广东省海珠区等四区2025届高三二诊模拟考试数学试卷含解析

广东省海珠区等四区2025届高三二诊模拟考试数学试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知二次函数2
()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x
g x e f x =+的零点所在区间为（ ）
A ．(1,0)-
B ．(0,1)
C ．(1,2)
D ．(2,3)
2．已知集合{}10,1,0,12x A x B x -⎧⎫
=<=-⎨⎬+⎩⎭
，则A B 等于（ ）
A ．{}
11x x -<<
B ．{}1,0,1-
C ．{}1,0-
D ．{}0,1
3．设双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支
上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．23⎫
+∞⎪⎪⎝⎭ B ．23⎛ ⎝⎦
C ．)
3,⎡+∞⎣
D ．(
3
4．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ）
A ．45
B ．60
C ．75
D ．100
5．若23455
012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）
A ．
54
B ．
58
C ．
516
D ．
532
6．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2
ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ）
A ．5ln 2+
B ．5ln 2-
C ．3ln 2+
D ．3ln 2-
7．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ） A ．6种
B ．12种
C ．24种
D ．36种
8．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ）
A ．7π
B ．6π
C ．5π
D ．4π
9．已知函数有三个不同的零点
（其中
），则 的值为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数(03d d <<，如果正方体
1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是
A ．6m ≠
B ．5m ≠
C ．4m ≠
D ．3m ≠
11．设1tan 2
α=
，4
cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）
A ．724-
B ．524-
C ．524
D ．724
12．下列说法正确的是（ ）
A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”
B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题
C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立
D ．“若1sin 2α≠
，则6
π
α≠”是真命题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．己知函数3()(21)2x
f x m x e =+-，若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线与直线420x y +-=平行，则
m =__________.
14．若x ，y 满足223x y x x y ≤⎧⎪
≥⎨⎪+≥⎩
，则2x y +的最小值为________.
15．已知集合{
}
22
1,(1),33A m m m m =+--+，若1A ∈，则2020m =__________． 16．利用等面积法可以推导出在边长为a
，类比上述结论，利用等体积法进行推导，在棱长为a 的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值，则这个定值是______ 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知数列{}n a 中，1a a =（实数a 为常数），22,n a S =是其前n 项和，()
1=2
n n n a a S -且数列{}n b 是等比数列，142,b a =恰为4S 与21b -的等比中项． （1）证明：数列{}n a 是等差数列； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）若132c =
，当2n ≥时11
111
12n n n n
c b b b --=+++
++，{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意2n ≥，都有
12613n T n ≥+．
18．（12分）已知函数()||f x x a =-
（1）当1a =-时，求不等式()|21|1f x x ≤+-的解集；
（2）若函数()()|3|g x f x x =-+的值域为A ，且[2,1]A -⊆，求a 的取值范围.
19．（12分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线C 1的普通方程为
(x -1)2
+y 2
=1，曲线C 2
的参数方程为.x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.
（Ⅰ）求曲线C 1和C 2的极坐标方程： （Ⅱ）设射线θ=
6
π
(ρ>0)分别与曲线C 1和C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 20．（12分）已知函数()1
ln f x x a x x
=
-+. （1）若()f x 在()0,∞+上为单调函数，求实数a 的取值范围：
（2）
5
2a ≤≤，
记()f x 的两个极值点为1x ，2x ，记()()1212
f x f x x x --的最大值与最小值分别为M ，m ，求M m -的值.
21．（12分）已知函数()()1x
f x e ax =+，a R ∈.
（1）求曲线()y f x =在点()()
0,0M f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）判断函数()f x 的零点个数.
22．（10分）某保险公司给年龄在2070-岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示. 据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元.
年龄
（单位：岁）[)
20,30[)
30,40[)
40,50[)
50,60[]
60,70
保费
（单位：元）
x2x3x4x5x
（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求x精确到整数时的最小值0x；
（2）经调查，年龄在[]
60,70之间的老人每50人中有1人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元.某老人年龄66岁，若购买该项保险(x取()1中的0x).针对此疾病所支付的费用为X元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y元.试比较X和Y的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B
【解析】
由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.
