党团范文 抛物线与x轴交点公式 6.已知抛物线与轴两交点在轴同侧,它们的距离的平方等于,则的值为( )

抛物线与x轴交点公式 6.已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，
则的值为( )
函数与一元二次方程
知识考点：
1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系;
2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与轴的交点情况;
3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。

精典例题：
【例1】已抛物线(为实数)。

(1)为何值时，抛物线与轴有两个交点?
(2)如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且△ABC 的面积为2，求该抛物线的解析式。

分析：抛物线与轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件。

略解：(1)由已知有，解得且
(2)由得C(0，-1)
又∵
∴
∴或
∴或
【例2】已知抛物线。

(1)求证：不论为任何实数，抛物线与轴有两个不同的交点，且这两个点都在轴的正半轴上;
(2)设抛物线与轴交于点A，与轴交于B、C两点，当△ABC的面积为48平方单位时，求的值。

(3)在(2)的条件下，以BC为直径作⊙M，问⊙M是否经过抛物线的顶点P?
解析：(1)，由，可得证。

(2)
=
又∵
∴
解得或(舍去)
∴
(3)，顶点(5，-9)，
∵
∴⊙M不经过抛物线的顶点P。

评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促
成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。

探索与创新：
【问题】如图，抛物线，其中、、分别是△ABC的A、B、C的对边。

(1)求证：该抛物线与轴必有两个交点;
(2)设有直线与抛物线交于点E、F，与轴交于点M，抛物线与轴交于点N，若抛物线的对称轴为，△MNE与△MNF的面积之比为5∶1，求证：△ABC是等边三角形;
(2)当时，设抛物线与轴交于点P、Q，问是否存在过P、Q两点且与轴相切的圆?若存在这样的圆，求出圆心的坐标;若不存在，请说明理由。

解析：(1)
∵，
∴
(2)由得
由得：
设E(，)，F(，)，那么：，由∶=5∶1得：
∴或
由知应舍去。

由解得
∴，即
∴或(舍去)
∴
∴△ABC是等边三角形。

(3)，即
∴或(舍去)
∴，此时抛物线的对称轴是，与轴的两交点坐标为P(，0)，Q(，0)
设过P、Q两点的圆与轴的切点坐标为(0，)，由切割线定理有：∴
故所求圆的圆心坐标为(2，-1)或(2，1)
评注：本题(1)(2)问与函数图像无关，而第(3)问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。

同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。

跟踪训练：
一、选择题：
1、已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为()
A、-2
B、12
C、24
D、-2或24
2、已知二次函数(0)与一次函数(0)的图像交于点A(-2，4)，B(8，
2)，如图所示，则能使成立的的取值范围是()
A、B、C、D、或
3、如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE 是等腰直角三角形，AE=BE，则下列关系：①;②;③;④其中正确的有()
A、4个
B、3个
C、2个
D、1个
4、设函数的图像如图所示，它与轴交于A、B两点，线段OA与OB的比为1∶3，则的值为()
A、或2
B、
C、1
D、2
二、填空题：
1、已知抛物线与轴交于两点A(，0)，B(，0)，且，则=。

2、抛物线与轴的两交点坐标分别是A(，0)，B(，0)，且，则的值为。

3、若抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，且ACB=900，则=。

4、已知二次函数与轴交点的横坐标为、，则对于下列结论：①当时，;②当时，;③方程=0有两个不相等的实数根、;④，;⑤，其中所有正确的结论是(只填写顺号)。

三、解答题：
1、已知二次函数(0)的图像过点E(2，3)，对称轴为，它的图像与轴交于两点A(，0)，B(，0)，且，。

(1)求这个二次函数的解析式;
(2)在(1)中抛物线上是否存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由。

2、已知抛物线与轴交于点A(，0)，B(，0)两点，与轴交于点C，且，，若点A关于轴的对称点是点D。

(1)求过点C、B、D的抛物线解析式;
(2)若P是(1)中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C 的另一点，且△HBD与△CBD的面积相等，求直线PH的解析式;
3、已知抛物线交轴于点A(，0)，B(，0)两点，交轴于点C，且，。

(1)求抛物线的解析式;
(2)在轴的下方是否存在着抛物线上的点，使APB为锐角、钝角，若存在，求出P点的横坐标的范围;若不存在，请说明理由。

参考答案
一、选择题：CDBD
二、填空题：
1、2;
2、;
3、3;
4、①③④
三、解答题：
1、(1);(2)存在，P(，-9)或(，-9)
2、(1);(2)
3、(1);(2)当时APB为锐角，当或时APB为钝角。

