矩阵初等变换应用举例
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0Ｃｎ１（ｘ） … Ｃｎｉ（ｘ） … Ｃｎｎ（ｘ） 0
则 ｇｉ（ｘ）＝（ｆ１（ｘ），…，ｆｎ（ｘ）） 且 ｇｉ（ｘ）＝Ｃ１ｉ（ｘ）ｆ１（ｘ）＋Ｃ２ｉ（ｘ）ｆ２（ｘ）＋…＋Ｃｎｉ（ｘ）ｆｎ（ｘ）。 以上定理证明参见文献［２］。
例 １． 求 ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的最大公因式，其中
ｆ（ｘ）＝ｘ４＋２ｘ３－ｘ２－４ｘ－２， ｇ（ｘ）＝ｘ４＋ｘ３－ｘ２－２ｘ－２
向量都能由向量组 Ａ 线性表示，那么称向量组 Ｂ 能由向量组 Ａ 线性表
示。如果向量组 Ａ 与向量组 Ｂ 能互相线性表示，那么称这两个向量组
等价。
要判断两个向量组是否等价，可记矩阵 Ｃ＝（ａ１，ａ２，…，ａｍ；ｂ１，ｂ２，…，ｂｓ），对
Ｃ 施行初等行变换将其化为行阶梯矩阵 Ｒ，从 Ｒ 中可以看出向量组 Ａ、
决线性代数诸多问题的重要工具，在线性代数中有着举足轻重的作用
和十分广泛的应用。矩阵初等变换被普遍地应用于以下方面：求矩阵的
逆矩阵、求矩阵的秩、向量组的秩，以及求解线性方程组等。本文举例阐
述了初等变换在求多项式的最大公因式、二次型标准形和判断两个向
量组是否等价三方面的应用。
２．矩阵初等变换
矩阵初等变换包括矩阵初等行变换和矩阵初等列变换。
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高校理科研究
矩阵初等变换应用举例
南京邮电大学理学院 付春尧
［摘 要］本文介绍了矩阵初等变换的基本概念及性质，举例阐述了矩阵初等变换在求多项式最大公因式、二次型标准形、判断向量 组的等价性三方面的应用。 ［关键词］初等变换 最大公因式 二次型标准形 向量组等价
１．引言
矩阵初等变换是贯穿线性代数教学活动始末的重要概念，也是解
四、全真模拟职业技能资格考试。面对学生在职业技能资格考试时 由于心理因素导致发挥失常的情况，我校专业课老师在日常的教学中 就积极关注这个方面。每学完一个知识点，教师就组织学生考核，并在 考核过程中完全模拟职业资格考试的现场。每人发完试题后，顺次在机 床上单独加工，加工完成后，交给老师考核打分。随着一门课多个知识 点的学习与考核，学生渐渐适应了考核现场的氛围，所以当学生面对真 实的资格考试现场的时候，也不会出现怯场的情况，现场加工零件都可 以做到得心应手。
埙 埙 ｆ１（ｘ）
０
命题 １． 设 ｆ１（ｘ），…，ｆｎ（ｘ）∈Ｐ（ｘ），令 Ａ（ｘ）＝
埙
，经初等变换得
０
ｆｎ（ｘ）
…
0 0 ｄ１１（ｘ） … ｄ１ｎ（ｘ）
Ａ１（ｘ）＝
埙
，其中，ｄ１１（ｘ） ｄｉｊ（ｘ），ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ
ｄｎ１（ｘ） … ｄｎｎ（ｘ）
则 ｄ１１（ｘ）＝（ｆ１（ｘ），…，ｆｎ（ｘ））。
初等行变换是指对于数域 Ｆ 上的矩阵 Ａ＝（ａｉｊ）ｍ×ｎ 作以下三种类型变 换［１］：
（１） 交换矩阵的两行（交换第 ｉ，ｊ 两行，记作 ｒｉ圮ｒ）ｊ ； （２） 以非零数 ｋ 乘以矩阵的某一行（以 ｋ 乘第 ｉ 行，记作 ｋｒ）ｉ ； （３） 把矩阵的某一行的 ｋ 倍加到另一行上（把第 ｊ 行的 ｋ 倍加到第 ｉ
向量组 Ｂ 的秩以及矩阵 Ｃ 的秩。记 Ａ 的秩为 Ｒ（Ａ），若 Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｃ），则向
量组 Ｂ 可由向量组 Ａ 线性表示，若 Ｒ（Ｂ）＝Ｒ（Ｃ），则向量组 Ａ 可由向量组