又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝e x＋2x－b，所以g′(x)＝e x＋2＞0，所以g(x)在R上单调递增，
又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，
根据函数的零点存在性定理可知，函数g (x )的零点所在的区间是(0，1)， 故选B. 2、C 【解析】
先化简集合A ，再与集合B 求交集. 【详解】
因为{}10212x A x
x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭
，{}1,0,1B =-， 所以{}1,0A B ⋂=-. 故选：C 【点睛】
本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题. 3、A 【解析】
依题意可得22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++1224PF a b ≥-= 即可得到()242a b a c +>+，从而求出双曲线的离心率的取值范围； 【详解】
解：依题意可得如下图象，22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++
112PE PF EF a =++- 1224PF a b ≥-=
()12242PF a b a c ∴=+>+
所以2b c > 则22244c a c -> 所以2234c a >
所以22
24
3
c e a =>
所以e >，即3e ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题. 4、B 【解析】
根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算． 【详解】 由题意123
15234
S ⨯⨯⨯=，60S =．
故选：B. 【点睛】
本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键． 5、C 【解析】 根据5
51
[(21)1]32
x x =-+，再根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】 因为551
[(21)1]32
x x =
-+，所以二项式5[(21)1]x -+的展开式的通项公式为：55155(21)1(21)r r r r r r T C x C x --+=⋅-⋅=⋅-，令3r =，所以2235(21)T C x =⋅-，因此有
3
2255111545323232216
C C a ⨯=
⋅=⋅=⨯=. 故选：C 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力 6、A 【解析】
设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2
()2ln f a a a =+-，利用导数求出
单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值． 【详解】
解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11
(ln 1)2
x a ∴=
-， 而2x 满足2
221a x =-，221
2
a x +∴= 那么()()22
211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦
设2
()2ln f a a a =+-，则221
()a f a a -'=，函数()f a 在0,2⎛ ⎝⎭
上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，
所以min min 42()25ln 22AB f a f ⎛===+ ⎝⎭
故选：A ． 【点睛】
本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题． 7、B 【解析】
分成甲单独到A 县和甲与另一人一同到A 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A 县的分法数. 【详解】
如果甲单独到A 县，则方法数有22
326C A ⨯=种.
如果甲与另一人一同到A 县，则方法数有12
326C A ⨯=种.
故总的方法数有6612+=种. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题. 8、C
几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案. 【详解】
几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为
21
322152
πππ⨯⨯+⨯=. 故选：C . 【点睛】
本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 9、A 【解析】 令
，构造
，要使函数有三个不同的零点
（其中），则方程需
要有两个不同的根，则
，解得
或
，结合
的图象，并分
，
两个情况分类
讨论，可求出的值.
【详解】 令，构造，求导得，当时，；当时，， 故
在
上单调递增，在
上单调递减，且
时，
，
时，，
，可画
出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点
（其中），则方程
需要有两个不同的根
（其中
），则
，解得或
，且，
若，即，则
，则
，且
，
故，
若
，即，由于，故，故不符合题意，舍去.
故选A.
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想. 10、B 【解析】
此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值. 【详解】
如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d . 所以本题答案为 B.
【点睛】
本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题. 11、D 【解析】
利用倍角公式求得tan2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得
tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果.
【详解】
1tan 2
α=
，22tan 4
tan21tan 3ααα==-，
()4
cos cos 5
πββ+=-
=-，()(0,βπ∈， 4cos 5β∴=，3sin 5
β=，3
tan 4β=，
()43tan2tan 7
34tan 2431tan2tan 24
134αβαβαβ-
--===++⨯，
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.