(二)6.已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为()
函数与x轴的交点情况及与一元二次方程根与系数
一、选择题
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义.关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小.
2.(xx台湾，32，4分)如图，将二次函数y=31x2-999x+892的图形
画在坐标平面上，
22
判断方程31x-999x+89=0的两根，下列叙述何者正确()
A.两根相异，且均为正根C.两根相同，且为正根
B.两根相异，且只有一个正根D.两根相同，且为负根
考点：抛物线与x轴的交点。

专题：综合题。

分析：由二次函数y=31x2-999x+892的图象得，方程31x2-999x+892=0有两个实根，两根都是正数，从而得出答案.
解答：解：∵二次函数y=31x2-999x+892的图象与x轴有两个交点，且与x轴的正半轴相交，
∴方程31x2-999x+892=0有两个正实根.
故选A.
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个不等的实根;抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等的实根;抛物线与x轴无交点时，方程无实根.
3..(xx?江西，6，3)已知二次函数y=x2+bx﹣2的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则它与x轴的另一个交点坐标是()A、(1，0)
B、(2，0)
C、(﹣2，0)
D、(﹣1，0)
考点：抛物线与x轴的交点。

分析：把交点坐标(1，0)，代入二次函数y=x2+bx﹣2求出b的值，进而知道抛物线的对
称轴，再利用公式x=x?
x1?x2
2
??
12
，可求出它与x轴的另一个交点坐标.
解答：解：把x=1，y=0代入y=x2+bx﹣2得：0=1+b﹣2，∴b=1，∴对称轴为x??∴x?
x1?x2
2
??
b2a12??
12
，
，
∴x2=﹣2，
它与x轴的另一个交点坐标是(﹣2，0).
故选C.点评：本题考查了二次函数和x轴交点的问题，要求交点坐标即可解一元二次方程也可用公式x?
x1?x2
2
??
12。

4.(xx襄阳，12，3分)已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()A.k4B.k4C.k4且k3D.k4且k3考点：抛物线与x轴的交点;根的判别式;一次函数的性质。

专题：计算题。

分析：分为两种情况：：①当k-30时，(k-3)x+2x+1=0，求出△=b-4ac=-4k+160的解集即可;②当k-3=0时，得到一次函数y=2x+1，与X轴有交点;即可得到答案.
解答：解：①当k-30时，(k-3)x2+2x+1=0，△=b2-4ac=22-4(k-3)×1=-4k+160，k4;
②当k-3=0时，y=2x+1，与x轴有交点.故选B.
点评：本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键.
5.(xx湖北孝感，12，3分)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为(
12
2
2
，1)，下列结论：①ac0;②a+b=0;③4ac﹣b2=4a;④a+b+c0.其中
正确结论的个数是()
A.1C.3
B.2D.4
考点：二次函数图象与系数的关系。