Ｂ 线性表示。因此，当 Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）＝Ｒ（Ｃ）时，向量组 Ａ 与向量组 Ｂ 等价。
例 ３． 已知向量组
Ａ：ａ１＝（０，１，１）Ｔ，ａ２＝（１，１，０）Ｔ；Ｂ：ｂ１＝（－１，０，１）Ｔ，ｂ２＝（１，２，１）Ｔ，ｂ３＝（３，２，－１）Ｔ
由文献［１］ 第七章定理 ５ 知，对实对称矩阵 Ａ 总有正交矩阵 Ｃ 使
λ0
0１
0 0
0
0
ＣＴＡＣ＝Ｃ－１ＡＣ＝
0 0
0
λ２ 埙
0 0 0 0 0
00 0
λ 00 ｎ0
其中 λ１ ，λ２ ，…，λｎ 是 Ａ 的 ｎ 个特征值。
由以上分析知，为求矩阵 Ｃ，只要对（Ａｎ，Ｉｎ）进行初等行变换，然后
按前面所进行的行变换再对矩阵进行相应的列变换，直至矩阵 Ａ 化为
１０
２０ ０ １
１ ０ 00列 0 －２ ０ －１
１０ １０
０ ０ ６ ３ －１ １
０ ０ ６ ３ －１ １
（下转第 ８５ 页）
科技信息
高校理科研究
浅谈“双证书”教育在数控专业的应用
河南机电学校 王 亮
［摘 要］本文通过介绍帮助中职学生毕业取得“双证书”的实践经验，旨在促进中职学生全面发展，使他们毕业即能适应市场的需 要，成为高素质的技能型人才。 ［关键词］双证书 一体化 职业教育
行上，记作 ｒｉ＋ｋｒ）ｊ 。 初等列变换是指以下三种变换：
（１） 交换矩阵的两列（交换第 ｉ，ｊ 两列，记作 ｃｉ圮ｃ）ｊ ； （２） 以非零数 ｋ 乘以矩阵的某一列（以 ｋ 乘第 ｉ 列，记作 ｋｃ）ｉ ； （３） 把矩阵的某一列的 ｋ 倍加到另一列上（把第 ｊ 列的 ｋ 倍加到第 ｉ
列上，记作 ｃｉ＋ｋｃ）ｊ 。 对矩阵 Ａ 施行一次初等行变换，相当于给 Ａ 左乘一个可逆矩阵；
为了达到学生毕业有双证的目标，我校教师不辞辛苦，积极探索， 从以下几方面努力，保证了学生毕业有双证，毕业即能上岗就业。
一、向用人单位取经，同时积极和我校的国家职业技能鉴定所的老 师研讨，参照国家职业资格对于中、高级技术工人的考核要求，制定“理 论实践一体化”教学计划，按照企业对工人的理论认知和操作技能要求 编写一体化教材。在编写教材的过程中，我校机械系老师根据以往资格 认证中理论和实践考试的题目，分门别类，对应于相应的知识点在数控 专业一体化的教材中予以特别的强调与体现。对于中职学生，我们根据 其自身特点，以“够用”为原则，摒弃了机械制造专业中的过多理论性较 强的知识点，而是在理论教学中融入资格考试的理论知识，同时在课后 练习题目中也增加了与理论知识点相对应的资格考试题目。根据学生 动手能力强的特点，在教材中增加了学生实践动手的部分，把职业技能 资格考试的实践题目分解或降低难度，让学生在学完每一个知识点，都 能完成相对应的资格考试中实践考试的题目。
自我国加入“ＷＴＯ”后，伴随着世界制造业的激烈竞争，我国传统制 造业也面临着深刻挑战。以前传统的老旧机械加工已远远不能满足现 如今加工业“高”、 “精”、“尖”的要求。传统的老旧机械设备已越来越多 地被数字化控制的高精度、高效率的数控制造装备代替。传统依靠人工 控制的机械装备加工的情形已改由高精度数控设备自动来进行加工。 随着越来越多的数控制造装备在我国大范围普及，但可以操作控制数 控制造装备的技术人员却极为短缺。随着近几年国家大力发展中等职 业教育，中等职业学校面临着极大的机遇与挑战。在如此大好的局面 下，怎样才能为国家制造业培养出合格的高技能人才，是每一个中职教 育工作者面临的首要问题。为此，我校积极探索，深入企业，了解企业用 人要求。对于以前传统的教学进行了深化改革。为了适应市场对用工的 要求，我校在 ２００５ 年提出了“理论实践一体化”教学。并在第二年以数 控专业学生为试点，进行了“理论实践一体化”教学。而且还以我校作为 国家职业技能资格鉴定所为依托，提出了“毕业有双证，毕业证加资格 证”，学生毕业即能持相应的国家技能资格证书上岗工作，把中职教育 办成了名副其实的培养中、高级技能人才的职业教育。