12、D
【解析】
选项A ，否命题为“若1a ≤，则21a ≤”，故A 不正确．
选项B ，逆命题为“若a b <，则22am bm <”，为假命题，故B 不正确．
选项C ，由题意知对x ∀()0,∈+∞，都有34x x <，故C 不正确．
选项D ，命题的逆否命题“若6πα=，则1sin 2α=”为真命题，故“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题，所以D 正确． 选D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、13
-
【解析】
先求导2()6(21)2e ,(0)62x f x m x f m ''=+-=-，再根据导数的几何意义，有(0)4f '=-求解. 【详解】
因为函数3()(21)2x
f x m x e =+-，
所以2()6(21)2e ,(0)62x f x m x f m ''=+-=-，
所以624m -=-， 解得13
m =-
. 故答案为：13- 【点睛】
本题考查导数的几何意义，还考查运算求解能力以及数形结合思想，属于基础题.
14、5
【解析】 先作出可行域，再做直线1:2
l y x =-
，平移l ，找到使直线在y 轴上截距最小的点，代入即得。

【详解】
作出不等式组表示的平面区域，如图，令2z x y =+，则1122y x z =-+，作出直线1:2
l y x =-，平移直线l ，由图可得，当直线经过C 点时，直线在y 轴上的截距最小，由23
x x y =⎧⎨+=⎩，可得(2,1)C ，因此2x y +的最小值为2214+⨯=.
故答案为：4
【点睛】
本题考查不含参数的线性规划问题，是基础题。

15、1
【解析】
1A ∈分别代入集合中的元素，求出值，再结合集合中元素的互异性进行取舍可解.
【详解】
依题意，分别令11m +=，()211m -=，2331m m -+=，
由集合的互异性，解得1m =，则20201m =.
故答案为：1
【点睛】
本题考查集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．确定集合中元素，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 166 【解析】
计算正四面体的高，并计算该正四面体的体积，利用等体积法，可得结果.
【详解】
作PO ⊥平面ABC ，O 为ABC ∆的重心
如图 3sin sin 602AD AB ABD a a =⋅∠=⋅=
则2333
AO AD a ==， 所以226PO AP AO =
-= 设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为x
则1
1633ABC ABC S x S PO x ∆∆⋅⋅=⋅⋅⇒= 6 【点睛】 本题考查类比推理的应用，还考查等体积法，考验理解能力以及计算能力，属基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析（2）*2,n n b n N =∈（3）见解析
【解析】
（1）令1n =可得110a S ==，即0a =．得到2
n n na S =，再利用通项公式和前n 项和的关系求解， （2）由（1）知2(1)n a n =-，*n N ∈．设等比数列{}n b 的公比为q ，所以1112n n n b b q q --==，再根据4a 恰为4S 与21
b -的等比中项求解，
（3）由（2）得到2n ≥时，111
1111121222222n n n n n n n c --=++⋯+>++⋯+++， ()112211
21222
n n n n n ----+===，求得n T ，再代入证明。

【详解】
（1）解：令1n =可得110a S ==，即0a =．所以2
n n na S =． 2n ≥时11(1)22
n n n n n na n a a S S ---=-=-，可得1(2)(1)n n n a n a --=-， 当3n ≥时112
n n a n a n --=-，所以1321222(1)n n n n n a a a a a n a a a ---=⨯⨯⨯⨯=-． 显然当1,2n =时，满足上式．所以*2(1),n a n n N =-∈．
12n n a a +∴-=，所以数列{}n a 是等差数列，
（2）由（1）知2(1)n a n =-，*n N ∈．
设等比数列{}n b 的公比为q ，所以1112n n n b b q q --==
4426,12,2a S b q ∴===，
4a 恰为4S 与21b -的等比中项，
所以2612(21)q =⨯-，
解得2q ，所以*2,n n b n N =∈
（3）2n ≥时，12n n T c c c =++⋯+，
12222311111111111112212212223221222n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⋯+++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，而2n ≥时，1111111121222222n n n n n n n c --=+
+⋯+>++⋯+++， ()112211
21222n n n n
n ----+===， 所以当2n =时，211125621312341212
T ⨯+=+++==.
