最新高三数学(理)一轮复习考点规范练第四章三角函数解三角形单元质检四A及解析

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2023版高考数学一轮总复习第四章三角函数解三角形第四讲正余弦定理及解三角形课件理

俯角
下方
线______的叫作俯角
.
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间
的水平夹角叫作方位角.
图形表示
• 考点
2
术语名称
方向角
• 解三角形的实际应用
术语意义
图形表示
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表
达为北(南)偏东(西)α.
北偏东α
坡角
坡面与水平面的夹角.
坡度
坡面的垂直高度h和水平宽度l的比.

bsin B=4csin C,cos A=- ,则 = (
)
4

• A.6
B.5
C.4
D.3
A
• (3)[2017全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin
A·(sin C-cos C)=0,a=2,c= 2,则C= (
)
•
π
A.
12
π
B.
6
π
C.
4
π
D.
3
B
2R
2Rsin B
变形
余弦定理

2
2Rsin C

2
2 + 2 −2
2
2
+2 − 2
2
• 考点
1
• 注意
• 正、余弦定理
已知a,b和A,解的情况如下:
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系
式
解的
个数
a<bsin A
a=bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
a≤b

高考数学一轮复习第4章三角函数、解三角形4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质练习(含解析)苏教版

课时作业19 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质一、填空题1．设f (x )＝sin 2x ，若f (x ＋t )⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<t <π2是偶函数，则t 的值为__________．2．(2012届江苏无锡高三第一学期期末考试)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π，且函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0对称，则函数解析式为________． 3．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，则所得的图象的函数解析式为__________．4．使函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0,1]上至少出现两次最大值，则ω的最小值为__________．5．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3π2 (x ∈ [0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是________．6．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的图象如图所示，则φ＝__________.7．(2012课标全国高考改编)已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________.8．设函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝__________.9．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则结论：①f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12；②f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上是减函数；③f (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0；④f (x )的最大值是A .其中正确的是__________．二、解答题10．已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．11.(2012湖南高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间． 12．(2012江苏江阴中学月考)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12. (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．参考答案一、填空题 1.π4或－π4 解析：由f (x ＋t )＝sin 2(x ＋t )＝sin(2x ＋2t )是偶函数，得2t ＝k π＋π2，∴t ＝k π2＋π4(k ∈Z )，∵－π2＜t ＜π2，∴t ＝－π4或π4.2．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3 解析：由y ＝sin(Ωx ＋φ)(Ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π知，Ω＝2.又图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0对称，则sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，所以φ－2π3＝k π，即φ＝k π＋2π3(k ∈Z )．又由0＜φ＜π知，φ＝23π，所以函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3. 3．y ＝sin 4x 4.5π2解析：要使y ＝sin Ωx (Ω＞0)在区间[0,1]上至少出现2次最大值，只需要54·2πω≤1，所以Ω≥5π2.从而Ωmin ＝5π2. 5．2 解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3π2＝sin x 2(x ∈ [0,2π])，画出图象可得在[0,2π]上它们有2个交点．6.9π10 解析：由题图可知函数的半周期为2π－3π4＝5π4⇒T ＝5π2⇒Ω＝45，进而有y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＋φ，将点(2π，1)代入有8π5＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ⇒φ＝2k π－11π10，k ∈Z ，由于－π≤φ＜π，所以令k ＝1得φ＝9π10.7.π4 解析：由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故Ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)．令x ＋φ＝k π＋π2，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4，∵0＜φ＜π，∴φ＝π4.8．－π6解析：因为函数图象的对称中心是其与x 轴的交点，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3＝0，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，解得x 0＝－π6. 9．③ 解析：因为T ＝π，所以Ω＝2.又对称轴为x ＝2π3，所以2×2π3＋φ＝k π＋π2.因为|φ|＜π2，所以φ＝π6.所以函数y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0.因为A 的大小、符号不确定，故只有③正确．二、解答题10．解：(1)∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x＝2⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈ [0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.故当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2；当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.11．解：(1)由题设图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，所以Ω＝2πT＝2，因为点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝0. 又因为0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π3，从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin 2x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝sin 2x －3c os 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 12．解：(1)因为f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，所以f (x )＝12sin 2x sin φ＋1＋cos 2x 2cos φ－12cos φ＝12sin 2x sin φ＋12cos 2x cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ)＝12cos(2x －φ)．又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，所以12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1.又0＜φ＜π，所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，可知g (x )＝f (2x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以4x ∈ [0，π]，因此4x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，故－12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3≤1. 所以y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值分别为12和－14.。