0 0 ０ １ １
解：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）的矩阵为 Ａ＝ １ ０ －３ ，对（Ａ Ｉ ）施行初等变换如 １ －３ ０
下：
0 0 0 0 ０ １ １ １ ０ ０
１ １ －２ １ １ ０
1 ０ －３ ０ １ ０ 0ｒ１＋0ｒ２ 1 ０ －３ ０ １ ０ 0ｃ１＋ｃ0２
１ －３ ０ ０ ０ １
１ －３ ０ ０ ０ １
证明向量组 Ａ 与向量组 Ｂ 等价。
证明：记矩阵 Ａ＝（ａ１，ａ２），Ｂ＝（ｂ１，ｂ２，ｂ３）。
Ａ 组与 Ｂ 组等价圳Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）＝Ｒ（Ａ，Ｂ）
习专业知识，考取相应的资格证书。 三、时刻更新企业用工要求和职业资格考试新要求。从 ２００６ 年后，
数控车床、数控铣床中级工职业资格考试新引入了仿真软件的使用和 在线无纸化考试。由于是新进引入，老师和学生对其都不熟悉。为此，我 校专门投入经费，构建数控仿真实验室。同时，积极与仿真软件厂家沟 通，邀请软件专家来我校讲学。我系教师利用课余时间和假期加班加 点，首先保证自己接受新生事物。教授数控专业的每一名教师首先要保 证完全熟练使用仿真软件及无纸化考试系统，在数控专业的教学中，把 仿真软件的使用融入到“理论实践一体化”的学习当中，使学生在平时 的学习中就熟悉软件的使用。
0
０
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１
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0 0 ２ １ －２ １ １ ０ 1 ０ －３ ０ １ ０
－２ －３ ０ ０ ０ １
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１ ２
对角阵，最后得到（Ｄ，ＣＴ），其中 Ｄ＝ｄｉａｇ（λ１ ，λ２ ，…，λｎ ）为对角矩阵，Ｃ 为将二
次型化为标准形的正交矩阵。
化二次型为标准型，一般采用的是正交变换法或配方法，这两种方
法理论性强，但运算量较大。对于有些二次型，用初等变换的方法将其
化为标准形会更简便快捷。下面举例进行说明。
例 ２． 化二次型 ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝２ｘ１ｘ２＋２ｘ１ｘ３－６ｘ２ｘ３ 为标准型。
l103i对ali施行初等变换如1301110011211003010jl103010一300011300011211003010l3ooo1f2121101f20011011o10一12一11i一22111jl022111jf2o011o1f2oo11o1f0一1211ofo一1o11oiioo6311jioo6311jf2oo11o2oo11ol010一l10llo一2olloio06311oo63117下转第85科技信息高校理科研究浅谈双证鹌教胄在数控营业响应用河南机电学校王亮摘要本文通过介绍帮助中职学生毕业取得双证书的实践经验旨在促进中职学生全面发展使他们毕业即能适应市场的需要成为高素质的技能型人才
（上接第 ８４ 页）
