《学案与测评》2011年高考数学总复习 第九单元第五节 曲线与方程精品课件 苏教版

∴ y1y2kx1x24k4
∵四边形OAMB为平行四边形,
∴
4 k 1
x x1 x2
k2
y
y1
y2
4 k
消去k，得 y224x1
∴点M的轨迹方程为 y224x1
错解分析 直线l与抛物线交于不同的两点A、B,那么l的斜率一定存在且受 有两个交点的限制，故应由此确定k的取值范围，错解中无视了k的取值 范围，导致错误.
,
2
)
2
x
2 ，即
y
2 2
y0Biblioteka yy0 (1 2)y
x02y02(1 2)2
所以
2
122x (1 2)y2(1 2)2
化简得
x2
,故点P的轨迹方程为
y2 1
2
x2 y2 1 2
第八页，编辑于星期五：四点 三十六分。
学后反思 对涉及较多点之间的关系问题，可先设出它们各自的坐标，并 充分利用题设建立它们之间的相关关系；再对它们进行转化和化简，最 后求出所求动点坐标所满足的方程.这种根据动点的轨迹方程，求另外一 点的轨迹方程的方法称为代入法或相关点法.
解析: 由
y kx b
得
x2
y
x2kxb0
设
A
, x1,
y1
,B则x2, y2
x1 x1 x2
x2
b
k
AB x1x22y1y22 1k2 x1x22
1k2k24b
∴ 1k2k2. ①4b80
又 y中 kx中 bk•x1 2x2bk 2 2b
∴ k 2 ,b即 5 2
.②k22b100
第六页，编辑于星期五：四点 三十六分。
解析: 以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平
面直角坐标系，则A(-2,0),B(2,0).设P(x,y),
由已知,得PA-PB=AC-BC=2 2 <4. 根据双曲线的定义，动点P的轨迹为双曲线的右支且a=2,c=2,
则
b2 2
所以轨迹E的方程为
解
设动点P(x,y)，则Q(-1,y).
由
，得（x+1,0）·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简
得C：
y2 4x
学后反思 当动点所满足的条件本身就是一些几何量的等量关 系或这些几何条件简单明了易于表达时，只要将这种关系“翻 译〞成含x、y的等式就能得到曲线的轨迹方程，这种求轨迹方 程的方法称之为直接法.
2
可以用A、B两点的坐标表示出来，而|AB|= ,故可求得A、
B坐标满足的关系式，再把P点的坐标代入所求的关系式即可
得到P点的轨迹方程.
解 设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),因为
AP 2 PB
2
又 APx , x0,y P Bx,y0y
所以 x x0
即 x0 (1 因为AB=
, 2
得
, MC1 Rr1
MC2 Rr2
∴ MC2 MC(1定值r2) ＞r01，
故可考虑用双曲线定义求轨迹.
第四页，编辑于星期五：四点 三十六分。
解
设动圆M与圆 C
及圆
1
分C 别2 外切于点A和点B，
根据两圆外切的充要条件，得
MC1AC , 1MA M C2BC2M B ∵MA=MB,
∴ M C 1A C 1M C 2B C 2
解析： 由题意知，两直线的斜率都存在.设直线OA的斜率为k，
那么OA:y=kx,OB:
由
得
同理由
得
设P(x,y),那么
①
②
第十三页，编辑于星期五：四点 三十六分。
由②^2-2×①，得 y2 2x 即8
y2 2x 8
故线段AB的中点P的轨迹方程为 y2 2x 8
易错警示
【例】
过点P(0,-2)的直线l交抛物线 y 2于A4、x B两点，求以OA、
第十九页，编辑于星期五：四点 三十六分。
解析： （1）∵AB边所在直线的方程为x-3y-6=0, 且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为-3. 又∵点T(-1,1)在直线AD上,∴AD边所在直线的方程为 y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0. (2)由 x-3y-6=0,
3x +y+2=0,得点A的坐标为(0,-2). ∵M为矩形ABCD外接圆的圆心，且
x 2 y(2x> 21). 22
题型三 用相关点法求轨迹方程
【例3】
已知长为 的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，
P是AB上一点，且 求点P的轨迹方程.