2024届高考数学一轮复习第四章《三角函数与解三角形》专项突破二三角函数与解三角形

记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，， .已知， .
（1）求的面积；
[答案] 规范答题由题意得 , , ，阅卷得分：正确利用面积公式写出三个正三角形的面积，收获1分；则，即，阅卷得分：根据三个正三角形面积之间的关系求出，，之间的关系，收获2分；由余弦定理的推论，得，阅卷得分：利用余弦定理的推论得出，收获2分；则，又，则，，
2. （2022湖北荆州高三四模）在中，角 , , 所对的边分别为 , , ，，，延长至，使，的面积为 .
（1）求的长；
[解析] 由及余弦定理的推论得，因为，所以，又因为，所以为等边三角形，故，由，可得，所以，解得或 .
第四章三角函数与解三角形
专项突破二三角函数与解三角形
解三角形是高中数学的一个重要考点，在新高考Ⅰ卷中为解答题必考考点之一.主要与三角恒等变换、三角形的有关性质结合命题.通常第一问是解三角形，第二问是求三角形的面积、周长等的最值或范围.主要位于解答题的前两题位置，难度不大.需重点关注开放性试题，通过对不同条件的选取获得不同的解题思路，培养学生提出问题、发现问题、分析问题、解决问题的能力.
（2）若，求的取值范围.
[解析] ，，，，当且仅当时取等号，又，的取值范围是 .
例4 （2022山东高三模拟）如图，在中，，，的对边分别为 , , ，的面积为，且 .
（1）求的大小；
[解析] 在中，由，有，则，即，， .
阅卷得分：利用已知条件求出，的值，收获2分；则 .阅卷得分：利用三角形面积公式求出三角形的面积，收获1分；
[解析] 思路分析先表示出 , , ，然后由得到，结合余弦定理的推论求得，再由三角形面积公式求解即可；

