甘肃省天水市届高三数学上学期第二次月考试卷理(含解析)【含答案】

甘肃省天水市2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）
A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2）C．[﹣1，1] D．[1，2）
2．（5分）下列说法错误的是（）
A．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0
B．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件
C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”
D．已知p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题
3．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）
A．f（x）是偶函数B．f（x）在f（x）上是增函数
C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）
4．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）
A．2B．4C．2 D．4
5．（5分）已知非零向量，满足，且||=||，（2+）•=0，则，的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°
6．（5分）函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，∞] C．[0，3] D．[3，+∞]
8．（5分）将函数f（x）=2sin（2x﹣θ）﹣3的图象F按向量=，平移得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线，则θ的一个可能取值是（）
A．B．C．D．
9．（5分）若实数x，y满足，则y是x的函数的图象大致是（）
A．B．C． D．
10．（5分）若函数，又f（α）=f（β）=2，且|α﹣β|的最小值等于3π，则正数ω的值为（）
A．B．C．D．
11．（5分）若实数a∈（1，2），则使得函数单调递减的
一个区间是（）
A．（1，+∞）B．（0，a﹣1）C．（0，1）D．（a﹣1，1）
12．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f （5）=．
14．（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=．15．（5分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是．
16．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC， DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知函数f（x）=x3+bx2﹣ax在x=1处有极小值﹣1．
（1）求a，b的值；
（2）求出函数f（x）的单调区间．
18．（12分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[﹣，]上的最小值和最大值．
19．（12分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）=0，当x＞0时，f（x）=log x．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式f（x2﹣1）＞﹣2．
20．（12分）如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足•=0．sin∠BAC=，AB=3，
BD=．
（Ⅰ）求AD的长；
（Ⅱ）求cosC．
21．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．
22．（12分）已知函数f（x）=xe﹣2x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数y=h（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线对称．求证：当x＞时，
f（x）＞h（x）．
（Ⅲ）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＞1．
甘肃省天水市2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）
A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2）C．[﹣1，1] D．[1，2）
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：根据集合的基本运算即可得到结论．
解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x＜2}，
则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}，
故选：A
点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）下列说法错误的是（）
A．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0
B．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件
C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”
D．已知p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题
考点：特称命题；命题的否定．
分析：利用特称命题的否定是全称命题判断A的正误；利用充要条件判断B的正误；否命题的真假判断C的正误；复合命题的真假判断D的正误；
解答：解：对于A，命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0，满足特称命题的否定是全称命题，所以A正确．
对于B，“sinθ=”则θ不一定是30°，而“θ=30°”则sinθ=，所以是必要不充分条
件，B不正确；
对于C，“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”判断正确．
对于D，p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”一假就假，所以为假命题，D正确．
错误命题是B．
故选B．
点评：本题考查命题的真假的判断充要条件的应用，基本知识的考查．
3．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）
A．f（x）是偶函数B．f（x）在f（x）上是增函数
C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）
考点：函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：由函数在y轴左侧是余弦函数，右侧是二次函数的部分可知函数不具有周期性和单调性，函数不是偶函数，然后求解其值域得答案．
