高三数学一轮复习知识点讲解5-4三角恒等变换

高三数学一轮复习知识点讲解
专题5.4 三角恒等变换
【考纲解读与核心素养】
1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.
2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.
3.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.
4.高考预测：
（1）和（差）角公式； （2）二倍角公式；
（3）和差倍半的三角函数公式的综合应用.
（4）对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用（正用、逆用、变用）、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查. 5.备考重点：
(1) 掌握和差倍半的三角函数公式； (2) 掌握三角函数恒等变换的常用技巧.
【知识清单】
知识点1．两角和与差的三角函数公式 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；
T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β.
变形公式：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
)4
sin(2cos sin π
ααα±=±.
函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2
＋b 2
sin(α＋φ)或f(α)＝a 2
＋b
2
cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 知识点2．二倍角公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝2tan α
1－tan 2α.
变形公式：
cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α
2
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
【典例剖析】
高频考点一 两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用
【典例1】（2020·湖南娄星�娄底一中高一期末）已知α为锐角，且3
cos()65
π
α+
=，则sin α=（ ）
A B C D 【答案】B 【解析】 ∵cos （α6π+）3
5
=（α为锐角）， ∴α6
π
+
为锐角， ∴sin （α6π+）4
5
=，
∴sin α＝sin[（α6π+）6π-]＝sin （α6π+）cos 6π-cos （α6π+）sin 6
π
431552=
-⨯=
故选B ．
【典例2】（2020·山东聊城�高一期末）角α的终边与单位圆的交点坐标为1
)2
，将α的终边绕原点顺时针旋转
34
π
，得到角β，则cos()αβ+=（ ）
A B C D ．0
【答案】A 【解析】
由角α的终边经过点1)2，得1sin ,cos 2αα==
， 因为角β的终边是由角α的终边顺时针旋转
34
π
得到的，
所以3331sin sin()sin cos cos sin (4442πππβααα=-=-=⨯=
3331cos cos()cos cos sin sin (4442πππβααα=-
=++=
1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-=
， 故选：A .
【典例3】（2020·广东高一期末）已知函数f （x ）＝sin （ωx +512π）﹣cos （ωx +512
π）（0＜ω＜6）的图象关于直线x ＝1对称，则满足条件的ω的值为（ ） A ．
6
π
B ．
3
π C ．
43
π D ．
73
π
【答案】BC 【解析】
因为5()))1246
f x x x πππωω=+
-=+， 由62
x k ωππ
+
=π+，k Z ∈， 因为06ω<<，所以x =k πω3π
ω
+，k Z ∈， 由题意可得
13k ππωω+=，k Z ∈，得3
k πωπ=+，k Z ∈， 因为06ω<<，所以ω=3π
或43
πω=
. 故选：BC. 【规律方法】
1.三角函数求值的两种类型：
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
2.三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
3.给值求角问题，解题的一般步骤是：
(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；
(2)根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；
(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．
【变式探究】
1.（2019·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，终边分别
是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为
34
,
55
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，(1,0)
C-.若
6
BOC
π
∠=，则
()
cosβα
-的值是( )
A 343
-
B
343
+
C．4-33
10
D．
433
10
+
【答案】C 【解析】
依题意，有：3
cos 5α=
，4sin 5α，cos 32
β=-，1sin 2β=，
()cos βα-＝3314433cos cos sin sin 2
5
25
10
βαβα-+=-⨯+⨯=.
故答案为：C.
2. （2019·江西高考模拟（文））如图，点A 为单位圆上一点， 3
XOA π
∠= 点A 沿单位圆逆时针方向旋
转角α到点B(-
45，3
5
)则cos α=( )
A ．
334
10
B ．
433
10
+ C 343
- D ．
343
10
+ 【答案】A 【解析】
由题意得：43cos ,sin 3535ππαα⎛⎫⎛
⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫∴=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦13cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭1433334255-⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭故选A
3.（2019·河南鹤壁高中高考模拟（文））平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 是单位圆在第一象限内的点，xOP α∠=，若11cos 313
απ⎛⎫+
=- ⎪⎝⎭，则00y x +为_____． 【答案】
1531
26
【解析】
由题意知：0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，5,336π
παπ⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭，由11cos 313απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得43
sin 313πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭， 0sin sin sin cos cos sin 333333y ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫==+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
431113153
13213226
=
⋅+⋅=
0cos cos cos cos sin sin 333333x ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
1114331
13213226
-=
⋅+⋅=
0015311531262626x y ++=
+=
，故答案为：1531
26
+. 【总结提升】
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
高频考点二 两角和与差的正切公式的应用
【典例4】（2020·山西应县一中高一期中（理））若45A B +=︒,则(1tan )(1tan )A B ++=______,应用此结论求()()()()1tan11tan21tan431tan44+︒+︒+︒+︒的值为______.