000 000 ｘ１ １ －１ ３ ｙ１
２
２
２
令 ｘ２ ＝ １ １ －１ ｙ２ ，则 ｆ（ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ）＝２ｙ１ －２ｙ２ ＋６ｙ３ 。
ｘ３ ０ ０ １ ｙ３
３．３ 利用初等变换判断两个向量组的等价性
设有两个向量组 Ａ：ａ１，ａ２，…，ａｍ 及 Ｂ：ｂ１，ｂ２，…，ｂｓ 若向量组 Ｂ 中的每个
埙 0 0 0 ｆ１（ｘ） ｇ（ｘ）
ｘ３－２ｘ ｘ４＋ｘ３－ｘ２－２ｘ－２
解：Ａ（ｘ）＝ 1 ０ 0（１0）－（２0） １
０
0（２0）－（１0）×0ｘ
０１
－１
１
0 0 0 0 ｘ３－２ｘ ｘ３＋ｘ２－２ｘ－２
ｘ３－２ｘ ｘ２－２
１
－ｘ 0（２0）－（１0） １ －ｘ－１
－１
ｘ＋１
－１ ｘ＋２
— ８４ —
因为（ｘ２－２） （ｘ３－２ｘ），故 ｘ２－２＝（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）），
且 ｘ２－２＝（－ｘ－１）ｆ（ｘ）＋（ｘ＋２）ｇ（ｘ）。
３．２ 利用初等变换求二次型的标准形
命题 ３． 任意给定实二次型 ｆ＝ｘＴＡｘ 总有正交变换 ｘ＝Ｃｙ 使 ｆ 化为标
准型［１］
２
２
２
ｆ＝λ１ ｙ１ ＋λ２ ｙ２ ＋…＋λｎ ｙｎ
对 Ａ 施行一次初等列变换，相当于给 Ａ 右乘一个可逆矩阵。矩阵的初
等变换不改变矩阵的秩。如果一个矩阵 Ａ 经初等变换化为 Ｂ，那么 Ａ 与
Ｂ 等价。
３．矩阵初等变换应用举例
３．１ 利用初等变换求多项式的最大公因式
求多项式的最大公因式，一般采用辗转相除法和分解法，还可用初
等变换的方法来求解。
… … …
二、学生第一年入校即进行“双证书”教育。中职学生毕业即面临就 业。所以学生一入校最为关注的就是毕业后如何找到理想的工作岗位。 当学生入校后，老师就向其介绍“双证书”的重要性。同时，在后边的教 学中，教师也会把增加就业竞争力，扩大就业面的思想融入到教学中， 使学生深刻理解体会到为了毕业能找到一个理想的工作，必须努力学
其中 λ１ ，λ２ ，…，λｎ 是二次型 ｆ 的矩阵 Ａ 的 ｎ 个特征值。
证明：要使二次型 ｆ＝ｘＴＡｘ 经过满秩线性变换 ｘ＝Ｃｙ 化成标准形，也
Ｔ
ＴＴ
２
２
２
就是使 ｘ Ａｘ＝ｙ （Ｃ ＡＣ）ｙ＝k１ ｙ１ ＋k２ ｙ２ ＋…＋kｎ ｙｎ
ｋ0
0１
ｙ 00 0
00 １ 0
0
0
＝（ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ）
0 0
0
ｋ２ 埙
ｙ 00 0
00 00
２
0 0
…
00 0
00 0
00 0
ｋ ｙ 0000 00 ｎ 00 ｎ 0
从矩阵角度来说就是寻求一个可逆阵 Ｃ，使得 ＣＴＡＣ 为对角矩阵，即
ｋ0
0１
0 0
0
0
ＣＴＡＣ＝
0 0
0
ｋ２ 埙
0 0 0 0 0
00 0
ｋ 00 ｎ0
此时实对称矩阵 Ａ 与对角矩阵合同。
命题 ２． 设 ｆ１（ｘ），…，ｆｎ（ｘ）∈Ｐ（ｘ），令（其中 Ａ（ｘ）去掉第一行则为单位矩
阵）
00ｆ１（ｘ）
ｆ２（ｘ）
…
ｆｎ（ｘ）
0 0
Ａ（ｘ）＝
0 0
１
00…
０ …
… …
０ …
0
00，经过初等列变换得到
0
00
00
0０ ０ … ０ 0
…
…
0ｇ１（ｘ） … ｇｉ（ｘ） … ｇｎ（ｘ） 0 Ａ１（ｘ）＝00Ｃ１１（ｘ） … Ｃ１ｉ（ｘ） … Ｃ１ｎ（ｘ） 00其中，ｇｉ（ｘ） ｇｊ（ｘ）， ｊ＝１，２，…，ｎ
则 ｇｉ（ｘ）＝（ｆ１（ｘ），…，ｆｎ（ｘ）） 且 ｇｉ（ｘ）＝Ｃ１ｉ（ｘ）ｆ１（ｘ）＋Ｃ２ｉ（ｘ）ｆ２（ｘ）＋…＋Ｃｎｉ（ｘ）ｆｎ（ｘ）。 以上定理证明参见文献［２］。