解答：解：由解析式可知，当x≤0时，f（x）=cosx，为周期函数，
当x＞0时，f（x）=x2+1，是二次函数的一部分，
∴函数不是偶函数，不具有周期性，不是单调函数，
对于D，当x≤0时，值域为[﹣1，1]，
当x＞0时，值域为（1，+∞），
∴函数的值域为[﹣1，+∞）．
故选：D．
点评：本题考查了函数奇偶性、单调性和周期性的性质，考查了函数值域的求法，是基础题．
4．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）
A．2B．4C．2 D．4
考点：定积分．
专题：函数的性质及应用．
分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，
曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，
而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|=8﹣4=4，
∴曲边梯形的面积是4，
故选：D．
点评：考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．
5．（5分）已知非零向量，满足，且||=||，（2+）•=0，则，的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算再由夹角的范围，即可得到．
解答：解：由于||=||，且（2+）•=0，
则2+=0，
即有2||•||•cos＜＞+||2=0
即有cos＜＞=﹣，
则由0°≤＜＞≤180°，
则＜＞=120°．
故选C．
点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
6．（5分）函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：根的存在性及根的个数判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：通过令f（x）=0，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数．
解答：解：函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1，令f（x）=0，
在同一坐标系中作出y=（）x．与y=|log0.5x|，如图，
由图可得零点的个数为2．
故选B．
点评：本题考查函数的零点，函数的图象的作法，考查数形结合与转化思想．
7．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，∞] C．[0，3] D．[3，+∞]
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，构造函数求出
﹣2x在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围．
解答：解：∵在（，+∞）上是增函数，
故≥0在（，+∞）上恒成立，
即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，
令h（x）=﹣2x，
则h′（x）=﹣﹣2，
当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．
∴h（x）＜h（）=3
∴a≥3．
故选：D．
点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．
8．（5分）将函数f（x）=2sin（2x﹣θ）﹣3的图象F按向量=，平移得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线，则θ的一个可能取值是（）
A．B．C．D．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．
专题：计算题．
分析：按照“左加右减上加下减”的原则，求出图象F′的解析式，在对称轴x=处函数取得最值，可求θ．
解答：解：图象F′是由图象F先向右平移个单位，再向上平移3个单位而得到．所以，图象F′的函数解析式是y=2sin[2（x﹣）﹣θ]=2sin（2x﹣﹣θ）
∵F′的一条对称轴是直线，∴x=时函数取最值，
∴2×﹣﹣θ=kπ+，k∈Z
当k=0时，θ=
故选B
点评：本题考查图象平移变化、三角函数的性质，易错点在于，左右平移是针对于x而言，而非整个相位．
9．（5分）若实数x，y满足，则y是x的函数的图象大致是（）
A．B．C． D．
考点：函数的图象．
专题：计算题．
分析：先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案．
解答：解：∵|x﹣1|﹣ln=0，
∴f（x）=（）|x﹣1|其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，因为0＜＜1，故在[1，+∞）
上为减函数，
又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，
对照选项，只有B正确．
故选B．
点评：本题主要考查指数函数的图象问题，考查分类讨论的数学思想和识图能力，属于基础题．
10．（5分）若函数，又f（α）=f（β）=2，且|α﹣β|的最小值等于3π，则正数ω的值为（）
A．B．C．D．
考点：两角和与差的正弦函数．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：依题意可知，f（x）=sinωx+cosωx的最小正周期为3π，由周期公式T=即
可求得ω的值．
解答：解：∵f（x）=sinωx+cosωx
=2sin（ωx+），
∴f（x）=sinωx+cosωx的最小正周期为T=；
又f（α）=f（β）=2，且|α﹣β|的最小值等于3π
∴f（x）=sinωx+cosωx的最小正周期为3π，
∴=3π，
∴ω=．
故选B．
点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查辅助角公式的应用及周期的求法，属于中档题．
11．（5分）若实数a∈（1，2），则使得函数单调递减的
一个区间是（）
A．（1，+∞）B．（0，a﹣1）C．（0，1）D．（a﹣1，1）
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：先求出函数的导数，令导数小于0，求出单调区间，再比对四个选项得出正确答案．解答：解：=
由函数的解析式知，x＞0，令f'（x）＜0得[x﹣（a﹣1）]（x﹣1）＜0
又∵a∈（1，2），∴a﹣1∈（0，1）
∴a﹣1＜x＜1
故选D
点评：本题考查利用层数研究函数的单调性，求解本题关键是正确得出函数的导函数，以及根据函数的定义域将所得的不等式转化如x＞0，令f'（x）＜0得[x﹣（a﹣1）]（x﹣1）＜0，
12．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]
考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法．
专题：综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
分析：分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．
解答：解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；