AP 2 PB 2
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分析 由A、B两点分别在x轴、y轴上,且 AP ,得2PP点B 的坐标
即 M C 2 M C 1 B C 2 A C 1 3 1 2
这表明动点M到两定点 C
、
1
C的2 距离的差是常数2.
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到 C
的
2
距其则离中其大轨a=，迹1,到方c=程3的,为则C 距1 bx离22 小.设8）y(点x2，≤M11)的. 坐标为（x,y）,
y y0 2
即 x22 y122 1
题型四 用参数法求轨迹方程
【例4】(14分)设椭圆方程为 x 2 ,y过2 点 1M（0，1）的直线l 交椭圆于点A、B，O是坐标原点,l上的4 动点P满足
OP1O当AlO 绕B点 M旋转时，求动点P的轨迹方程. 2
第十页，编辑于星期五：四点 三十六分。
分析 设出直线l的方程，和A、B两点的坐标，并将直线l方程
正解 设M(x,y), Ax,1, y1 ，直B线x2,l的y2方程为
y+2=kx，即y=kx-2(k≠0).
由 y kx 2
y2
消4 x去y,得
k2x24k1x40
第十五页，编辑于星期五：四点 三十六分。
4k1
∴ x1 x2 , k2
x1 x 2
4 k2
∴又四y1边形y2 OkAMx1B为x2平行4四k4边形，
第二页，编辑于星期五：四点 三十六分。
举一反三 1. 动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4，求 点P的轨迹方程.
解析: 设P(x,y),则
x12y2 x34
(1)当x≤3时，方程变为 x12y, 2 3x4. x12 y2 x1
化简，得 y 2 4 x
(2)当x＞3时，方程变为 x12y2, x34 化简x,得12 y2 7x
由②，得
,代入①，得
2bk2 10
k419k2600
第十八页，编辑于星期五：四点 三十六分。
∴ k 2 或 4 k 2 15
∴ k =±2, b =-3或 k= 1 5
b= 5 .经检验均符合要求. 2
12. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所 在直线的方程为x-3y-6=0,点T（-1，1）在AD边所在直线 上. （1）求AD边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD外接圆的方程.
x
解x 0得2 1
y
y0
2
x0 y0
2 2
x y
1
∵点Q在曲线 y 上x 2，∴
∴ 2y2,x化简1得2
y0 x02
y
2
x
1 2
2
第十七页，编辑于星期五：四点 三十六分。
11. 若直线y=kx+b交抛物线 x 2 于 yA、B两点，已知|AB|= , 线段AB4的中5 点纵坐标等于-5,求k,b的值.
根底梳理
第五节曲线与方程
1. 曲线的方程与方程的曲线 假设二元方程f(x,y)=0是曲线C的方程，或曲线C是方程f(x,y)=0的曲线， 那么必须满足以下两个条件： 〔1〕曲线C上点的坐标都是 这个方程的; 解 〔2〕以这个方程的解为坐标的点都是 曲线C上. 的点 2. 求曲线方程的五个步骤: 〔1〕建立适当的坐标系； 〔2〕设曲线上任意一点M的坐标为〔x,y〕; (3)列出符合条件P〔M〕的方程f(x,y)=0; (4)化方程f(x,y)=0为最简形式； 〔5〕说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.
与椭圆方程联立，求出 x1, x 2,由 y1 y 2 可表O示P出1点O PA 坐标OB ，
再用消参法求轨迹方程.
2
解 直线l过点M(0,1),当l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的
方程为y=kx+1……………………………………….1′
设 A x1、, y1 B，由x2,题y2设 可得点A、B的坐标
∴
4 k 1
x x1 x2
k2
y
y1
y2
4 k
4 k 12 16k 2 16 2k 1 0
k 1
消去k,得
2
y22 4xy14
k
又l与抛物线 y 2 交4于x 不 y 同22两 4点 x A1、B,
∴ 4 k 1 2 1 6 k 2 1 6 2 k 1 0
程组 x1, y1 x，2 ,①y2
将①代入②并化简,得
y kx 1
的解. ②x 2
y2 4
1
(4k2)x2 ,…2k…x…3 … …04′
则
x1 y1
x2 y2
2k …4… …k 2…………………………
8
4 k2
8′
、 是方
第十一页，编辑于星期五：四点 三十六分。
于 设是点PO 的P 坐 1 2 标O 为A （O B x, y ）x 1 , 2 则x 2 ,y 1 x2 …y 2 …4 …kk 124 0 k ′k 2 ,4 4 k 2
AM=202022 2，2
∴矩形ABCD外接圆的方程为x22 y2 8
第二十页，编辑于星期五：四点 三十六分。
故所求的点y2P的轨12迹x方程4是
,0≤x≤3,
,3＜x≤4.
