欧拉积分应用

以外),其图象如图19-2所示.
0 , 1, 2 ,
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5.
( s ) 的其他形式
在应用上, ( s ) 也常以如下形式出现,
如令 x y ,
2
则有
(s)


x
0
s 1
e
x
dx 2

y
0
2 s 1
e
y
2
dy (s 0) .
令x
py ,
s 0
上连续.
s
用上述相同的方法考察积分

0

x
s 1
e
x

dx


x
0
s 1
e
x
ln x d x .
它在任何区间 [ a , b ]( a
0 ) 上一致收敛.
于是由定理
19.10得到 ( s ) 在[ a , b ] 上可导, 由a, b的任意性, ( s )
, p p0 , q q0 ,
而积分
x
0
p0 1
(1 x )
q0 1
收敛, 故由 M 判别法知
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B ( p , q ) 在 p0 p , q0 q
上一致收敛. 因
而推得 B ( p , q ) 在
p 0 , q 0 内连续.
2. 对称 性 B ( p , q ) 作变 换
x 1 y ,得
B (q , p )
B ( p, q)

1
x
0 1 0
p 1
(1 x )
p 1
q 1
dx dy B (q , p ) .
(1 y )
y
q 1
3. 递推公式
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B ( p, q)
q 1 pq 1
p1 pq1
B ( p , q 1)
注 与前讨论的单参变量的含参数积分不同,B 函数 是含两元的含参量积分，但讨论的步骤与方法是完 全类似的. B 函数(2)当 p
1
时, 是以
x 0
为瑕点的无界函数
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反常积分; 当 q
1
时, 是以 x
1 为瑕点的无界函数
反常积分. 应用柯西判别法可证得当
p 0, q 0
2 0 上存在唯一的极小点 x 0 且 x 0 (1， ) .
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又 ( s ) 在 (0, 由于
x0 )
内严格减;在 ( x 0 ,
( s 1) s s
) 内严格增.
(s)
s ( s )
(s 0) 及
lim ( s 1 ) (1 ) 1 ,

m n1 m n2
1
1 m
B ( m , 1) .
又由于 B ( m , 1 ) 0
x
m 1
dx
所以
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B (m , n)
n1
n2
m n1 m n2

1
1
m 1 m

( m 1)! (m 1)!

( n 1 ) !( m 1 ) ! ( m n 1)!
n次
可以得到
( s 1 ) s ( s ) s ( s 1 ) ( s 1 ) s ( s 1 ) ( s n ) ( s n ) . (4)
公式(3)还指出, 如果已知 ( s ) 在 0
s 1 上的值,
那
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么在其他范围内的函数值可由它计算出来. 若s为正整数n+1,则(4)式可写成
§3 欧 拉 积 分
在本节中我们将讨论由含参量反常积分 定义的两个很重要的非初等函数 ——

函数和

函数.
一、 函数 二、B 函数 三、 函数与 B 函数之间的关系
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一． 函 数
含参量积分：
(s)


x
0
s 1
e
x
dx , s 0 ,
(1 )
称为格马函数.

1
(1 y )
dy
0
1
(1 t )
dy .
B ( p, q)

1 0
y
p 1
y
q 1
(1 y )
pq
dy .
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三、 函数与 B 函数之间的关系
当 m , n 为正数时,反复应用 B 函数的递推公式,可得
B (m , n) n1 n1 m n1 n2 B ( m , n 1) 1 m 1 ,
4. 延拓 ( s ) 改写递推公式 (3) 为
(s) ( s 1) s . (6 )
当 1
s 0 时,
(6)式右端有意义, 于是可应用(6)式
来定义左端函数 ( s ) 在( 1, 0 ) 内的值,并且可推知
这时 ( s )
0 .
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用同样的方法, 利用
p

1 0
x (1 x )
dx

q 1 p q 1 p q 1 p

1 0 1
x x
p 1
x
(1 x ) (1 x ) dx q 1 p
q2
dx (1 x )
q 1
p 1
(1 x )
q2
0

1
x
0
p 1
dx
B ( p , q 1)
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复习思考题
1.若 f ( x , y , z ) 是定义 在[ a , b ] [ c , d ] [ e , ) 的函数,
J (x, y)

e
f ( x , y , z )d z , ( x , y ) [ a , b ] [ c , d ] .
函数可以写成如下两个积分之和：
(s)

1
x
0
s 1
e
x
dx


x
1
s 1
e
x
dx I (s) J (s) ,
s 1 时是收敛
其中 I ( s )当 s
1
时是正常积分,当 0
的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得);
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J ( s )当 s 0 时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西
,
即
B (m , n) ( n ) ( m ) (m n) . (1 1 )
对任何正实数 p, q 也有相同的关系:
B ( p, q) ( p ) ( q ) ( p q) ( p 0 ,q 0) . (1 2 )
这个关系式将在第二十一章§8 中加以证明.
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例1 求证 0 证 令u