专题：计算题。

分析：根据二次函数图象反应出的数量关系，逐一判断正确性.解答：解：根据图象可知：①c0，c>;0∴ac0，正确;②∵顶点坐标横坐标等于
b2a
12
12
，
∴-=，
∴a+b=0正确;
③∵顶点坐标纵坐标为1，∴4ac?b4a
2
=1;
∴4ac﹣b2=4a，正确;
④当x=1时，y=a+b+c>;0，错误.正确的有3个.故选C.
点评：本题主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息.掌握函数性质灵活运用.
6.(xx广西崇左，18，3分)已知：二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，下
列结论中：①abc>;0;②2a+b0;③a+bm(am+b)(m1的实数);④
(a+c)2b2;⑤a>;1.其中正确的项是()
A.①⑤
B.①②⑤
C.②⑤
D.①③④
考点：二次函数图象与系数的关系.
专题：数形结合.
分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.解答：解：①∵抛物线的开口向上，∴a>;0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c0，
b
∵对称轴为x???0，
2a
∴a、b异号，即b0，
又∵c0，∴abc>;0，故本选项正确;
b
②∵对称轴为x???0，a>;0，
2a
∴﹣b>;2a，∴2a+b>;0;
故本选项错误;
③当x=1时，y1=a+b+c;
当x=m时，y2=m(am+b)+c，当m>;1，y2>;y1;当m1，y2y1，所以
不能确定;故本选项错误;
④当x=1时，a+b+c=0;
当x=﹣1时，a﹣b+c>;0;
∴(a+b+c)(a﹣b+c)=0，即(a+c)2﹣b2;∴(a+c)2=b2故本选项错误;
⑤当x=﹣1时，a﹣b+c=2;当x=1时，a+b+c=0，∴a+c=1，
∴a=1+(﹣c)>;1，即a>;1;故本选项正确;
综上所述，正确的是①⑤.故选A.
点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换;二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
(1)a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a>;0;否则a0;
b
(2)b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x??判断符号;
2a
(3)c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c>;0;否则c0;
(4)b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac>;0;1个交点，b2
﹣4ac=0，没有交点，b﹣4ac0.
7.(xx广西防城港6，3分)已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax-1
经过的象限是()A.第一、二、三象限
B.第二、三、四象限
2
C.第一、二、四象限
D.第一、三、四象限
考点：二次函数图象与系数的关系;一次函数图象与系数的关系专题：二次函数
分析：二次函数图象的开口向上时，二次项系数a>;0;一次函数y=kx+b(k0)的一次项系数k>;0、b0时，函数图象经过第一、三、四象限.
解答：D
点评：本题主要考查了二次函数、一次函数图象与系数的关系.二次函数图象的开口方向决定了二次项系数a的符号.
8.(xx湖北黄石，9,3分)设一元二次方程(x﹣1)(x﹣2)=m(m>;0)的两实根分别为，，且，则，满足()
A.12
B.12
C.12
D.1且>;2
考点：抛物线与x轴的交点;根与系数的关系。

专题：数形结合。

分析：先令m=0求出函数y=(x﹣1)(x﹣2)的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出，的取值范围.解答：解：令m=0，
则函数y=(x﹣1)(x﹣2)的图象与x轴的交点分别为(1，0)，(2，0)，故此函数的图象为：
∵m>;0，
∴1，>;2.
故选D.
点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据x轴上点的坐标特点求出函数y=(x﹣1)(x﹣2)与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合解答是解答此题的关键.
9.(xx?黔南，9，4)分二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=()
A、1
B、﹣1
C、﹣2
D、0
考点：抛物线与x轴的交点。

专题：数形结合。

分析：先把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值.
解答：解：∵把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0得，﹣9+6+k=0，解得k=3，
∴原方程可化为：﹣x+2x+3=0，∴x1+x2=3+x2=﹣故选B.
2?1
2
=2，解得x2=﹣1.(三)6.已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为()
知识考点：
1、掌握一次函数的概念及图像;
2、掌握一次函数的性质，并能求解有关实际问题;
3、会用待定系数法求一次函数的解析式。

精典例题：
【例1】已知直线(0)与轴的交点在轴的正半轴上，下列结论：①>;0，>;0;②>;0，0;③0，>;0;④0，0，其中正确结论的个数为()
A、1
B、2
C、3
D、4
解：根据题意知，直线(0)的图像可以如图1，这时>;0，0;也可以如图2，这时0，>;0。

故选B。

评注：本题关键是掌握一次函数中的系数、与图像性质之间的关系。

【例2】一直线与轴相交于点A(0，-2)，与轴相交于点B，且tanOAB=，求这条直线的解析式。

分析：欲求直线的解析式，需要两个独立的条件建立关于、的方程组，结合题目条件，本题要分两种情况讨论，如上图所示。

答案：或
【例3】如下图，已知直线与交于点P(1，4)，它们分别与轴交于A、B，PA=PB，PB=。

(1)求两个函数的解析式;
(2)若BP交轴于点C，求四边形PCOA的面积。

解析：
(1)作PHAO，则PH=4，OH=1，BH=
∴B(-1，0)。

设A(，0)，则AH=，AP=AB=，，解得。

∴A(4，0)，故直线PB：;直线AP：。

(2)
评注：灵活运用勾股定理等几何知识求线段长，进而求点的坐标，是解函数题的常用方法。

探索与创新：
【问题一】如上图，已知直线与轴、轴分别交于点A、B，另一直线(0)经过点C(1，0)，且把△AOB分成两部分。

(1)若△AOB被分成的两部分面积相等，求经过C的直线解析式;
(2)若△AOB被分成的两部分面积比为1∶5，求经过C的直线解析式。

解析：(1)如上图，过B(0，2)，C(1，0)的直线解析式为;
(2)设与OB交于M(0，)，分△AOB面积为1∶5得：
，则
解得，所以M(0，)
经过点M作直线MN∥OA交AB于N(，)，则，因N(，)在直线上，所以，故N(，)
∴直线CM：，直线CN：
评注：本例应用了待定系数法、数形结合法和分类讨论思想。