例 １． 求 ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的最大公因式，其中
ｆ（ｘ）＝ｘ４＋２ｘ３－ｘ２－４ｘ－２， ｇ（ｘ）＝ｘ４＋ｘ３－ｘ２－２ｘ－２
向量都能由向量组 Ａ 线性表示，那么称向量组 Ｂ 能由向量组 Ａ 线性表
示。如果向量组 Ａ 与向量组 Ｂ 能互相线性表示，那么称这两个向量组
等价。
要判断两个向量组是否等价，可记矩阵 Ｃ＝（ａ１，ａ２，…，ａｍ；ｂ１，ｂ２，…，ｂｓ），对
Ｃ 施行初等行变换将其化为行阶梯矩阵 Ｒ，从 Ｒ 中可以看出向量组 Ａ、
决线性代数诸多问题的重要工具，在线性代数中有着举足轻重的作用
和十分广泛的应用。矩阵初等变换被普遍地应用于以下方面：求矩阵的
逆矩阵、求矩阵的秩、向量组的秩，以及求解线性方程组等。本文举例阐
述了初等变换在求多项式的最大公因式、二次型标准形和判断两个向
量组是否等价三方面的应用。
２．矩阵初等变换
矩阵初等变换包括矩阵初等行变换和矩阵初等列变换。
科技信息
高校理科研究
矩阵初等变换应用举例
南京邮电大学理学院 付春尧
［摘 要］本文介绍了矩阵初等变换的基本概念及性质，举例阐述了矩阵初等变换在求多项式最大公因式、二次型标准形、判断向量 组的等价性三方面的应用。 ［关键词］初等变换 最大公因式 二次型标准形 向量组等价
１．引言
矩阵初等变换是贯穿线性代数教学活动始末的重要概念，也是解
四、全真模拟职业技能资格考试。面对学生在职业技能资格考试时 由于心理因素导致发挥失常的情况，我校专业课老师在日常的教学中 就积极关注这个方面。每学完一个知识点，教师就组织学生考核，并在 考核过程中完全模拟职业资格考试的现场。每人发完试题后，顺次在机 床上单独加工，加工完成后，交给老师考核打分。随着一门课多个知识 点的学习与考核，学生渐渐适应了考核现场的氛围，所以当学生面对真 实的资格考试现场的时候，也不会出现怯场的情况，现场加工零件都可 以做到得心应手。
埙 埙 ｆ１（ｘ）
０
命题 １． 设 ｆ１（ｘ），…，ｆｎ（ｘ）∈Ｐ（ｘ），令 Ａ（ｘ）＝
埙
，经初等变换得
０
ｆｎ（ｘ）
…
0 0 ｄ１１（ｘ） … ｄ１ｎ（ｘ）
Ａ１（ｘ）＝
埙
，其中，ｄ１１（ｘ） ｄｉｊ（ｘ），ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ
ｄｎ１（ｘ） … ｄｎｎ（ｘ）
则 ｄ１１（ｘ）＝（ｆ１（ｘ），…，ｆｎ（ｘ））。
初等行变换是指对于数域 Ｆ 上的矩阵 Ａ＝（ａｉｊ）ｍ×ｎ 作以下三种类型变 换［１］：
（１） 交换矩阵的两行（交换第 ｉ，ｊ 两行，记作 ｒｉ圮ｒ）ｊ ； （２） 以非零数 ｋ 乘以矩阵的某一行（以 ｋ 乘第 ｉ 行，记作 ｋｒ）ｉ ； （３） 把矩阵的某一行的 ｋ 倍加到另一行上（把第 ｊ 行的 ｋ 倍加到第 ｉ
向量组 Ｂ 的秩以及矩阵 Ｃ 的秩。记 Ａ 的秩为 Ｒ（Ａ），若 Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｃ），则向
量组 Ｂ 可由向量组 Ａ 线性表示，若 Ｒ（Ｂ）＝Ｒ（Ｃ），则向量组 Ａ 可由向量组
Ｂ 线性表示。因此，当 Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）＝Ｒ（Ｃ）时，向量组 Ａ 与向量组 Ｂ 等价。
例 ３． 已知向量组
Ａ：ａ１＝（０，１，１）Ｔ，ａ２＝（１，１，０）Ｔ；Ｂ：ｂ１＝（－１，０，１）Ｔ，ｂ２＝（１，２，１）Ｔ，ｂ３＝（３，２，－１）Ｔ
