空间向量的数量积运算教案

3．1.3 空间向量的数量积运算
【课标要求】
1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律．
2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题． 【核心扫描】
1．空间向量的数量积运算．(重点)
2．利用空间向量的数量积求夹角及距离．(难点) 3．空间向量数量积的运算律．(易错点)
自学导引
1．空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角
记法 〈a ，b 〉
范围
[0，π]．当〈a ，b 〉＝π
2
时，a ⊥b
提示 〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉，〈a ，－b 〉＝π－〈a ，b 〉． 2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b . (2)数量积的运算律
数乘向量与向量 数量积的结合律
(λa )·b ＝λ(a·b ) 交换律 a·b ＝b·a 分配律
a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c
(3)两个向量数
量积的性质 (1)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a·b ＝0.
(2)若a 与b 同向，则a·b ＝|a|·|b|；
提示数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cos θ的乘积．
名师点睛
1．空间向量夹角的理解
(1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]；
(2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角在(0，π
2]内，利用向量求两异面直
线夹角时注意转化，两异面直线的夹角余弦值一定为非负数．
2．平面向量与空间向量数量积的关系
由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平面向量相同．3．空间向量数量积的应用
由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以立体几何中的许多问题，如距离、夹角、垂直等问题的求解，都可借助于向量的数量积运算解决．
(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，则cos〈a，b〉＝a·b
|a||b|，可用来求两个向量的夹角．
(2)a⊥b⇔a·b＝0，用于判断两个向量的垂直．
(3)|a|2＝a·a，用于对向量模的计算，求两点间的距离或线段的长度．
注意：①数量积运算不满足消去律
若a，b，c(b≠0)为实数，则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量就不正确，即a·b＝b·c(b≠0)⇒/ a＝c.
②数量积运算不满足结合律
数量积的运算只适合交换律，分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c 与a不一定共线．
问题一：利用数量积求两点间的距离
例1已知向量b a ⊥，向量c 与b a ,的夹角都是
60，且,3,2,1===c b a 试求 （1）b a
+ （2）2)(c b a -+
思路：利用向量的平方等于模长的平方求解，老师先复习平面向量的基本知识，然后引导学生这两个例题，第一个稍微对下答案，第二个引导学生如何将三个向量的平方展开，中心思想就是将前面两个看成一个数，然后利用完全平方和展开.
变式练习如图所示，平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．(学生上黑板演练，老师公布答案)
[思路探索] 利用|AC 1→|2＝AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→
)2求解． 解 因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→
， 所以AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2
＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→)． 因为∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，
所以〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60° 所以AC 1→
2＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为AC 1→2＝|AC 1→
|2，
所以|AC 1→|2＝23，|AC 1→
|＝23，即AC 1＝23.
规律方法 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a·a 求解即可．
问题二：求数量积
例2：如图所示，已知正四面体O-ABC 的棱长为 1，求OB OA ⋅、AB ·
OC .（第一个请学生回答，第二个引导学生发现直接找两个向量的夹角是行
不通的，所以要将两个向量用其他向量表示，将未知向量转化成已知向量，最好是化成同起点的已知向量，更能方表找到夹角）
解：2
1
60cos =
=⋅
OB OA OB OA ,OA OB AB -=
0)(=⋅-=⋅∴OC OA OB OC AB
变式变式练习:已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，F 为A 1D 1的中点，试计算：
BD · AF （学生自主完成，喊通学生黑板演练，适当讲评，总
结一般在六面体中其他向量基本装化成同起点的三条棱为基本向量）
探究：利用数量积求夹角
如图所示，已知S 是边长为1的正三角形ABC 所在平面外一点，且
SA ＝SB ＝SC ＝1，M 、N 分别是AB 、SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值．（学生自主探究，引导学生发现求夹角可以转化成求数量积和求模长两个问题）
解 设SA →＝a ，SB →＝b ，SC →
＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ，b ，c 三个向量两两夹角均为60°， ∴a·b ＝b·c ＝a·c ＝12
.
∵SM →·BN →＝12(SA →＋SB →)·(SN →－SB →)
＝12(a ＋b )·(12c －b ) ＝12(12a·c －a·b ＋12b ·c －b 2) ＝12(12×12－12＋12×12－1)＝－12
. ∴cos 〈SM →，BN →
〉＝SM →·BN →|SM →|·|BN →|＝－1
232·
32＝－23.
所以，异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为2
3
.
思路探索] 可先求向量OA →与BC →
的夹角，再根据异面直线的夹角与向量的夹角之间的关系得出最后结果．
规律方法 在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补
六．小结（1）夹角、空间向量数量积、运算律
（2）夹角、距离的求法 (五)课后巩固:
1.已知空间四边形ABCD ，求AB →·CD →
＋BC →·AD →
＋CA →·BD →
的值．
2.空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π
3
，则cos 〈OA ，
BC 〉的值为( )．
A ．12
B ．22
C ．－1
2 D ．0
3 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求B 、D 间的距离．。