y2
4x
12
x
4
第三页，编辑于星期五：四点 三十六分。
题型二 利用定义或待定系数法求曲线方程
【例2】已知圆
C
:
1
x3和2 圆y2 ：1
C 2 x32 y2 9
动圆M同时与圆C
及圆
1
C相2 外切.求动圆圆心M的轨迹方
程.
r 分析 设圆 C半1 径 ,圆1 半径C 2,动圆Mr 2 半径R,则由两圆外切性
y
4 4 k2
消去参数k,得 4x2y2(y≠y0) 0③……………….12′
当直线l的斜率不存在时，可得A、B的中点坐标为原点（0，
0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为
4x2 y2 ……y……0………………………..14’
学后反思 本题运用了参数法求轨迹.当动点P的坐标x、y之间的
直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t,并用t表示动点
举一反三
3. 点P是圆 x42y上的1动2点4，O是坐标原点，求线段OP
的中点Q的轨迹.
第九页，编辑于星期五：四点 三十六分。
解析： 设 Px0,,Qy0(x,y),则
∴ x0 , 2 x y0 2 y
∵ x0 ,是y0圆 上的动点，
∴ x042y0124
∴ 2x422y124
,
x x0 2
的坐标x、y，从而得到动点轨迹的参数方程
x f t
y
g
t
消去参数t，便可得到动点P的轨迹方程.其中应注意方程的等价
性和参数t与动点P(x,y)关系的密切性.
第十二页，编辑于星期五：四点 三十六分。
举一反三 4. 过抛物线 的顶点O引两条互相垂直的直线分别与抛物线相交于A、B 两点，求线段AB的中点P的轨迹方程.
8
第五页，编辑于星期五：四点 三十六分。
学后反思 解决此题的关键是找到动点M满足的条件，对于两圆相切问 题，自然考虑圆心距与半径的关系.当判断出动点的轨迹是双曲线的一支， 且可求出a,b时，那么直接写出其标准方程，这种求曲线方程的方法称为 定义法.
举一反三
2.如图，已知线段AB=4,动圆O′与线段AB切于点C， 且AC-BC=2 2 .过点A、B分别作圆O′的切线，两切线相交 于P，且P、O′均在AB同侧.建立适当坐标系，当O′位置变 化时，求动点P的轨迹E的方程.
OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M的轨迹方程.
错解 如右图，设M(x,y),
程A为x1y,,+y12=k,Bx直,即x线2,yly=的2 k方x-2.
由 y kx 2
y2
消4去x y，得
k2x24k1x40
第十四页，编辑于星期五：四点 三十六分。
∴ x1 x2 4, kk21
4 x1x2 k 2
解得
k
且1k≠0,又
2
,∴yy < -48或y>0.
k
综上,M点的轨迹方程为 y22(4y<x-81或 y>0).
第十六页，编辑于星期五：四点 三十六分。
考点演练
10. 已知点Q是曲线 y 上x的2 动点，点A的坐标为(1,0),求线段
QA的中点P的轨迹方程.
解析： 设P(x,y),Q(x0,y0),则由中点坐标公式，得
第一页，编辑于星期五：四点 三十六分。
典例分析
题型一 直接法求曲线方程
【例1】点F〔1，0〕，直线l:x=-1,P为坐标平面上的动点，过P作
直线l的垂线，垂足为点Q，且
求动点P的轨迹方程C.
分析 设P点坐标为（x,y），再表示出Q点， , ， ，
的坐Q标P ，直Q F接代F入P满足F的Q 条件求P点轨迹方程.