高三数学理科一轮复习试卷详解

高三数学理科一轮复习试卷详解第1页共14页高三单元滚动检测卷数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测四三角函数、解三角形第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(湖北重点中学第三次月考)已知角α的终边上一点的坐标为(sin 5π6，cos 5π6)，则角α的最小正值为( )A.5π6B.5π3C.11π6D.2π32．(河南中原名校高三期中)已知sin 2α＝－2425，α∈(－π4，0)，则sin α＋cos α等于( ) A ．－15B.15 C ．－75 D.753．(广西贵港市模拟)已知sin(π3－x )＝35，则cos(x ＋π6 )等于( ) A ．－35B ．－45 C.45 D.354．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )A ．5海里B ．53海里第2页共14页C ．10海里D ．103海里5．(安庆市大观区模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a b ＝b ＋3c a，sin C ＝23sin B ，则tan A 等于( )A. 3B ．1 C.33 D ．－36．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A 0，ω0，|φ|π2 )的图象(部分)如图所示，则ω，φ分别为( )A ．ω＝π，φ＝π3B ．ω＝2π，φ＝π3C ．ω＝π，φ＝π6D ．ω＝2π，φ＝π67．(泉州模拟)在△ABC 中，若B ＝60°，AB ＝2，AC ＝23，则△ABC 的面积为( )A. 3 B ．2 3C.233D.4338．(湖北省教学合作联考)将函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，所得图象对应的函数g (x )( )A ．有最大值，最大值为3＋1B ．对称轴方程是x ＝7π12＋k π，k ∈Z C ．是周期函数，周期T ＝π2D ．在区间[π12，7π12]上单调递增9．已知函数f (x )＝sin 4(ωx ＋π4)－cos 4(ωx ＋π4)(ω0)在区间[－π3，π4]上的最小值为－32，则ω的值为( )A.34B.12第3页共14页C ．1 D.3210．(龙泉中学模拟)关于函数f (x )＝sin(2x －π4)，有下列命题：①其表达式可写成f (x )＝cos(2x ＋π4)；②直线x ＝－π8是f (x )图象的一条对称轴；③f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位得到；④存在α∈(0，π)，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立．其中真命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．②④D ．③④11．(徐州质检)已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，∠P 1OP 2＝θ(θ为钝角)．若sin(θ＋π4)＝35，则x 1x 2＋y 1y 2的值为( ) A.55B ．－1010C ．－210 D.1010 12．(上饶模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b，则sin C sin A的值为( ) A ．2 B.13C ．2 3D ．3第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．第4页共14页15．(陕西改编)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ????π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．16．(湖南师大附中月考)将函数f (x )＝sin x ＋cos x 的图象向左平移φ(φ0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(惠州第三次考试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A 0，ω0，－π2φπ2)，其部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知横坐标分别为－1,1,5的三点M ，N ，P 都在函数f (x )的图象上，求sin ∠MNP 的值．18.(12分)(北京)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．19．(12分)(醴陵一中模拟)在△ABC 中，已知A ＝π4，cos B ＝255.第5页共14页(1)求cos C 的值；(2)若BC ＝25，D 为AB 的中点，求CD 的长．20．(12分)已知函数f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ(|φ|π2)，且函数y ＝f (2x ＋π4)的图象关于直线x ＝7π24对称．(1)求φ的值；(2)若π3α5π12，且f (α)＝45，求cos 4α的值；(3)若0θπ8时，不等式f (θ)＋f (θ＋π4 )|m －4|恒成立，试求实数m 的取值范围．第6页共14页21.(12分)(广雅中学模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A 0，ω0,0φπ)，x ∈R 的最大值是1，最小正周期是2π，其图象经过点M (0,1)．(1)求f (x )的解析式；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且f (A )＝35，f (B )＝513，求f (C )的值．22．(12分)(河北正定中学月考)已知向量a ＝(2sin(ωx ＋2π3)，2)，b ＝(2cos ωx ,0)(ω0)，函数f (x )＝a b 的图象与直线y ＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在[0，b ](b 0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．第7页共14页答案解析1．B2．B [∵α∈(－π4，0)，∴sin α＋cos α0，∴(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝125，∴sin α＋cos α＝15，故选B.] 3．D [cos(x ＋π6)＝cos[π2－(π3－x )]＝sin(π3－x )＝35.故选D.] 4．C [如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10.在Rt △ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．] 5．C [由sin C ＝23sin B ，变形得：sin C sin B＝23，利用正弦定理化简得：sin C sin B ＝c b＝23，即c ＝23b ，由a b ＝b ＋3c a，整理得：a 2－b 2＝3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，∴A ＝30°，则tan A ＝33，故选C.]6．C [由函数的图象可得A ＝2，根据14T ＝142πω＝56－13＝12，求得ω＝π. 再由五点法作图可得π×56＋φ＝π，第8页共14页解得φ＝π6，故选C.]7．B [∵在△ABC 中，B ＝60°，AB ＝2，AC ＝23，∴由正弦定理AC sin B ＝AB sin C得：sin C ＝AB sin B AC ＝2×3223＝12，∴C ＝30°，∴A ＝90°，则S △ABC ＝12AB AC sin A ＝23，故选B.]8．D [化简函数得y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π6)，所以g (x )＝2sin(2x －2π3)易求最大值是2，周期是π，由2x －2π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴方程是x ＝7π12＋k π2(k ∈Z )．根据正弦函数的单调递增区间可得－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )?π12＋k π≤x ≤7π12＋k π(k ∈Z )，故选D.] 9．B [f (x )＝sin 4(ωx ＋π4)－cos 4(ωx ＋π4) ＝[sin 2(ωx ＋π4)－cos 2(ωx ＋π4)][sin 2(ωx ＋π4)＋cos 2(ωx ＋π4)] ＝sin 2(ωx ＋π4)－cos 2(ωx ＋π4) ＝－cos(2ωx ＋π2)＝sin 2ωx ，所以2ωx ∈[－2π3ω，π2ω]，所以满足－2π3ω≥－π2且－2π3ω＝－π3的ω＝12 ，故选B.] 10．C [f (x )＝sin(2x －π4)＝22(sin 2x －cos 2x )．