）当1=a 时，证明)(x f 在),0(+∞是增函数； （Ⅱ）若),0[+∞∈x ，0)(≥x f ，求a 的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．
如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，
BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在
BA 的延长线上．
（Ⅰ）若21,31=
=EA ED EB EC ，求AB DC
的值；
（Ⅱ）若FB FA EF ⋅=2
，证明：CD EF //．
23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．
在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨
⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O
为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已
知曲线1C 上的点
)23,
1(M 对应的参数3πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点)3,1(π
D ．
（I ）求曲线1C ，2C 的方程；
（II ）若点),(1θρA ，)2,(2π
θρ+
B 在曲线1
C 上，求22
21
1
1
ρρ+
的值．
24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． 设不等式1|12|<-x 的解集是M ，M b a ∈,． （I ）试比较1+ab 与b a +的大小；
（II ）设max 表示数集A 的最大数．
⎭⎬
⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=b ab b
a a h 2,,2max 22,求证：2≥h ．
答案参考：
一、1. C 2.A 3.A 4.C 5.D 6.B 7.D 8.A 9.B 10.D 11.B 12.C 二、13. x2-y2/3=1; 14 .0; 15. 6; 16. 16π 三、选甲：示意图1
图1 ----------4分
在BCD △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin BC CD
BDC CBD =
∠∠．
所以
sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD β
αβ∠=
=
∠+·．
在ABC Rt ∆中，)sin(sin tan tan βαβ
θ+⋅=
∠=s ACB BC AB ．---------12分
选乙：图2
图2----------4分
在AEF ∆中，αβ-=∠EAF ，由正弦定理得ααβsin )sin(AF
EF =
-，
所以
)sin(sin )sin(sin αβα
αβα-⋅=
-⋅=
s EF AF ．
在ABF Rt ∆中，
)sin(sin sin sin αββ
αβ-⋅⋅=
⋅=s AF AB ．---------12分
由直线AE 与直线CD 所成角为
60，得
60cos ||||CD AE CD AE =⋅，即
3222+=
a a
a ，解得1=a ．
∴)1,1,0(=CE ，
)0,21
,23(
-=CA ，)1,1,0(-=BE ，
设平面ACE 的一个法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
CE CA n n ，
即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-002123z y y x ，取,3=
x 则3,3-==z y ，得)3,3,3(n -=，
设BE 与平面ACE 所成角为θ，则7
42
|
n |||sin =
=
BE θ，于是BE 与平面ACE 所成角的正
弦值为742
．---------12分
19．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）1X 的概率分布为
则
8.1131
7.11218.116112)(1=⨯+⨯+⨯
=X E .
01.031
)8.117.11(21)8.118.11(61)8.1112()(2221=⨯-+⨯-+⨯
-=X D .
---------4分
（Ⅱ）解法1: 由题设得),2(~p B X ,则X 的概率分布为
故2X 的概率分布为
---------8分 解法2: 设
i
A 表示事件”第i 次调整,价格下调”()2,1=i ,则
)0(=X P = 2
12()()(1)P A P A p =-;
)1(=X P =1212()()()()2(1)P A P A P A P A p p +=-;
)2(=X P =2
12()()P A P A p =
故2X 的概率分布为
（Ⅲ）当3.0=p 时. 8.11)()(12==X E X E ,
由于01.0)(1=X D . 555.9)(2=X D .
