北京第十八中学高三数学第一轮复习 40 两角和与差的三角函数(2)教学案(教师版)

北京第十八中学高三数学第一轮复习 40 两角和与差的三角
函数（2）教学案（教师版）
一、课前检测
1. 化简x y x x y x cos )cos(sin )sin(+++等于____________ 答案：y cos 2．已知 παβπ
432<<<，1312)cos(=-βα，5
3
)sin(-=+βα，求β2cos 的值
3．已知54)4cos(-=+
π
α，παπ4
3
4<<，则αcos 的值为______________ 答案：10
2-
二、知识梳理
1．辅助角公式：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
++++=+x b a b x b a a b a x b x a cos sin cos sin 2
22222 )sin()sin cos cos (sin 2222ϕϕϕ+⋅+=⋅+⋅+=x b a x x b a (其中,辅助角ϕ所在象限由
点(,)a b 所在的象限决定,tan b
a
ϕ= ). 常用结论 )4sin(2cos sin π
+
=
+x x x )4
sin(2cos sin π
-=-x x x
解读：
2．ABC ∆中,易得：A B C π++=,①
sin sin()A B C =+,cos cos()A B C =-+,tan tan()A B C =-+.②
2
2
sin
cos
A B C +=,2
2
cos
sin
A B C +=
解读：
三、典型例题分析 例1．已知1cos 7α=
，11cos()14αβ+=-，(0,)2πα∈ ，(,)2
παβπ+∈求β的值．
解：∵1cos 7α=
，(0,)2
π
α∈，∴sin 7α=，
又∵11cos()14αβ+=-
，(,)2
π
αβπ+∈
，∴sin 14α=，
∵1
cos cos[()]cos()cos sin()sin 2
βαβααβααβα=+-=+++=， 又∵(0,)2π
α∈ ，(,)2παβπ+∈，(0,)βπ∈ ∴3
π
β=
变式训练 是否存在两个锐角,αβ满足（1）223παβ+=
；（2
）tan tan 22
α
β⋅=成立，若存在，求出,αβ的值；若不存在，说明理由．
解：由（1）得
2
3
α
π
β+=
tan
tan 2
tan(
)2
1tan
tan 2
α
β
α
βα
β
+=+=
-，
∴tan tan 22tan tan 32
α
βαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，
∴tan 22tan 1αβ⎧=⎪⎨⎪=⎩
或tan 2tan 12
βα
⎧=⎪⎨=⎪⎩（∵024απ<<，∴tan 12α≠，舍去）， ∴64
παπβ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为所求满足条件的两个锐角．
小结与拓展：
例2．化简 （1）
x x sin 2
3cos 21- （2）x x cos sin 3+ 答案：)3
cos(x -π )6
sin(2π
+
x
（3）)cos (sin 2x x - （4）x x sin 6cos 2- 答案：)4
sin(2π
-
x )3
cos(22π
+
x
变式训练：
求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］· 80sin 22的值.
解：原式=︒⋅⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛
︒︒+⨯︒+︒80sin 210cos 10sin 3110sin 50sin 2
=︒⋅︒
︒
+︒⨯
︒+︒80sin 2)10cos 10sin 310cos 10sin 50sin 2(
=︒⋅⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎣⎡︒︒+︒⨯︒+︒10cos 210cos 10sin 23
10cos 2
110sin 250sin 2 =︒⋅⎪⎭
⎫
⎝
⎛
︒︒︒+
︒10cos 210cos 40sin 10sin 250sin 2
=
︒=︒⋅︒
︒
60sin 2210cos 210cos 60sin 2 =.623
22=⨯
小结与拓展：
例3．已知圆42
2
=+y x ，求圆上点到直线0534=+-y x 的最短距离和最大距离 答案：最短距离：0 最大距离：3
变式训练：在椭圆14
92
2=+y x 上求一点M ，使点M 到直线0102=-+y x 的距离最小，并求出最小距离 答案：5
小结与拓展：
四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1.知识：
2.思想与方法：
3.易错点：
4.教学反思（不足并查漏）：。