①f (x )＝cos(2x ＋π4)＝22(cos 2x －sin 2x )．与原函数不是同一个函数，①错误．②x ＝－π8时，f (x )＝sin[2×(－π8)－π4]＝sin(－π2)＝－1，函数取得最小值，所以直线x ＝－π8是f (x )图象的一条对称轴，第9页共14页②正确．③将g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位得到图象对应的解析式是y ＝sin 2(x －π4 )＝sin(2x －π2)＝－cos 2x ，与f (x )不是同一个函数，③错误．④取α＝π2，f (x ＋α)＝f (x ＋π2)＝sin[2(x ＋π2)－π4]＝sin(2x ＋3π4)，f (x ＋3α)＝f (x ＋3π2)＝sin[2(x ＋3π2)－π4]＝sin(2x ＋3π－π4)＝sin(2x ＋2π＋π－π4)＝sin(2x ＋3π4)，所以存在α＝π2∈(0，π)，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，④正确．故选C.]11．C [因为x 1x 2＋y 1y 2＝OP 1→OP 2→＝cos θ，所以cos θ＝cos(θ＋π4－π4)＝22[cos(θ＋π4)＋sin(θ＋π4)]．因为θ∈(π2，π)，θ＋π4∈(3π4，5π4)，所以cos(θ＋π4)＝－45，cos θ＝－210.故选C.] 12．D [由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ＝3sin C －sin A sin B，即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ，化简可得，sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )，又知A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin C sin A＝3.] 13．0解析原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α0，cos α0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0. 14．－14解析∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c ，∴b ＝32c .第10页共14页代入b －c ＝14a 得a ＝2c ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14. 15．8解析由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.16.3π4解析函数y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，根据图象平移规律可得平移后图象对应的函数解析式为y ＝2sin(x ＋π4＋φ)，又所得函数图象关于原点对称，∴π4＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－π4(k ∈Z )，当k ＝1时，φ取最小值为3π4. 17．解(1)由图可知，A ＝1，最小正周期T ＝4×2＝8，所以T ＝2πω＝8，ω＝π4. 又f (1)＝sin(π4＋φ)＝1，且－π2φπ2，所以－π4π4＋φ3π4，π4＋φ＝π2，φ＝π4. 所以f (x )＝sin(π4x ＋π4)．(2)因为f (－1)＝sin[π4×(－1＋1)]＝0，f (1)＝sin[π4×(1＋1)]＝1，f (5)＝sin[π4×(5＋1)]＝－1，所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)，|MN |＝5，|MP |＝37，|PN |＝20，从而cos ∠MNP ＝5＋20－3725×20＝－35，由∠MNP ∈(0，π)，第11页共14页得sin ∠MNP ＝1－cos 2∠MNP ＝45 . 18．解(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ????x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ????－3π4＝－1－22. 19．解(1)∵cos B ＝255且B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝55，cos C ＝cos(π－A －B )＝cos(3π4－B )＝cos 3π4cos B ＋sin 3π4sin B ＝－*****＋2255＝－1010. (2)由(1)可得sin C ＝1－cos 2C ＝1－(－1010)2＝*****，由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C，即2522＝AB 31010，解得AB ＝6.在△BCD 中，CD 2＝(25)2＋32－2×3×25×255＝5，所以CD ＝5.20．解(1)f (x )＝sin(2x ＋φ)，则y ＝f (2x ＋π4)＝sin(4x ＋π2＋φ)＝cos(4x ＋φ)．又y ＝cos x 的图象的对称轴为x ＝k π(k ∈Z )，第12页共14页令4x ＋φ＝k π(k ∈Z )，将x ＝7π24代入可得φ＝k π－7π6(k ∈Z )，而|φ|π2，故φ＝－π6. (2)由f (α)＝45可得sin(2α－π6)＝45，而π22α－π62π3，故cos(2α－π6)＝－35，故sin 2α＝sin[(2α－π6)＋π6]＝43－310，故cos 4α＝1－2sin 22α＝243－750. (3)f (θ)＋f (θ＋π4)＝sin(2θ－π6)＋cos(2θ－π6) ＝2sin(2θ＋π12)，因为0θπ8，所以π122θ＋π12π3，故f (θ)＋f (θ＋π4)2×32＝62，故只需|m －4|≥62，即m ≤4－62或m ≥4＋62，即实数m 的取值范围是(－∞，4－62]∪[4＋62，＋∞)．21．解(1)因为函数f (x )的最大值是1，且A 0，所以A ＝1.因为函数f (x )的最小正周期是2π，且ω0，所以T ＝2πω＝2π，解得ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)．因为函数f (x )的图象过点M (0,1)，所以sin φ＝1.因为0φπ，所以φ＝π2. 所以f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x . (2)由(1)得f (x )＝cos x ，第13页共14页所以f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513. 因为A ，B ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，sin B ＝1－cos 2B ＝1213 . 因为A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以cos C ＝cos(π－(A ＋B ))＝－cos(A ＋B )，所以f (C )＝cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B )＝－(35×513－45×1213)＝3365. 22．解(1)函数f (x )＝a b ＝4sin(ωx ＋2π3)cos ωx ＝[4×(－12)sin ωx ＋4×32cos ωx ]cos ωx ＝23cos 2ωx －sin 2ωx＝3(1＋cos 2ωx )－sin 2ωx＝2cos(2ωx ＋π6)＋3，由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π，∴ω＝1，故f (x )＝2cos(2x ＋π6)＋3. 令2k π－π≤2x ＋π6≤2k π(k ∈Z )，得k π－7π12≤x ≤k π－π12(k ∈Z )，∴y ＝2cos(2x ＋π6)＋3的单调递增区间为[k π－7π12，k π－π12](k ∈Z )．当k ＝1时，函数的单调递增区间为[5π12，11π12 ]．当k ＝2时，函数的单调递增区间为[17π12，23π12]．∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为[5π12，11π12]，[17π12，23π12]．(2)将函数f (x )的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )＝2cos 2x ＋3的图象．令g (x )＝0，得x ＝k π＋5π12或x ＝k π＋7π12，k ∈Z ，第14页共14页∴函数g (x )在每个周期内恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ](b 0)上至少含有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，∴b 的最小值为4π＋7π12＝55π12.。