所以)()(12X D X D >,当投资两个项目的利润均值相同的情况下,投资B 项目的风险高于A 项目.从获得稳定收益考虑, 当3.0=p 时应投资A 项目. ---------12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）由题意，得)23,
2(),0,1(),3,0(),3,0(),0,2(M E D B A -，
所以直线DE 的方程33-=x y ，直线BM 的方程为343+-=x y ，------2分
由⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=34333x y x y ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==53358y x ， 所以直线DE 与直线BM 的交点坐标为)
533,58(，---------------4分
因为13)533(4)58(22=+，所以点)533,58(在椭圆134:22=+y x C 上．---------6分
（2）设RS 的方程为)1(-=x k y ，代入134:2
2=+y x C ，
得
01248)43(2222=-+-+k x k x k ， 设),(),,(2211y x S y x R ，则),(11y x K -，
2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+， 直线SK 的方程为)(212122x x x x y y y y --+=-，
令,0=y 得121221y y x y x y x ++=，
将)1(11-=x k y ，)1(22-=x k y 代入上式得
（9设42)(2212121=-++-=
x x x x x x x ，
所以直线SK 经过x 轴上的点)0,4(．---------12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）)1()1(11)('
x e x a e e a x x f x x x ++-=-+=， 当1=a 时, )1()1()('
x e x e x f x x ++-=, ---------2分 令x e x g x --=1)(，则
1)('-=x e x g ， 当),0(+∞∈x 时，
01)('>-=x e x g ，所以)(x g 在),0(+∞为增函数， 因此),0(+∞∈x 时，0)0()(=>g x g ，所以当),0(+∞∈x 时，0)('>x f ，
则)(x f 在),0(+∞是增函数. ---------6分
(2)由)1()1()('
x e x a e x f x x ++-=, 由(1)知,
,1x e x +≥当且仅当0=x 等号成立. 故)1()1)(1()1()1(1)('x e x a x e x a x x f x x ++-=++-+≥
,
从而当01≥-a ,即1≤a 时,
对),0[+∞∈x ,0)('≥x f ,
于是对),0[+∞∈∀x 0)0()(=≥f x f .
由),0(1≠+>x x e x 得
)0(1≠->-x x e x , 从而当1>a 时,
)
1())(()1(2)1()(22222'
x e a a a e a a a e x e a ae e x e a ae a e x f x x x x x x x x x +----+-=++-=+-+-<- 故当))ln(,0(2a a a x -+∈时,0)('<x f , 于是当
))ln(,0(2a a a x -+∈时,0)0()(=<f x f , 综上, a 的取值范围是]1,(-∞.---------12分
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．
F
E D C
B
A
证明：（1） D C B A ,,,四点共圆，
∴EBF EDC ∠=∠，
又 AEB CED ∠=∠，
∴CED ∆∽AEB ∆，
AB DC EB ED EA EC ==∴
， 21,31==EA ED EB EC ， ∴66=AB
DC ． （2） FB FA EF ⋅=2
，
∴ FE FB FA EF =
，
又 BFE EFA ∠=∠，
∴FAE ∆∽FEB ∆，
∴EBF FEA ∠=∠，
又 D C B A ,,,四点共圆，
∴EBF EDC ∠=∠，
∴EDC FEA ∠=∠，
∴CD EF //.
23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．
解：（I ）将
)23,1(M 及对应的参数3πϕ=，代入⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3sin 233cos 1ππb a ， 即⎩
⎨⎧==12b a ， 所以曲线1C 的方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数），或1422
=+y x .
设圆2C 的半径为R ,由题意,圆2C 的方程为θρcos 2R =,(或222)(R y R x =+-). 将点)3,1(π
D 代入θρcos 2R =, 得3cos
21πR =,即1=R .
(或由)3,1(πD ,得)23,21(D ,代入222)(R y R x =+-,得1=R ),
所以曲线2C 的方程为θρcos 2=,或
1)1(22=+-y x .
（II）因为点
)
,
(
1
θ
ρ
A，
)
2
,
(
2
π
θ
ρ+
B
在在曲线1
C上,
所以
1
sin
4
cos
2
2
1
2
2
1=
+θ
ρ
θ
ρ
,
1
cos
4
sin
2
2
2
2
2
2=
+θ
ρ
θ
ρ
,
所以
4
5
)
cos
4
sin
(
)
sin
4
cos
(
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
=
+
+
+
=
+θ
θ
θ
θ
ρ
ρ
.。