2018届高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式学

第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2
α＝1，sin αcos α
＝tan α.
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π
2
±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
知识点一 同角三角函数基本关系式
1．平方关系：sin 2
α＋cos 2
α＝1，其等价形式为：sin 2
α＝1－cos 2
α，cos 2
α＝________. 2．商数关系：__________，其等价形式为：sin α＝____________，cos α＝
sin α
tan α
. 答案
1．1－sin 2
α 2.
sin α
cos α
＝tan α cos αtan α
1．已知cos α＝12
13，且α是第四象限角，则sin α的值为________．
解析：由于α是第四象限角，故sin α＝－1－cos 2
α＝－513.
答案：－5
13
2．已知sin α－2cos α
3sin α＋5cos α
＝－5，那么tan α的值为________．
解析：由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，知cos α≠0，分子分母同时除以cos α可得tan α－2
3tan α＋5
＝
－5，解得tan α＝－23
16
.
- 2 -
答案：－23
16
3．(2016·新课标全国卷Ⅲ)若tan α＝34
，则cos 2
α＋2sin 2α＝( )
A .6425
B .4825
C ．1
D.1625
解析：通性通法：由
tan α＝sin αcos α＝3
4，cos 2
α＋sin 2
α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＝3
5cos α＝4
5
或
⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＝－3
5，cos α＝－45
，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2
α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425
.
光速解法：cos 2
α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2
α＝1＋31＋
916
＝64
25
. 答案：A
知识点二 六组诱导公式
－sin α cos α cos α －sin α －tan α
4．计算sin 10π3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π4＋tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13π3＝________.
解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋4π3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋3π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3－2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π－π4－tan π3＝－sin π3＋2cos π4－3＝－332＋1.
答案：－332
＋1
5．已知tan α＝3，π<α<3
2
π，则cos α－sin α＝________.
解析：∵tan α＝3，π<α<32π，∴α＝43π，∴cos α－sin α＝cos 43π－sin 43π＝－cos
π
3＋sin π3＝－12＋32＝3－1
2
.
答案：
3－1
2
热点一 同角三角函数基本关系式的应用 考向1 运用公式直接求值 【例1】 (1)若sin α＝－5
13
，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125 B ．－125
C.512
D ．－512
(2)sin 2
1°＋sin 2
2°＋…＋sin 2
89°＝________. 【解析】 (1)因为α为第四象限的角， 故cos α＝1－sin 2
α＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213
， 所以tan α＝sin αcos α＝－5131213
＝－5
12
.选D.
(2)原式＝(sin 2
1°＋sin 2
89°)＋(sin 2
2°＋sin 2
88°)＋…＋(sin 2
44°＋sin 2
46°)＋sin 245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 2
44°)＋12＝1＋1
＋1＋ (144)
＋12＝4412.故填441
2
.
- 4 -
【答案】 (1)D (2)441
2
考向2 关于sin α，cos α的齐次式问题
【例2】 若tan α＝－43，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝________，sin 2
α＋2sin αcos α＝
________.
【解析】
sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2
＝－43－45×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43＋2
＝8
7.
sin 2
α＋2sin αcos α＝sin 2
α＋2sin αcos α
sin 2α＋cos 2
α
＝tan 2
α＋2tan α1＋tan 2
α＝169－831＋
169＝－8
25
. 【答案】 87 －8
25
(1)已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( )
A ．－1－k 2
B.1－k 2
C ．±1－k 2
D ．－k
(2)已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( )
A.
22 B. 2
C ．－22
D ．－ 2
解析：(1)由cos α＝k ，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，得sin α＝1－k 2，所以sin(π＋α)＝－sin α
＝－1－k 2
，故选A.
(2)因为sin α＋2cos α＝3， 所以(sin α＋2cos α)2
＝3.
所以sin 2
α＋22sin αcos α＋2cos 2
α＝3. 所以sin 2
α＋22sin αcos α＋2cos 2
α
sin 2α＋cos 2
α＝3. 所以tan 2α＋22tan α＋2tan 2
α＋1
＝3. 所以2tan 2α－22tan α＋1＝0.所以tan α＝22
. 答案：(1)A (2)A 热点二 诱导公式的应用 考向1 利用诱导公式求值 【例3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) A ．－25
B ．－15
C.15
D.25
(2)已知A ＝
k π＋α
sin α
＋
k π＋α
cos α
(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( ) A ．{1，－1,2，－2} B ．{－1,1}
C ．{2，－2}
D ．{1，－1,0,2，－2}
【解析】 (1)sin ⎝
⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.