当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，
令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），
当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，
f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；
当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，
由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；
综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．
故选：C．
点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f （5）=﹣5．
考点：函数的周期性．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据条件可得函数是周期为4的周期函数，然后利用函数的周期性即可得到结论．解答：解：∵f（x+2）=，
∴f（x）≠0，且f（x+4）=f（x+2+2）=，
即函数的周期为4．
∵f（1）=﹣5，
∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5．
故答案为：﹣5；
点评：本题主要考查函数值的计算，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，要求熟练掌握函数周期性的应用．
14．（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=．
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题：平面向量及应用．
分析：利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出．
解答：解：∵∥，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），
∴sin2θ﹣cos2θ=0，
∴2sinθcosθ=cos2θ，
∵0＜θ＜，∴cosθ≠0．
∴2tanθ=1，
∴tanθ=．
故答案为：．
点评：本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．15．（5分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是[，3]．
考点：二次函数的性质．
专题：计算题；数形结合．
分析：根据函数的函数值f（）=﹣，f（0）=﹣4，结合函数的图象即可求解
解答：解：∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，
∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4，
故由二次函数图象可知：
m的值最小为；
最大为3．
m的取值范围是：≤m≤3．
故答案[，3]
点评：本题考查了二次函数的性质，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，属于基础题．
16．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为2．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．
解答：解：∵BC=3BE，DC=λDF，
∴=，=，
=+=+=+，=+=+=+，
∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，
∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，
∵•=1，
∴（+）•（+）=++（1+）•=1，
即×4+×4﹣2（1+）=1，
整理得，
解得λ=2，
故答案为：2．
点评：本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知函数f（x）=x3+bx2﹣ax在x=1处有极小值﹣1．
（1）求a，b的值；
（2）求出函数f（x）的单调区间．
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）已知函数f（x）=x3+bx2﹣ax在x=1处有极小值﹣1，即f（1）=﹣1，f′（1）=0，所以先求导函数，再代入列方程组，即可解得a、b的值；
（2）分别解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可得函数f（x）的单调增区间与单调递减区间．
解答：解：（1）∵f′（x）=3x2+2bx﹣a，函数f（x）=x3+bx2﹣ax在x=1处有极小值﹣1，∴f（1）=﹣1，f′（1）=0
∴1+b﹣a=﹣1，3+2b﹣a=0
解得a=1，b=﹣1
∴f（x）=x3﹣x2﹣x
（2）∵f′（x）=3x2﹣2x﹣1
∴由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）
由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＜0得x∈（﹣，1）
∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣），（1，+∞），减区间为：（﹣，1）．
点评：本题考查导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，属于中档题．18．（12分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[﹣，]上的最小值和最大值．
考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：（1）化简得f（x）=，从而可求f（x）的最小正周期；
（2）由，所以可求f（x）在[﹣，]上的最小值和最大值．
解答：解：（1）∵
=
=
=
=；
∴f（x）的最小正周期为．
（2）
当，即时，f（x）取最小值；
当2x﹣=，即有x=时，f（x）取最大值．
点评：本题主要考察三角函数中的恒等变换应用以及三角函数的周期性及其求法，属于中档题．
19．（12分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）=0，当x＞0时，f（x）=log x．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式f（x2﹣1）＞﹣2．
考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；绝对值不等式的解法．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）由已知可以设x＜0，然后利用函数的奇偶性转化到﹣x＞0，利用已知求出x ＜0时的解析式即可．用﹣x代换x，然后写出整个定义域上的函数的解析式．
（Ⅱ）根据f（x）=在（﹣∞，0]上为增函数，结合奇偶性得出f（x）在（0，
+∞）上为减函数，将f（a﹣1）＜﹣1=f（1）转化成绝对值不等式|a﹣1|＞1，解之即得．
解答：解：（Ⅰ）∵当x＞0时，f（x）=log x，
当x＜0时，则﹣x＞0，
∴f（﹣x）=，