由文献［１］ 第七章定理 ５ 知，对实对称矩阵 Ａ 总有正交矩阵 Ｃ 使
λ0
0１
0 0
0
0
ＣＴＡＣ＝Ｃ－１ＡＣ＝
0 0
0
λ２ 埙
0 0 0 0 0
00 0
λ 00 ｎ0
其中 λ１ ，λ２ ，…，λｎ 是 Ａ 的 ｎ 个特征值。
由以上分析知，为求矩阵 Ｃ，只要对（Ａｎ，Ｉｎ）进行初等行变换，然后
按前面所进行的行变换再对矩阵进行相应的列变换，直至矩阵 Ａ 化为
１０
２０ ０ １
１ ０ 00列 0 －２ ０ －１
１０ １０
０ ０ ６ ３ －１ １
０ ０ ６ ３ －１ １
（下转第 ８５ 页）
科技信息
高校理科研究
浅谈“双证书”教育在数控专业的应用
河南机电学校 王 亮
［摘 要］本文通过介绍帮助中职学生毕业取得“双证书”的实践经验，旨在促进中职学生全面发展，使他们毕业即能适应市场的需 要，成为高素质的技能型人才。 ［关键词］双证书 一体化 职业教育
行上，记作 ｒｉ＋ｋｒ）ｊ 。 初等列变换是指以下三种变换：
（１） 交换矩阵的两列（交换第 ｉ，ｊ 两列，记作 ｃｉ圮ｃ）ｊ ； （２） 以非零数 ｋ 乘以矩阵的某一列（以 ｋ 乘第 ｉ 列，记作 ｋｃ）ｉ ； （３） 把矩阵的某一列的 ｋ 倍加到另一列上（把第 ｊ 列的 ｋ 倍加到第 ｉ
列上，记作 ｃｉ＋ｋｃ）ｊ 。 对矩阵 Ａ 施行一次初等行变换，相当于给 Ａ 左乘一个可逆矩阵；
为了达到学生毕业有双证的目标，我校教师不辞辛苦，积极探索， 从以下几方面努力，保证了学生毕业有双证，毕业即能上岗就业。
一、向用人单位取经，同时积极和我校的国家职业技能鉴定所的老 师研讨，参照国家职业资格对于中、高级技术工人的考核要求，制定“理 论实践一体化”教学计划，按照企业对工人的理论认知和操作技能要求 编写一体化教材。在编写教材的过程中，我校机械系老师根据以往资格 认证中理论和实践考试的题目，分门别类，对应于相应的知识点在数控 专业一体化的教材中予以特别的强调与体现。对于中职学生，我们根据 其自身特点，以“够用”为原则，摒弃了机械制造专业中的过多理论性较 强的知识点，而是在理论教学中融入资格考试的理论知识，同时在课后 练习题目中也增加了与理论知识点相对应的资格考试题目。根据学生 动手能力强的特点，在教材中增加了学生实践动手的部分，把职业技能 资格考试的实践题目分解或降低难度，让学生在学完每一个知识点，都 能完成相对应的资格考试中实践考试的题目。
自我国加入“ＷＴＯ”后，伴随着世界制造业的激烈竞争，我国传统制 造业也面临着深刻挑战。以前传统的老旧机械加工已远远不能满足现 如今加工业“高”、 “精”、“尖”的要求。传统的老旧机械设备已越来越多 地被数字化控制的高精度、高效率的数控制造装备代替。传统依靠人工 控制的机械装备加工的情形已改由高精度数控设备自动来进行加工。 随着越来越多的数控制造装备在我国大范围普及，但可以操作控制数 控制造装备的技术人员却极为短缺。随着近几年国家大力发展中等职 业教育，中等职业学校面临着极大的机遇与挑战。在如此大好的局面 下，怎样才能为国家制造业培养出合格的高技能人才，是每一个中职教 育工作者面临的首要问题。为此，我校积极探索，深入企业，了解企业用 人要求。对于以前传统的教学进行了深化改革。为了适应市场对用工的 要求，我校在 ２００５ 年提出了“理论实践一体化”教学。并在第二年以数 控专业学生为试点，进行了“理论实践一体化”教学。而且还以我校作为 国家职业技能资格鉴定所为依托，提出了“毕业有双证，毕业证加资格 证”，学生毕业即能持相应的国家技能资格证书上岗工作，把中职教育 办成了名副其实的培养中、高级技能人才的职业教育。
0 0 ０ １ １
