位移法

这里主要是介绍的位移法求解超静定结构的基
本过程与方法，具体的计算后面给出。 值得指出的是： 在确定结构的基本未知量之前引入假设：对于受 弯杆件，忽略轴向变形和剪切变形的影响。
20
§7-2 等截面直杆的刚度方程
位移法计算的基础是：单跨超静定梁具有支座
移动和外荷载作用时的杆端力的计算。 位移法将整体结构拆成的杆件不外乎三种“单 跨超静定梁”：两端固定梁；一端固定、一端简支 梁；一端固定、一端滑动梁。 用到的数据是：形常数和载常数。 (1) 已知杆端位移求杆端弯矩——形常数；
A
B
A
l
ql 2 8
l/2
M
F AB
l/2
M
F AB
3FP l 16
31
3、 一端固定、一端滑动支座的梁
q
ql 2 3 A
l
M
M
F AB
FPl 2
FP B
B ql 2 6
A
l
F M AB
FPl 2
FP l 2
ql 2 3
ql 2 6
F BA
M
Hale Waihona Puke F BAFP l 2
各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表。
32
表7-1 等截面杆件的固端弯矩和固端剪力
EI 1、两端固定梁 i l EI A B
M AB 4i A M BA 2i A
A

A
i
A
B
l
MAB
B
MBA
M AB 2i B M BA 4i B
A
EI
i
MAB
B
MBA
B
A
A
B
l
B

A
i
6i l
B

24
M AB M BA
由上图可得： M AB 4i A 2i B 6i l 6i M BA 2i A 4i B l
E
5
独立的结点线位移数的确定方法：
将所有的刚结点变成铰后，若有线位移则体系几
何可变，通过增加链杆的方法使体系变成无多余约
束的几何不变体系(静定结构)时，需要增加的链杆数
就是独立的线位移数。 附加链杆
(a) D A E B F C (b) D A
附加转动约束
E F
B
C
确定角位移图
确定线位移图
6
n=2(D、F)+1(D、E、F点的水平侧移F)=3
位移法与力法一样，求解的第一步就要是确定
结构的基本未知量。
4
基本未知量的确定：
基本未知量数目n=结点角位移（θ）数+独立的 结点线位移（△）数 结点角位移数=结构的刚结点数(容易确定) 附加转动 约束：只 阻止结点 的转动， 不阻止结 点的线位 移。
A
B
C
D
B C
B C A B C
B
A
D
B C
变形协调条件。再利用结点A及结构AC杆的平衡条
件，即可得到位移法的两个基本方程。基本方程是 用结点位移表示的平衡方程。
M AB M AC 0
6i ql 2 3FP l 7i A 0 l 12 16 （a）
FQAB
A
MAC MAB FP MAB
18
x 0
FQAB 0
第七章 位移法
§7-1 §7-2 §7-3 §7-4 §7-5 §7-6 位移法基本概念 等截面直杆的刚度方程 无侧移刚架和有侧移刚架的计算 剪力分配法 对称结构的计算 支座移动、温度变化及具有弹簧支座 结构的计算
1
位移法与力法一样，是计算超静定结构的一种方 法，它比力法有更大的优越性。位移法也可用来解静 定结构，也就是说位移法比力法具有更大的通用性。 矩阵位移法：随计算机的发展而形成的；
22
2、结点转角 结点转角以顺时针方向为正，逆时针方向为负。 FP A D B C
B( )
C( )
3、杆件两端相对侧移 杆件两端相对侧移△的正负号与弦转角β 的正负 号一致。而β以顺时针方向为正，逆时针方向为负。 A
l
B