当3n ≥时，122111111613123422
212n n n n T c c c -+=+++>+++++++=个，
∴对任意2n ≥，都有12613n T n ≥+，
【点睛】
本题主要考查数列的通项公式和前n 项和的关系，等差数列，等比数列的定义和性质以及数列放缩的方法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题，
18、（1）{|1x x ≤-或1}x ≥（2）(,5][1,)-∞-⋃-+∞
【解析】
（1）分类讨论去绝对值即可；
（2）根据条件分a ＜﹣3和a ≥﹣3两种情况，由[﹣2，1]⊆A 建立关于a 的不等式，然后求出a 的取值范围.
【详解】
（1）当a ＝﹣1时，f （x ）＝|x +1|.
∵f （x ）≤|2x +1|﹣1，∴当x ≤﹣1时，原不等式可化为﹣x ﹣1≤﹣2x ﹣2，∴x ≤﹣1；
当112x -<<-
时，原不等式可化为x +1≤﹣2x ﹣2，∴x ≤﹣1，此时不等式无解； 当2
1x ≥-时，原不等式可化为x +1≤2x ，∴x ≥1， 综上，原不等式的解集为{x |x ≤﹣1或x ≥1}.
（2）当a ＜﹣3时，()323333a x a g x x a a x a x +≤⎧⎪=-+<<-⎨⎪--≥-⎩
，，，，
∴函数g （x ）的值域A ＝{x |3+a ≤x ≤﹣a ﹣3}.
∵[﹣2，1]⊆A ，∴3231a a +≤-⎧⎨--≥⎩
，∴a ≤﹣5； 当a ≥﹣3时，()3323333a x g x x a x a x a +≤-⎧⎪=-+-<<-⎨⎪--≥⎩
，，
，， ∴函数g （x ）的值域A ＝{x |﹣a ﹣3≤x ≤3+a }.
∵[﹣2，1]⊆A ，∴3231a a --≤-⎧⎨+≥⎩
，∴a ≥﹣1， 综上，a 的取值范围为（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，+∞）.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法和利用集合间的关于求参数的取值范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题.
19、（Ⅰ）2cos 0ρθ-=，22222cos 3sin 60ρθρθ+-=;（Ⅱ）||AB =【解析】
（Ⅰ）根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，可得曲线C 1的极坐标方程，然后先计算曲线C 2的普通方程，最后根据极坐标与直角坐标的转化公式，可得结果.
（Ⅱ）将射线θ=
6π分别与曲线C 1和C 2极坐标方程联立，可得A ，B 的极坐标，然后简单计算，可得结果. 【详解】
（Ⅰ）()2
2221120x y x y x -+=⇒+-=
由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 所以曲线1C 的极坐标方程为2cos 0ρθ-=，
曲线2C 的普通方程为232360x y +-=
则曲线2C 的极坐标方程为22222cos 3sin 60ρθρθ+-= （Ⅱ）令(0)6πθρ=>，则1,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝
⎭， 则2222222cos 3sin 6066π
πρρ+-=，即22924ρ=，
所以2||3
OB ρ==，1||2cos 6OA πρ===，
故||||||3AB OA OB =-=
-． 【点睛】
本题考查极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的转化，以及极坐标方程中ρ的几何意义，属基础题.
20、（1）2a ≤；（2）
ln 23
【解析】 （1）求导()222111a x ax f x x x x
-+'=--+=-.根据()f x 单调，转化为210x ax -+≥对0x >恒成立求解
（2）由（1）知1x ，2x 是210x ax -+=的两个根，不妨设12x x <
，令()1224x t x a ===.
根据
522
a ≤≤，确定1142t ≤≤，将()()1212f x f x x x --转化为()()1212f x f x x x -=-12ln 1t t t +-+-. 令()12ln 1t h t t t +=-+-，用导数法研究其单调性求最值.
【详解】
（1）()f x 的定义域为()0,∞+，
()222111a x ax f x x x x
-+'=--+=-. 因为()f x 单调，所以210x ax -+≥对0x >恒成立， 所以1,0a x x x ≤+
>，恒成立， 因为12x x
+≥，当且仅当1x =时取等号， 所以2a ≤；
（2）由（1）知1x ，2x 是210x ax -+=的两个根.