解：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）的矩阵为 Ａ＝ １ ０ －３ ，对（Ａ Ｉ ）施行初等变换如 １ －３ ０
下：
0 0 0 0 ０ １ １ １ ０ ０
１ １ －２ １ １ ０
1 ０ －３ ０ １ ０ 0ｒ１＋0ｒ２ 1 ０ －３ ０ １ ０ 0ｃ１＋ｃ0２
１ －３ ０ ０ ０ １
１ －３ ０ ０ ０ １
证明向量组 Ａ 与向量组 Ｂ 等价。
证明：记矩阵 Ａ＝（ａ１，ａ２），Ｂ＝（ｂ１，ｂ２，ｂ３）。
Ａ 组与 Ｂ 组等价圳Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）＝Ｒ（Ａ，Ｂ）
习专业知识，考取相应的资格证书。 三、时刻更新企业用工要求和职业资格考试新要求。从 ２００６ 年后，
数控车床、数控铣床中级工职业资格考试新引入了仿真软件的使用和 在线无纸化考试。由于是新进引入，老师和学生对其都不熟悉。为此，我 校专门投入经费，构建数控仿真实验室。同时，积极与仿真软件厂家沟 通，邀请软件专家来我校讲学。我系教师利用课余时间和假期加班加 点，首先保证自己接受新生事物。教授数控专业的每一名教师首先要保 证完全熟练使用仿真软件及无纸化考试系统，在数控专业的教学中，把 仿真软件的使用融入到“理论实践一体化”的学习当中，使学生在平时 的学习中就熟悉软件的使用。
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－
１ ２
－２
－
１ ２
１ ２
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列
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0－Biblioteka １ ２０000
０
６
３
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６
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00行 0 －１ ０ －１
0 0 ２ １ －２ １ １ ０ 1 ０ －３ ０ １ ０
－２ －３ ０ ０ ０ １
0２ １ －２ １ １ ０ 0 0２ ０ ０ １
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－２
－２
１
１ ０0 0
１ ２
对角阵，最后得到（Ｄ，ＣＴ），其中 Ｄ＝ｄｉａｇ（λ１ ，λ２ ，…，λｎ ）为对角矩阵，Ｃ 为将二
次型化为标准形的正交矩阵。
化二次型为标准型，一般采用的是正交变换法或配方法，这两种方
法理论性强，但运算量较大。对于有些二次型，用初等变换的方法将其
化为标准形会更简便快捷。下面举例进行说明。
例 ２． 化二次型 ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝２ｘ１ｘ２＋２ｘ１ｘ３－６ｘ２ｘ３ 为标准型。
l103i对ali施行初等变换如1301110011211003010jl103010一300011300011211003010l3ooo1f2121101f20011011o10一12一11i一22111jl022111jf2o011o1f2oo11o1f0一1211ofo一1o11oiioo6311jioo6311jf2oo11o2oo11ol010一l10llo一2olloio06311oo63117下转第85科技信息高校理科研究浅谈双证鹌教胄在数控营业响应用河南机电学校王亮摘要本文通过介绍帮助中职学生毕业取得双证书的实践经验旨在促进中职学生全面发展使他们毕业即能适应市场的需要成为高素质的技能型人才