【答案】2 222 【解析】
45A B += ()tan tan tan 11tan tan A B
A B A B
+∴+=
=-，即tan tan tan tan 1A B A B ++=
()()1tan 1tan 1tan tan tan tan 2A B A B A B ∴++=+++=
()()()()22
1tan1
1tan 21tan 431tan 442
++⋅⋅⋅++∴=
故答案为：2；222
【典例5】（2018年全国卷II 文）已知
，则
__________．
【答案】. 【解析】
，
解方程得.
【规律方法】
1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．
提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；
若α，β中有一角是k π＋π
2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简． 【变式探究】
1.（2019·黑龙江哈尔滨三中高考模拟（理））已知α是第二象限角，且3
sin()5
πα+=-，则tan 2α的值为（ ） A ．
45
B ．237
-
C ．247
-
D ．249
-
【答案】C
【解析】 由()3sin 5πα+=-
，得3sin 5
α=. 因为α是第二象限角，所以4
cos 5
α=-
. 3
4
sin tan cos ααα=
=-. 232tan 242tan291tan 7
116
ααα-
==
=---.
故选C.
2.（2019·四川高考模拟（理））已知4cos 5=-
α，()π,0∈-α，则πtan 4⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭α( )
A ．1
7 B ．7 C ．17
-
D ．7-
【答案】C 【解析】
4
cos ,(,0)5
a απ=-∈-
∴(,)2
π
απ∈--
33
sin ,tan 54
αα∴=-=
则tan 1tan 41tan πααα
-⎛⎫
-
= ⎪
+⎝
⎭ 31
1
43714
-==-+
故选：C ． 【总结提升】
1.“1”的代换：在T α±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的． 2．若α＋β＝π
4
＋k π，k ∈Z ，则有(1＋tan α)(1＋tan β)＝2．
3．若化简的式子里出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式． 高频考点三 二倍（半）角公式的应用
【典例6】（2020·全国高考真题（文））若2
sin 3
x =-
，则cos2x =__________． 【答案】
19
【解析】
22281
cos 212sin 12()1399
x x =-=-⨯-=-=.
故答案为：
19
. 【典例7】（2020·浙江高一期末）已知(,2)αππ∈，若3tan 4α=
，则tan()4πα+=__；2cos 2
α
=__. 【答案】7 1
10
【解析】
因为(,2)αππ∈，若3tan 4
α=
， 故可得sin 35α=-，cos 4
5
α=-.
则tan 7
1471414
tan tan πααα+⎛
⎫+=
== ⎪-⎝⎭
； 2
cos 2
α
=
()1111122510
cos α+=⨯=. 故答案为：7；
1
10
. 【典例8】(2019年高考全国Ⅰ卷文)函数3π
()sin(2)3cos 2
f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-
【解析】23π
()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12
f x x x x x x x =+
-=--=--+ 2317
2(cos )48
x =-++，
1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，
故函数()f x 的最小值为4-． 【总结提升】
1.转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，3
2，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”
构造适合公式的形式．
2.已知θ的某个三角函数值，求θ
2
的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三
角函数值；(2)代入半角公式计算即可 【变式探究】
1.（2020·海南枫叶国际学校高一期中）若3cos 22sin(
)4
π
αα=-，(,)2
π
απ∈则sin 2α的值为( )
A
．9
-
B
．9
-
C ．79
-
D ．
79
【答案】C 【解析】
因为3cos 22sin()4π
αα=-，
所以3cos 22(sin
cos cos
sin )sin )4
4
ππ
ααααα=-=-，
223(cos sin )sin )αααα-=-，
3(cos sin )(cos sin )sin )αααααα+-=-，
因为(,)2π
απ∈，所以cos sin 0αα-≠，
所以3(cos sin )α
α+=
所以cos sin 3
αα+=
， 两边平方得，212cos sin 9
αα+= 所以7sin 29
α=-， 故选：C
2.（2020·河南林州一中高一月考）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x
轴的非负半轴重合，终边经过点
(P -.