从而12x x a +=，121=x x ，不妨设12x x <，
则()1224x t x a ===.
因为522
a ≤≤，所以t 为关于a 的减函数，所以1142t ≤≤. ()()1212121212
ln ln 11f x f x x x a x x x x x x --=--+-- ()121212ln ln 122ln 1
x x t x x t x x t -+=-++=-+--. 令()12ln 1t h t t t +=-+-，则()()
212ln 1t t t h t t --'=-. 因为当2a =时，()12ln f x x x x
=-+在()0,∞+上为减函数.
所以当1t <时，()1()2ln 10m x t t m t
=-+>=.
从而()0h t '<，所以()h t 在()0,1上为减函数.
所以当522
a ≤≤时，11ln 2423M m h h ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
21、（1）(1)10a x y +-+=（2）答案见解析（3）答案见解析
【解析】
（1）设曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线的斜率为k ，可求得(0)1k f a ='=+，(0)1f =，利用直线的点斜式方程即可求得答案；
（2）由（Ⅰ）知，()(1)x f x e ax a '=++，分0a =时，0a >，0a <三类讨论，即可求得各种情况下的()f x 的单调区间为；
（3）分0a =与0a ≠两类讨论，即可判断函数()f x 的零点个数．
【详解】
（1）()(1)x f x e ax =+，
()(1)(1)x x x f x e ax ae e ax a ∴'=++=++，
设曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线的斜率为k ，
则0(0)(1)(1)1x x k f e ax ae e a a ='=++=+=+，
又(0)1f =，
∴曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线方程为：1(1)y a x -=+，即(1)10a x y +-+=；
（2）由（1）知，()(1)x f x e ax a '=++，
故当0a =时，()0x f x e '=>，所以()f x 在R 上单调递增；
当0a >时，1(,)a x a +∈-∞-，()0f x '<；1(a x a
+∈-，)+∞，()0f x '>； ()f x ∴的递减区间为1(,)a a +-∞-，递增区间为1(a a
+-，)+∞； 当0a <时，同理可得()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-，递减区间为1(a a +-，)+∞； 综上所述，0a =时，()f x 单调递增为(,)-∞+∞，无递减区间；
当0a >时，()f x 的递减区间为1(,)a a +-∞-，递增区间为1(a a +-，)+∞； 当0a <时，()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-，递减区间为1(a a
+-，)+∞； （3）当0a =时，()0x f x e =>恒成立，所以()f x 无零点；
当0a ≠时，由()(1)0x f x e ax =+=，得：1x a
=-
，只有一个零点． 【点睛】 本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与推理、运算能力，属于中档题．
22、（1）30；（2）()()E Y E X >，比较划算.
【解析】
（1）由频率和为1求出0.032a =，根据a 的值求出保费的平均值3.35x ，然后解一元一次不等式3.35100x ≥ 即可求出结果，最后取近似值即可；
（2）分别计算参保与不参保时的期望()E X ，()E Y ，比较大小即可.
【详解】
解:（1）由()0. 0070.0160.0250.020101a ⨯++++=，
解得0.032a =.
保险公司每年收取的保费为:
()100000.070.1620.32 3.0.2540.20510000 3.35x x x x x x +⨯+⨯+⨯+⨯=⨯
∴要使公司不亏本，则10000 3.351000000x ⨯≥，即3.35100x ≥ 解得10029.85,3.35
x ≥≈ ∴030x =.
（2）①若该老人购买了此项保险，则X 的取值为150, 2150.
()()491,215050 10550P P X X ==
== ∴491()1502150147431905050
E X =⨯+⨯=+=(元). ②若该老人没有购买此项保险，则Y 的取值为0. 12000.
()()4910,120005050
P Y P Y ====
∴
491
()012000240
5050
E Y=⨯+⨯=(元). ()()
E Y E X
>
∴年龄为66的该老人购买此项保险比较划算.
【点睛】
本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力，掌握频率分布直方图的基本性质，知道数学期望是平均数的另一种数学语言，为容易题.。