（上接第 ８４ 页）
000 000 ｘ１ １ －１ ３ ｙ１
２
２
２
令 ｘ２ ＝ １ １ －１ ｙ２ ，则 ｆ（ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ）＝２ｙ１ －２ｙ２ ＋６ｙ３ 。
ｘ３ ０ ０ １ ｙ３
３．３ 利用初等变换判断两个向量组的等价性
设有两个向量组 Ａ：ａ１，ａ２，…，ａｍ 及 Ｂ：ｂ１，ｂ２，…，ｂｓ 若向量组 Ｂ 中的每个
埙 0 0 0 ｆ１（ｘ） ｇ（ｘ）
ｘ３－２ｘ ｘ４＋ｘ３－ｘ２－２ｘ－２
解：Ａ（ｘ）＝ 1 ０ 0（１0）－（２0） １
０
0（２0）－（１0）×0ｘ
０１
－１
１
0 0 0 0 ｘ３－２ｘ ｘ３＋ｘ２－２ｘ－２
ｘ３－２ｘ ｘ２－２
１
－ｘ 0（２0）－（１0） １ －ｘ－１
－１
ｘ＋１
－１ ｘ＋２
— ８４ —
因为（ｘ２－２） （ｘ３－２ｘ），故 ｘ２－２＝（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）），
且 ｘ２－２＝（－ｘ－１）ｆ（ｘ）＋（ｘ＋２）ｇ（ｘ）。
３．２ 利用初等变换求二次型的标准形
命题 ３． 任意给定实二次型 ｆ＝ｘＴＡｘ 总有正交变换 ｘ＝Ｃｙ 使 ｆ 化为标
准型［１］
２
２
２
ｆ＝λ１ ｙ１ ＋λ２ ｙ２ ＋…＋λｎ ｙｎ
对 Ａ 施行一次初等列变换，相当于给 Ａ 右乘一个可逆矩阵。矩阵的初
等变换不改变矩阵的秩。如果一个矩阵 Ａ 经初等变换化为 Ｂ，那么 Ａ 与
Ｂ 等价。
３．矩阵初等变换应用举例
３．１ 利用初等变换求多项式的最大公因式
求多项式的最大公因式，一般采用辗转相除法和分解法，还可用初
等变换的方法来求解。
… … …
二、学生第一年入校即进行“双证书”教育。中职学生毕业即面临就 业。所以学生一入校最为关注的就是毕业后如何找到理想的工作岗位。 当学生入校后，老师就向其介绍“双证书”的重要性。同时，在后边的教 学中，教师也会把增加就业竞争力，扩大就业面的思想融入到教学中， 使学生深刻理解体会到为了毕业能找到一个理想的工作，必须努力学
其中 λ１ ，λ２ ，…，λｎ 是二次型 ｆ 的矩阵 Ａ 的 ｎ 个特征值。
证明：要使二次型 ｆ＝ｘＴＡｘ 经过满秩线性变换 ｘ＝Ｃｙ 化成标准形，也
Ｔ
ＴＴ
２
２
２
就是使 ｘ Ａｘ＝ｙ （Ｃ ＡＣ）ｙ＝k１ ｙ１ ＋k２ ｙ２ ＋…＋kｎ ｙｎ
ｋ0
0１
ｙ 00 0
00 １ 0
0
0
＝（ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ）
0 0
0
ｋ２ 埙
ｙ 00 0
00 00
２
0 0
…
00 0
00 0
00 0
ｋ ｙ 0000 00 ｎ 00 ｎ 0
从矩阵角度来说就是寻求一个可逆阵 Ｃ，使得 ＣＴＡＣ 为对角矩阵，即
ｋ0
0１
0 0
0
0
ＣＴＡＣ＝
0 0
0
ｋ２ 埙
0 0 0 0 0
00 0
ｋ 00 ｎ0
此时实对称矩阵 Ａ 与对角矩阵合同。
命题 ２． 设 ｆ１（ｘ），…，ｆｎ（ｘ）∈Ｐ（ｘ），令（其中 Ａ（ｘ）去掉第一行则为单位矩
阵）
00ｆ１（ｘ）
ｆ２（ｘ）
…
ｆｎ（ｘ）
0 0
Ａ（ｘ）＝
0 0
１
00…
０ …
… …
０ …
0
00，经过初等列变换得到
0
00
00
0０ ０ … ０ 0
…
…
0ｇ１（ｘ） … ｇｉ（ｘ） … ｇｎ（ｘ） 0 Ａ１（ｘ）＝00Ｃ１１（ｘ） … Ｃ１ｉ（ｘ） … Ｃ１ｎ（ｘ） 00其中，ｇｉ（ｘ） ｇｊ（ｘ）， ｊ＝１，２，…，ｎ