dx 3 co s x
2
2
1
1 1 B ( , ). 4 2 2
cos

x 2
,
则

0
dx 3 cos x
0

dx 2 2 cos
2
x 2

1 2
1
0
1 (1 u )
1 2
1 12 1 u (1 u )
2
du
判别法推得). 所以含参量积分(1)在 s . 即 函数的定义域为
s 0.
0 时收敛,
1.
( s ) 在定义域 s 0
内连续且有任意阶导数 对于函数 I ( s ) , 当
,
在任何闭区间[ a
0 x 1 时有 x
, b ]( a 0 ) 上,
s1
e
x
x
a 1
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1 2
0
1
(1 u )
2
1 2
u
1 2
du.
再令 t
1 2
1
u ,则
2
0 (1

u )
2
1 2
u
1 2
du
1 2 2
0
1
(1 t )
1 2
t
1 4
t
1 2
dt
1 2 2
1
0 (1
1
1
1
1
t)
2
t
4
dt
2
1
1 1 B ( , ). 2 4 2
q 1 p
B ( p, q) ,
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移项并整理就得(8) . 4.
B ( p , q ) 的其他形
式
在应用中 B 函数也常常以如下形式出现: 如令
x cos ,
2
则有

2 q 1
B ( p , q ) 2 2 sin
0
co s
1 1 y
2 p 1
d .
s 0
故有
lim ( s ) lim
s 0

( s 1) s
s 0

.
由(5)式及 ( s ) 在 ( x 0 ,
s
) 上严格增可推得
lim ( s ) .
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综上所述,
函数的图象如图19-2中 s 0 部分所示.
dy (1 y )
2
(1 0 )
,
如令
x
y 1 y
,1 x
, dx
则有
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B ( p, q)


0
y
p 1 pq
(1 y )
1 t ,
dy .
考 察 1
y
p 1 pq
(1 y )
dy . 令 y
则有
t
p 1 pq

所以

y
p 1 pq
试推广含参量积分 J ( x , y ) 一致收敛性的 M 判别法.
就有
(s)


x
0
s 1
e
x
dx p
s


y
0
s 1
e
py
dy (7 )
(s 0 , p 0) .
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二、B 函 数
含参量积分：
B ( p, q)

1
x
0
p 1
(1 x )
q 1
dx , p 0 , q 0
(2)
称为贝塔 (Beta) 函数 (或写作 B 函数).
( p 0 , q 1) ,
(8)
B ( p, q)
B ( p 1, q )
( p 1 ,q 0) ,
(9)
B ( p, q)
( p 1 )( q 1 ) ( p q 1 )( p q 2 ) ( p 1 , q 1) .
B ( p 1, q 1 )
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在s
0 上可导,
且
( s )


x
0
s 1
e
x
ln x d x , s 0 .
同理可证

(n)
(s)


x
0
s 1
e
x
(ln x ) d x , s 0 , n 2 , 3 , .
n
2. 递推公式 ( s 1 )
A 0
s ( s )
4
(x)
( s ) 已在 ( 1 , 0 ) 内有
3式又可定义 ( s ) 在
( 2 , 1 ) 内的值,
4 3 2 1
1 1 1 2
3
2
3
4
x
而且
4
这时 ( s )
0.
依此
图 19 2
下去可把 ( s ) 延拓到整个数轴(除了s
( n 1 ) n ( n 1 ) 2 1 (1 ) n !

e
0
x
dx n! .
(5)
3.

函数图象的讨论
0 , ( s ) 和 ( s ) 恒大于0,
对一切 s
因此 ( s ) 的图形
(2) 1 ，
位于 x 轴上方, 且是向下凸的. 因为 (1 ) 所以 ( s ) 在 s
试定义含参量积 分J ( x , y ) 的一致收敛性. 2. 若 f ( x , y , z ) 是定义 在 [ a , b ] [ c , d ] [ e , ) 的函数,
J (x, y)

e
f ( x , y , z )d z , ( x , y ) [ a , b ] [ c , d ] .
时
这两个无界函数反常积分都收敛. 所以函数 B ( p , q ) 的定义域为 1.
p 0, q 0.
B ( p , q ) 在定义域 p 0 , q 0
内连续
由于对任何 p 0 > 0
x
p1
, q0 >0
成立不等式
(1 x )
dx
q0 1
(1 x )
1
q1
x
p0 1
对下述积分应用分部积分法, 有

x e
s
x
dx x e
s
x
A 0
s
A 0
A
x
0
s 1
e
x
dx
A e
s
A
s
x
s 1
e
x
dx .
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让A

就得到 ( s ) 的递推公式:
(3)
( s 1) s ( s ) .
设n
s n 1 , 即 0 s n 1 , 应用递推公式(3)
e
x
由于 0
1
x
a 1
e
x
dx
收
敛, 从而 I ( s ) 在 [ a , b ] 上也一致收敛, 对于J ( s ) , 当
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1 x
时, 有 x
s1
e
x
x
b1
e
x
,
由于 1

x
b 1
e
x
dx
收敛,从而 J ( s ) 在 [ a , b ] 上也一致收敛, 于是 ( s ) 在
证 下面只证公式(8), 公式(9)可由对称性及公式(8) 推得, 而最后一个公式则可由公式(8), (9)推得.
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当
p 1, q 1
时, 有
B ( p, q)

1
x
0
p 1
(1 x )
p
q 1
dx
q2

x (1 x )
p
q 1 1