∵函数是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x）．
∴f（x）=，x＜0
又f（0）=0，
∴f（x）=．
（Ⅱ）∵f（4）=，函数f（x）是偶函数，
∴不等式转化为f（|x2﹣1|）＞f（4）
又∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴|x2﹣1|＜4，
解得：．
∴不等式的解集为（）．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，函数的奇偶性，函数的解析式的求法，分段函数的概念，奇偶性与单调性的综合应用．本题要做出整体代换，
20．（12分）如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足•=0．sin∠BAC=，AB=3，
BD=．
（Ⅰ）求AD的长；
（Ⅱ）求cosC．
考点：余弦定理的应用；正弦定理．
专题：计算题；解三角形．
分析：（I）通过向量的数量积，判断垂直关系，求出cos∠BAD的值，在△ABD中，由余弦定理求AD的长；
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，求出sin∠ADB，通过三角形是直角三角形，即可求cosC．解答：解：（Ⅰ）∵•=0，
∴AD⊥AC，
∴，
∵sin∠BAC=，
∴…．（2分）
在△ABD中，由余弦定理可知BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠BAD，
即AD2﹣8AD+15=0，
解之得AD=5或AD=3 …．（6分）
由于AB＞AD，
∴AD=3…..（7分）
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，
又由，
可知，
∴=，
∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DAC=，
∴．…（12分）
点评：本题考查解三角形，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力．
21．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．
考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．
分析：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），解方程组求得m、n的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（2x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin（2x+2φ+）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在y轴上，求得φ=，可得g（x）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x的范围，可得g（x）的增区间．解答：解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=•=msin2x+ncos2x，
再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），可得．
解得 m=，n=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）．
将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，
得到函数g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，显然函数g（x）最高点
的纵坐标为2．
y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，
故函数g（x）的一个最高点在y轴上，
∴2φ+=2kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=，
故g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．
令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得 kπ﹣≤x≤kπ，
故y=g（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ]，k∈Z．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）=xe﹣2x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数y=h（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线对称．求证：当x＞时，
f（x）＞h（x）．
（Ⅲ）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＞1．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调区间，从而可求函数的极值；（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣h（x），证明函数F（x）在（，+∞）上是增函数，即可证得结论；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知函数在（﹣∞，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，f（x1）=f（x2），不妨设x1＜，x2＞，由（Ⅱ）可得f（x2）＞h（x2）=f（1﹣x2），利用f（x）（﹣∞，）上是增函数，即可得出结论．
解答：（Ⅰ）解：求导函数，f′（x）=（1﹣2x）e﹣2x，令f′（x）=0，解得x=
由f′（x）＞0，可得x＜；由f′（x）＜0，可得x＞，
∴函数在（﹣∞，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数
∴函数在x=时取得极大值f（）=；
（Ⅱ）证明：由题意，h（x）=f（1﹣x）=（1﹣x）e2x﹣2，
令F（x）=f（x）﹣h（x），即F（x）=xe﹣2x﹣（1﹣x）e2x﹣2，
∴F′（x）=（2x﹣1）（e4x﹣2﹣1）e﹣2x，
当x＞时，2x﹣1＞0，∴e4x﹣2﹣1＞0，∵e﹣x＞0，∴F′（x）＞0，
∴函数F（x）在（，+∞）上是增函数
∵F（）=0，∴x＞时，F（x）＞F（）=0
∴当x＞时，f（x）＞h（x）；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知函数在（﹣∞，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，f（x1）=f（x2），
∴不妨设x1＜，x2＞，
由（Ⅱ）可得f（x2）＞h（x2）=f（1﹣x2），
∵f（x1）=f（x2），
∴f（x1）＞f（1﹣x2），
∵x1＜，1﹣x2＜，f（x）（﹣∞，）上是增函数，
∴x1＞1﹣x2，
∴x1+x2＞1．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查不等式的证明，构造函数，确定函数的单调性是关键．。