数学12应用举例人教A版必修5课件1

西
B
A东
思考3：在上述条件下，若在A处还测得 山顶D的方位角是西偏北θ方向，能否求 出此山的高度？
问题提出
1.测量水平面内两点间的距离，有哪两 种类型？分别测量哪些数据？
一个可到达点与一个不可到达点之间的 距离；两个不可到达点之间的距离.
基线长和张角.
2.测量物体的高度时，对角的测量有哪几种类型？ 在实际问题中如何选择？
北
东C
甲船的航行速度
B A
思考4：在上述问题中，若甲船的航速为 20 3 n mile/h，那么甲船应沿什么方向 航行才能与乙船在C处相遇？
北 东C
B A
沿北偏东30°的方向航行
探究（二）：测量相对位置
思考1：甲船在A处，乙船在点A的东偏南45°
方向，且与甲船相距9 n mile的B处.在点B南
处，测得C、D间的距离是21km；问这个人还
要走多远才能到达A城？
北
A 15
东
D
C
B
问题提出
1.测量一个可到达点与一个不可到达点 之间的距离，应如何测量和计算？
B
A C
2.测量两个不可到达点之间的距离，应如何 测量和计算？
A
B
D
C
3.竖直方向两点间的距离，通常称为高度.如
何测量顶部或底部不可到达的物体的高度，
飞机与山顶的海拔差
A
思考2：如图，设飞机在飞临山顶前，在 B、C两处测得山顶A的俯角分别是α、β， B、C两点的飞行距离为a，飞机的海拔飞 行高度是H，那么山顶的海拔高度h的计 算公式n
H
a sin sin sin( )
探究（三）：借助方位角测量高度
思考1：一辆汽车在一条水平的公路上向正西
问题提出
1.正弦定理和余弦定理的基本公式是什么？
a
b
c
2R
sin A sin B sinC
c2 a2 b2 2ab cosC
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪些类型的三角形？
正弦定理：一边两角或两边与对角；
余弦定理：两边与夹角或三边.
3.在平面几何中，两点间的距离就是连接这两点的线段长. 对于不可以直接度量的两点间的距离，通常用什么办法进 行计算？
构造三角形
4.在测量问题中，对于可到达的点之间的距离，一般直 接度量，对于不可到达的两点间的距离，常在特定情境 下通过解三角形进行计算，我们将对这类问题作些实例 分析.
距离测量问题 探究（一）：一个不可到达点的距离测量
思考1：如图，设A、B两点在河的两岸， 测量者在点A的同侧，在点A所在河岸边选定一点C，若测 出A、C的距离是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°，如何求 出A、B两点的距离？
B
AB 55sin 75
A
65.7
C
sin 54
思考2：若改变点C的位置，哪些相关数据可 能会发生变化？对计算A、B两点的距离是否 有影响？
A
D
C
B
点C、D观察A的仰角和CD的长
思考3：设在点C、D出测得A的仰角分别 为α、β，CD=a，测角仪器的高度为h， 那么建筑物高度AB的计算公式是什么？
A
D
C
B
AB AC sin
h a sin sin h sin( )
思考4：如图，在山顶上有一座铁塔BC， 塔顶和塔底都可到达，A为地面上一点， 通过测量哪些数据，可以计算出山顶的 高度？
S 1 ac sin B 511.4(cm2 ) 2
思考3：能否用三角形的三边长为a，b， c表示三角形的面积S？
S p(p a)(p b)(p c)
p
1 2
(a
b
c)
探究（二）：三角形内角的计算
思考1：在△ABC中，若sinA︰sinB︰ sinC=5︰7︰8，则角B的值为多少？
60°
思考2：在△ABC中，若 则角A的值为多少？
三角形中的三角变换
探究（一）：三角形面积的计算
思考1：在△ABC中，若B=62.7°， C=65.8°，b=3.16cm，如何求三角形的 面积？
S 1 bc sin A b2 sinC sin A 4(cm2)
2
2 sin B
思考2：在△ABC中，若a=41.4cm， b=27.3cm，c=38.7cm，如何求三角形的 面积？
也是一个值得探究的问题.
高度测量问题 探究（一）：利用仰角测量高度
思考1：设AB是一个底部不可到达的竖直建筑物，A为建筑 物的最高点，在水平面上取一点C，可以测得点A的仰角， 若计算建筑物AB的高度，还需解决什么问题？
A
计算AC的长
C
B
思考2：取水平基线CD，只要测量出哪些 数据就可计算出AC的长？
B
A C
思考3：一般地，若A为可到达点，B为不可到 达点，应如何设计测量方案计算A、B两点的 距离？
B
A C
选定一个可到达点C； →测量AC的距离及∠BAC，∠ACB的大小 →利用正弦定理求AB的距离.