(2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos α
cos α
＝2；
k 为奇数时，A ＝
－sin αsin α－cos α
cos α
＝－2. 【答案】 (1)C (2)C 考向2 巧用“角”间关系求值
- 6 -
【例4】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
6
＋α
＝
________.
(2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫56π＋α＝________.
【解析】 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π
2，
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝1
2
.
(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫5π6＋α＝π， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.
【答案】 (1)12 (2)－3
3
(1)计算：
π＋α
π＋α
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
α－3π2－α－3π
－3π－α
＝________.
(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6－α的值为________．
解析：(1)原式＝tan αcos αcos α
－cos αsin α＝－1.
(2)cos ⎝
⎛⎭⎪⎫5π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α
＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝－33.
答案：(1)－1 (2)－
33
热点三 sin α±cos α与sin αcos α的关系
【例5】 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝1
5.
(1)求tan α的值；
(2)把1
cos 2α－sin 2
α用tan α表示出来，并求其值． 【解】 (1)解法1：联立方程 ⎩⎪⎨
⎪⎧
sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②
由①得cos α＝1
5
－sin α，
将其代入②，整理得25sin 2
α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形内角， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＝4
5，cos α＝－3
5
，∴tan α＝－4
3
.
解法2：∵sin α＋cos α＝1
5
，
∴(sin α＋cos α)2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，
∴2sin αcos α＝－24
25
，
∴(sin α－cos α)2
＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.
∵sin αcos α＝－12
25<0且0<α<π，
∴sin α>0，cos α<0，sin α－cos α>0. ∴sin α－cos α＝7
5
.
- 8 -
由⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＋cos α＝1
5，sin α－cos α＝7
5，得⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＝4
5，cos α＝－3
5
，
∴tan α＝－43
.
(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2
α＋cos 2
α
cos 2α－sin 2
α ＝sin 2
α＋cos 2
α
cos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α
＝tan 2α＋11－tan 2
α
. ∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2
α＋1
1－tan 2
α
＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－432＋1
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－432
＝－257.
求解此类问题的关键是：通过平方关系，对称式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos αt 2－1
已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝1
5
，则sin x －cos x ＝____.
解析：将等式sin x ＋cos x ＝15两边平方，得sin 2x ＋2sin x ·cos x ＋cos 2
x ＝125，即2sin x cos x
＝－2425，∴(sin x －cos x )2
＝1－2sin x cos x ＝4925.又－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0，
故sin x －cos x ＝－75
.
答案：－7
5
“a sin θ＋b cos θ＝m ”型化简、求值方法
已知a sin θ＋b cos θ＝m (其中a ，b ，m 为常数)，求sin θ，cos θ，tan θ等值时，有如下思路：
(1)若a ＝1，b ＝±1，则利用以下三个关系式：(sin θ＋cos θ)2
＝1＋2sin θcos θ，(sin θ－cos θ)2
＝1－2sin θcos θ，(sin θ＋cos θ)2
＋(sin θ－cos θ)2＝2，可得a sin θ－b cos θ的值，然后解方程组得结论．
(2)直接解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
a sin θ＋
b cos θ＝m ，sin 2θ＋cos 2
θ＝1，
得结论．
(3)构造“对偶式”b sin θ－a cos θ＝x ，两式平方并相加求得x ，然后解方程组得结论． (4)把等式平方，逆用cos 2
θ＋sin 2
θ＝1，化为cos θ，sin θ的齐次式，利用“弦化切”，得tan θ，再求sin θ，cos θ.
【例】 已知3sin α＋4cos α＝5，求tan α.
【解】 解法1：由题意得3sin α＝5－4cos α，两边平方，得9sin 2
α＝25－40cos α＋16cos 2α，则25cos 2
α－40cos α＋16＝0，解得cos α＝45，则sin α＝35，故tan α＝34
.
解法2：把等式两边平方，整理得9sin 2
α＋24sin αcos α＋16cos 2
α＝25(sin 2
α＋cos 2α)，两边同时除以cos 2α，整理得16tan 2
α－24tan α＋9＝0，解得tan α＝34
.
解法3：设4sin α－3cos α＝x ，则x 2
＋25＝(4sin α－3cos α)2
＋(3sin α＋4cos α)2
＝25，从而有x ＝0，则tan α＝3
4
.
解法4：因为3sin α＋4cos α＝5sin(α＋φ)，其中cos φ＝35，sin φ＝4
5，所以sin(α
＋φ)＝1，则α＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，则sin α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k π＋π2－φ＝cos φ＝35，cos α＝
- 10 -
cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k π＋π2－φ＝sin φ＝45，故tan α＝34.。