【问题二】某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用后，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升6微克，(1微克=10-3毫克)，接着逐步衰减，10小时时血液中含量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量(微克)随时间(小时)
的变化如图所示。

当成人按规定剂量服用后：
(1)分别求出2和2时与之间的函数关系式;
(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效的时间是多长?
解析：(1)设2时，，把坐标(2，6)代入得：;设2时，，把坐标(2，6)，(10，3)代入得：。

(2)把代入与中得：，，则(小时)，因此这个有效时间为6小时。

评注：本题是一道一次函数与医药学综合的题目，解题的关键是要将函数图像抽象成解析式，然后结合函数的知识求解。

本题趣味性强，能从中了解医药的一些知识。

跟踪训练：
一、选择题：
1、若函数与的图像交于轴上一点A，且与轴分别交于B、C两点，则△ABC的面积积为()
A、6
B、
C、
D、2
2、已知M(3，2)，N(1，-1)，点P在轴上，且PM+PN最短，则点P的坐标是()
A、(0，)
B、(0，0)
C、(0，)
D、(0，)
3、若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是()
A、B、0C、0D、0或>;
4、直线经过点A(-1，)与点B(，1)，其中>;1，则必有()
A、>;0，>;0
B、>;0，0
C、0，>;0
D、0，0
5、小李以每千克0.80元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜后余下的每千克降价0.40元，全部售完。

销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图所示，那么小李赚()
A、32元
B、36元
C、38元
D、44元
二、填空题：
1、若，则直线一定经过第象限。

2、一次函数的图像经过点A(0，1)，B(3，0)，若将该图像沿着轴向左平移4个单位，则此图像沿轴向下平移了单位。

3、如图，已知直线PA：交轴于Q，直线PB：。

若四边形PQOB 的面积为，则=。

4、某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开始时风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，一段时间风速保持不变，。

当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少1千米，最终停止。

结合风速与时间的图像填空：
①在轴()内填入相应的数值;
②沙尘暴从发生到结束共经过小时;
③当25时，风速(千米/小时)与时间(小时)之间的函数关系式是。

三、解答题：
1、一位投资者有两种选择：①中国银行发行五年期国债，年利率为2.63%。

②中国人寿保险公司涪陵分公司推出的一种保险―鸿泰分红保险，投资者一次性交保费10000元(10份)，保险期为5年，5
年后可得本息和10486.60元，一般还可再分得一些红利，，但分红的金额不固定，有时可能多，有时可能少。

(1)写出购买国债的金额(元)与5年后银行支付的本息和(元)的函数关系式;
(2)求鸿泰分红保险的年利率，并写出支付保费(元)与5年后保险公司还付的本息和(元)的函数关系式(红利除外);
(3)请你帮助投资者分析两种投资的利弊。

2、如图，已知一次函数的图像与轴、轴分别交于A、B两点，点
C、D都在轴的正半轴上，D点坐标为(2，0)，若两钝角ABD=BCD。

(1)求直线BC的解析式;
(2)若P是直线BD上一点，且，求P点坐标。

3、如图，直线分别交轴、轴于A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB轴于B，。

(1)求点P的坐标;
(2)设点R与点P在同一反比例函数的图像上，且点R在直线PB
的右侧，作RT轴于T，当以B、R、T为顶点的三角形与△AOC相似时，求点R的坐标。

4、如图，直线与轴、轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA、OB的长是方程的两个根(OB>;OA)，P为直线上A、B两点之间的一动点(不与A、B重合)，PQ∥OB交OA于点Q。

(1)求tanBAO的值;
(2)若时，请确定点P在AB上的位置，并求出线段PQ的长。

(3)在轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形。

若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由。

参考答案
一、选择题：ADCCB
二、填空题：
1、二、三象限;
2、;
3、2;
4、①8，32;②57;③(2557)
三、解答题：
1、(1);(2);
(3)各有利有弊，当保险分红大于828.40元时，买保险有利，但
分红只是预测，不能保证。

2、(1);(2)P(1，)或(3，)
3、(1)P(2，3);(2)B(3，2)或(，)
4、(1)tanBAO=;(2)PQ=4;(3)存在，M(0，0)或(0，)或(0，)
内容仅供参考。