2014届高三数学总复习教案：4.1平面向量的概念与线性运算

第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算(对应
学生用书(文)、(理)60～62页)
考情分析考点新知
①了解向量的实际背景；理解平面向量的基
本概念和几何表示；理解向量相等的含义.
②掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几
何意义；理解向量共线定理.
③了解向量的线性运算性质及其几何意义．
掌握向量加、减法、数乘的运算，以及
两个向量共线的充要条件.
1. (必修4P63练习第1题改编)如图在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB
→
＝a，AD
→
＝b，则BE
→
＝________．
答案：b－
1
2a
解析：BE
→＝BA→＋AD→＋1
2DC
→＝－a＋b＋1
2a＝b－
1
2a.
2. (必修4P65例4改编)在△ABC中，AB
→
＝c，AC
→
＝b.若点D满足BD
→
＝2DC
→
，则AD
→
＝________．(用b、c表示)
答案：
2
3b＋
1
3c
解析：因为BD
→＝2DC→，所以AD→－AB→＝2(AC→－AD→)，即3AD→＝AB→＋2AC→＝c＋2b，故AD→
＝23b ＋13
c . 3. (必修4P 63练习第6题改编)设四边形ABCD 中，有12
DC →＝AB →且|AD →|＝||
BC →，则这个四边形是________．
答案：等腰梯形
解析：AB →＝12DC →AB →∥DC →，且|AB →|＝12|DC →|，∴ ABCD 为梯形．又|AD →|＝|BC →
|，∴ 四
边形ABCD 的形状为等腰梯形．
4. (必修4P 66练习第2题改编)设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →
＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则实数p ＝________．
答案：－1
解析：∵ BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A 、B 、D 三点共线，∴ 存在实数λ，使AB →＝λBD →.
即⎩
⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴ p ＝－1.
1. 向量的有关概念
(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量AB →
的大小叫做向量的长度(或模)，记作|AB →|.
(2) 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．
(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．
规定：0与任一向量平行．
(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
(6) 相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．
2. 向量加法与减法运算 (1) 向量的加法
① 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． ② 法则：三角形法则；平行四边形法则．
③ 运算律：a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (2) 向量的减法
① 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． ② 法则：三角形法则．
3. 向量的数乘运算及其几何意义
(1) 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ① |λa |＝|λ||a|；
② 当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.
(2) 运算律：设λ、μ∈R ，则：① λ(μa )＝(λμ)a ；② (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．
4. 向量共线定理
向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ．
[备课札记]
题型1 平面向量的基本概念
例1 给出下列六个命题：
① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；
③ 若AB →＝DC →
，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在
ABCD 中，一定有AB →＝DC →
；
⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .
其中错误的命题有________．(填序号) 答案：①②③⑥
解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →
，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．
备选变式（教师专享）
设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |·a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题个数是________．
答案：3
解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②、③也是假命题，填3.
题型2 向量的线性表示
例2 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →
＝b ，
用a 、b 表示OM →、ON →、MN →
.
解：BA →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋
CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝12a －1
6
b .
变式训练
在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →
.
解：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ
2
b . 又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)
＝(1－m)AC →＋m 2AB →＝m
2
a ＋(1－m)
b ，
∴ ⎩⎨⎧1－λ＝m
2，
1－m ＝λ
2
，解得λ＝m ＝2
3，
∴ AG →＝1
3a ＋13b .
题型3 共线向量
例3 设两个非零向量a 与b 不共线．
(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
(1) 证明：∵ AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )， ∴ BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴ AB →，BD →
共线．
又它们有公共点B ，∴ A 、B 、D 三点共线． (2) 解：∵ k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴ 存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .
又a 、b 是两不共线的非零向量， ∴ k －λ＝λk －1＝0. ∴ k 2－1＝0.∴ k ＝±1. 备选变式（教师专享）
已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →
＝a ＋μb (λ、μ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时λ、μ满足的条件为________．
答案：λμ＝1
解析：由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB →＝tAC →
，所以λa
＋b ＝t(a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，
1＝tμ，
所以λμ＝1.
题型4 向量共线的应用
例4 如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →
，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．
答案：12
解析：如图所示，设M 是AC 的中点，则 OA →＋OC →＝2OM →. 又OA →＋OC →＝－2OB →， ∴ OM →＝－OB →， 即O 是BM 的中点， ∴ S △AOB ＝S △AOM ＝1
2S △AOC ，
即
S △AOB S △AOC ＝1
2
. 备选变式（教师专享）
如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝1
3AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝
13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →
＝λCM →时，AP →＝QA →
，试确定λ的值．
解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →
)
＝12(BN →＋CN →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12
BM →＋λMC →，
又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →
，
即λMC →＝12MC →
，∴λ＝12
.
1. 如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →
，则AO →
＝________．(用向量a 和b 表示)
答案：23a ＋13
b
解析：因为AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →
＝a ＋12b ，
又AB →＝2DC →，所以AO →＝23AC →＝2
3⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝23a ＋13
b . 2. (2013·四川)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →
＝λAO →
，则λ＝________．
答案：2
解析：AB →＋AD →＝AC →＝2AO →
，则λ＝2.
3. (2013·江苏)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝2
3DC ，若
DE →＝λ1AB →＋λ2AC →
(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．
答案：12
解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →＝λ1AB →＋λ2AC →
，
故λ1＝－16，λ2＝23，则λ1＋λ2＝1
2
.
4. 已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA →＋3PB →＋4PC →＝3AB →
，则△PAB 与△PBC 的面积的比值为__________．
答案：45
解析：由2PA →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，得2PA →＋4PC →＝3AB →＋3BP →，∴ 2PA →＋4PC →＝3AP →
，即4PC →＝5AP →.
∴ |AP →||PC →|＝45，S △PAB S △PBC ＝|AP →||PC →|
＝45.
1. 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →
，则λ＝________．
答案：2
解析：因为四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，所以AB →＋AD →
＝AC →，又O 为AC 的中点，所以AC →＝2AO →，所以AB →＋AD →＝2AO →，因为AB →＋AD →＝λAO →
，所以λ＝2.
2. 已知平面内O ，A ，B ，C 四点，其中A ，B ，C 三点共线，且OC →＝xOA →＋yOB →
，则x ＋y ＝________．
答案：1
解析：∵ A ，B ，C 三点共线，∴ AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λOB →－λOA →，∴ OC →＝(1－λ)OA →
＋λOB →
，即x ＝1－λ，y ＝λ，∴ x ＋y ＝1.
3. 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB
→
＋λ2AC →
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．
答案：12
解析：易知DE ＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝1
2.
4. 已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1) 求GA →＋GB →＋GO →
；
(2) 若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →
＝n b ，求证：1m ＋1n ＝
3.
(1) 解：因为GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，所以GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →
＝0. (2) 证明：因为OM →＝12(a ＋b )，且G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝1
3(a ＋b )．由P 、
G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →.又PG →＝OG →－OP →＝1
3(a
＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →
＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b ，所以⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ＝
λ⎣⎡⎦
⎤－1
3a ＋⎝⎛⎭
⎫n －13b . 又a 、b 不共线，所以⎩⎨⎧13－m ＝－1
3λ，
13＝λ⎝⎛⎭⎫n －13，
消去λ，整理得3mn ＝
m ＋n ，故1m ＋1
n
＝3.
1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．
2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．
请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.
[备课札记]。