思考4：根据上述测量方案设置相关数据， 计算A、B两点的距离公式是什么？
B
A
C
设AC=d，
∠ACB=α， AB
偏西15°方向有一个小岛C，甲、乙两船分别
以28 n mile/h和20 n mile/h的速度同时向
小岛直线航行，并同时达到小岛，那么B处与
小岛的距离是多少？
北
A
东
15 海里
B
C
思考2：在A处观察小岛，其位置如何？
北
A
东
B
C
南偏东7°，相距21海里
理论迁移
例 在A处有一条小船，在点A的北偏东
30°方向有一个小岛B，这附近海域内有
A、B两点间的距离吗？ A
B
选定两个可到达点C、D；D
C
→测量C、D间的距离及∠ACB、∠ACD、
∠BDC、∠ADB的大小；
→利用正弦定理求AC和BC；
→利用余弦定理求AB.
思考3：在上述测量方案中，设CD=a，
∠ACB=α，∠ACD=β，∠BDC=γ，
∠ADB=δ，那么AC和BC的计算公式是什
么？
d sin
∠BAC=β.
sin( )
探究（二）：两个不可到达点的距离测量
思考1：如图，在四边形ABCD中，已知
∠BAC＝∠DBC＝45°，∠DAC＝75°，
∠ABD＝30°，且AB＝ 3 ，你能求出CD
边的长吗？
D
5C
75°45°
A
45°
30°
B
3
思考2：设A、B两点都在河的对岸（不
可到达），你能设计一个测量方案计算
B
C
A
思考5：设在点A处测得点B、C的仰角分 别为α、β，铁塔的高BC=a，测角仪的 高度忽略不计，那么山顶高度CD的计算 公式是什么？ B
C
D
CD AC sin
A
a cos sin sin( )
探究（二）：利用俯角测量高度
思考1：飞机的海拔飞行高度是可知的， 若飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面 内，飞机在水平飞行中测量山顶的高度， 关键是求出哪个数据？
方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶
D在西偏北15°方向上，行驶5km后到达B处，
测得此山顶在西偏北25°方向上，仰角为8°，
根据这些测量数据计算，此山的高度约是多
少？
D
1047m
C
西
B
A东
思考2：若在A、B两处测得山顶D的仰角 分别为α、β，从A到B的行驶距离为a， 能否求出此山的高度？
D
C
3.如果角或距离不能直接利用正、余弦定理求解， 就用方程思想处理.
问题提出
1.三角形中有一系列基本定理和公式， 其中包括内角和定理，勾股定理，正弦 定理，余弦定理，射影定理，面积公式 等，这些知识是解决三角形问题的基本 理论依据.
2.以三角形为背景的数学问题，除了解 三角形和测量问题外，还有与三角函数 相关联的三角变换问题，我们将对这类 问题作些分析与探究.
北偏东60°方向，且速度为4 nmile/h的
潮流.已知小船的航速是10 nmile/h，若
使小船在最短的时间内达到小岛，小船
应沿什么方向航行？ 北
东
B
北偏东 18.46°
C
A
总结
1.利用正弦定理和余弦定理解三角形求角的大小， 是角度测量问题的基本内容，主要应用于航海中航 行方向的测量与计算.
2.角与距离是密切相关的，将背景材料中的相关数 据转化为三角形的边角值，再利用正、余弦定理求 相关角的大小，是解题的基本思路.
等腰三角形或直角三角形
探究（四）：三角恒等式证明
思考1：在△ABC中，如何证明
a2 b2 c2
sin2 A sin2 B sin2 C
？
思考2：在△ABC中，如何证明
a2 b2 c2 2(bc cos A ca cos B ab cosC )
tan A tan A
tan B tan B
b c c，
120°
探究（三）：三角形形状的确定
思考1：在△ABC中，若acosB=bcosA，则 △ABC的形状如何？ 等腰三角形
思考2：在△ABC中，若B=60°，且b2=ac， 则△ABC的形状如何？
正三角形 思考3：在△ABC中，若 a2 tanB b2 tanA ， 则△ABC的形状如何？
北 东 C
AC=113.15海里 B A
思考2：在上述问题中，若海轮直接从海 港A出发，直线航行到海岛C，如何确定 海轮的航行方向？
北 东 C
B A
沿北偏东56°的方向航行
思考3：甲船在A处发现乙船在北偏东 60°的B处，以20 n mile/h的速度向正 北方向航行，若使甲船在直线航行中， 与乙船在某处相遇，那么甲船的航行方 向由什么因素所确定？
A
B
AC
a sin( sin(
) )
BC
a sin
D
C
sin(
)
思考4：测量两个不可到达点之间的距 离还有别的测量方法吗？
理论迁移
例 某观测站C在城A的南偏西20°方向，
由城A出发的一条公路沿南偏东40°方向笔
直延伸.在C处测得公路上B处有一人与观测
站C相距31km，此人沿公路走了20km后到达D
仰角、俯角或方位角.
在地面测仰角， 在空中测俯角， 在行进中测方位角.
3.角度是三角形的基本元素，是反映实际问题中 物体方向的几何量，根据相关数据计算角的大小， 也是测量问题中的一个重要内容.
角度测量问题
探究（一）：测量行进方向 思考1：一艘海轮从海港A出发，沿北偏东75°的方向航行 67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32° 的方向航行54.0 n mile后到达海岛C，那么A、C 两点间 的直线距离是否确定？如何计算？