（Ⅰ）求tan()sin()2
cos()sin(3)
π
ααπαπα-++---的值； （Ⅱ）求tan 2tan 2α
α+的值.
【答案】（Ⅰ）2
3
-；（Ⅱ）2
【解析】
（Ⅰ）由题意得：1sin ,cos tan 2ααα=
== 原式tan cos (cos )sin αααα-+=
-
⋅23==-
（Ⅱ）2
2tan tan 21tan ααα
=
=-
1
sin tan 221cos ααα===+
tan 2tan
2
α
α+=2．
【特别提醒】 1.倍角的含义：
对于“二倍角”应该有广义的理解，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，8α是4α的二倍角，α是α
2的二
倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． 2．公式的适用条件：
在S 2α，C 2α中，α∈R ，在T 2α中，α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2(k ∈Z )，当α＝k π＋π
2(k ∈Z )时，tan α不存在，求tan2α
的值可采用诱导公式．
高频考点四 简单的三角恒等变换---化简与证明
【典例9】（2020·浙江吴兴�湖州中学高三其他）已知02
π
α<<
，4sin 5α
，1
tan()3
αβ-=-，则tan β=_______
；
sin()
)
4
βππ
β+=
+__.
【答案】3 3
2
【解析】 因为02
π
α<<，4sin 5α
，所以3cos 5
α===， 所以sin 4tan cos 3
ααα=
=，
因为1tan()3
αβ-=-
所以tan tan()
tan tan[()]1tan tan()
ααββααβααβ--=--=
+-
415()
33334151()339--===+⨯-，
所以sin()sin tan 33
cos sin 1tan 132
)4
βπββπ
ββββ+---====
---+， 故答案为：3；
32
. 【典例10】求证：α
α
παcos 1
)
2
4tan(1tan =
++
. 【答案】见解析
【解析】左边＝sin αcos α＋)
2
4sin()24cos(α
πα
π++ )
24sin(cos )
24cos(cos )24sin(sin α
παα
πααπα++++=
)
2
4sin(cos )
24cos(α
πααα
π+-+=
)
2
4sin(cos )
2
4cos(α
παα
π+-=
==
++=
α
α
παα
πcos 1
)
2
4sin(cos )
2
4sin(＝右边． 故原式得证． 【总结提升】
1.三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．
2．三角函数式的化简遵循的三个原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．
(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．
(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．
3．三角恒等式的证明方法
(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．
(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．
(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．
提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．
【变式探究】
1.（2018届河南省郑州外国语学校高三第十五次调研）已知，满足
，则的最大值为______.
【答案】.
【解析】由，
得
化为
，
，
，
的最大值为，
故答案为.
2.将下列三角函数解析式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的形式． (1)f (x )＝2cos x 2(3sin x 2＋cos x
2
)－1；
(2)f (x )＝22cos(x ＋π4)cos(x －π
4)＋22sin x cos x ．
【答案】见解析
【解析】思路分析：先将f (x )利用三角恒等变换化为a sin x ＋b cos x 的形式，再利用辅助角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的形式
详解：(1)f (x )＝23sin x 2cos x 2＋2cos 2x 2－1＝3sin x ＋cos x ＝2(sin x cos π6＋cos x sin π6)＝2sin(x ＋π
6
)．
(2)f (x )＝22(cos x cos π4－sin x sin π4)·(cos x cos π4＋sin x sin π
4)＋2sin2x ＝2(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )＋2sin2x ＝2
cos2x ＋2sin2x ＝2sin(2x ＋π
4)．
【总结提升】
将三角函数y ＝f (x )化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的步骤
(1)将sin x cos x 运用二倍角公式化为1
2sin2x ，对sin 2x ，cos 2x 运用降幂公式，sin(x ±α)，cos(x ±α)运用两角和与
差的公式展开．
(2)将(1)中得到的式子利用a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2·sin(α＋φ)化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的形式．。