A
l
B
23
二、等截面直杆的刚度方程（形常数）
可写成：
M AB 4i 2i 6i A l B M 2i 4i 6i BA l
上式就是两端固定梁的刚度方程。 式中系数4i、2i、6i/l 称为刚度系数，即产生单 位杆端位移所需施加的杆端力矩。
(b)
B FQBA
MBA
（3）求基本未知量A、
联立求解方程(a)和(b)即可获得结点位移A、 。
位移法求解的关键就是求得结点位移。结点位移 一旦求出，余下的问题就是杆件的计算问题。
19
3、作弯矩图。
（1）将求得的 A 、 代入杆端弯矩表达式，可 求出杆端弯矩的值。 （2）根据杆端弯矩的值，利用与静定结构作弯 矩图的相同方法可获得超静定结构的弯矩图。
M BA i A
27
4、 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同，则 相应的杆端力也相同。
EI MBA A i l
MAB MAB
1) A
B

A
EI MBA A i l
B
M AB
6i 4i A l
M BA
6i 2i A l
28
2)

MAB EI A i l
ql 2 B ( ) 48i
14
7、求杆端弯矩作弯矩图 将求得的 B代入杆端弯矩表达式得到：
ql 2 ql 2 M BA 3i B 3i 48i 16 2 2 2 2 ql ql ql ql M BC 3i B 8 16 8 16
ql 2 16
A
(2) 已知荷载作用时求固端弯矩——载常数。
21
一、符号规则
1、杆端弯矩 规定杆端弯矩顺时针方向 为正，逆时针方向为负。 杆端弯矩的双重身份：
B
C
MBC
MBA
MCB
A
1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时针 方向为正，逆时针方向为负。
2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内力，
弯矩图仍画在受拉边。
B
C
3ql 2 32
M图
15
示例2：作图a示刚架的弯矩图。 主要介绍位移法的 解题途径。 1、确定基本未知量
q
A
EI、l B
FP
EI、l
C
(a) FP C
A、 A=
2、设法求出A、
方法：把结构拆成 杆件（图b、c） (1) 杆件分析：就是杆 件在已知端点位移和已知 荷载作用下的计算问题。
(a) D D A
C
C
E E
(b) D
C
D
A
E E B
B
确定角位移图
确定线位移图
n=3(C、D、 E)+2(D、E点的水平侧移D、E)=5
(a) B C D E 确定角位移图
D
(b) F G
B
C C D
F
D
A
A
E
G
确定线位移图
7
n=1(D)+2(C、F点的水平侧移C、F)=3
第二步：结构分析 找出结构的结点力与结点
位移之间的关系。即：建立结构的位移法基本方程。
3
位移法的实施过程，是把复杂结构的计算问题转 变为简单杆件的分析与综合的问题。 杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是 位移法基本方程的基础。所以位移法又称为刚度法。
二、基本未知量
力法：力法的基本未知量是多余未知力； 位移法：位移法的基本未知量是结构的结点位 移(角位移和线位移)。
12
q A B
q
B 0
F M BA 0
C B
F M BC
F M BC
C
ql 2 8
3、令B结点产生转角 的单跨超静定梁。 A i A i
B(
) 。
此时AB、BC杆类似于B端为固端且产生转角
B i
B
B
B B
C
i
i
3i B
B
EI l
B 3i B
C
13
4、杆端弯矩表达式（两种情况叠加）
A q B
A
A
变形图
(b) A q
A
B C
MAB
(c)
A
MAC
A
FP
16
得到的是杆件的刚度方程。此时，可以获得各杆端弯 矩的表达式。 ① AB杆的计算条件是：B端固定，A端有已知位 移A、 ，并承受已知荷载q的作用。
M AB 6i ql 2 4i A l 12
1、两端固定梁 q
ql 12 A
ql 2 24 l
M
F AB
2
ql 12 B
2
FPl 8 A
l/2
FP F l 8 P B
FPl 8
M
l/2
FP l 8
30
M
F BA
ql 2 12
M
F AB
F BA
2、一端固定、一端辊轴支座的梁
q
ql 8
2
ql 2 16
3FPl 16
FP B
5FPl 32
角、线位移）的影响，如下图示。
10
q A
M
F AB
q
B
ql 2 8
A
F M AB
B
ql 2 F M BA 12