2024年高考数学总复习第四章《三角函数解三角形》复习试卷及答案解析

2024年高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》复习试卷及答案解析一、选择题1．sin215°－cos215°等于()A.－12B.12C．－32D.32答案C解析sin215°－cos215°＝－(cos215°－sin215°)＝－cos30°＝－32.故选C.2．若sinα＝45，则－22cosα等于()A.225B．－225C.425D．－425答案A解析－22 cosα＝sinαcos π4＋cosαsinπ4－22cosα＝45×22＝225.3．已知sinα＝－45α是第四象限角，则sin()A.52 10B.325C.7210D.425答案C解析由同角三角函数基本关系可得cosα＝1－sin2α＝＝35，结合两角差的正弦公式可得sin π4cosα－cosπ4sinα＝7210.故选C. 4．函数f(x)＝sin x的最大值为()A.3B．2C．23D．4答案A解析函数f(x)＝sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x ＝32sin x ＋32cos xx ＋12cos＝3sin ≤3.故f (x )的最大值为3.故选A.5．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－＞0，|φ|y ＝1相邻两个交点的距离为4π3，若f (x )＞0对x －π8，φ的取值范围是()A.－π12，0－π8，－π24C.－π12，D.0，π12答案B解析由已知得函数f (x )的最小正周期为4π3，则ω＝32，当x －π8，时，32x ＋φ－3π16＋φ，3π8＋因为f (x )＞0，即＋＞12，φ≥－π3＋2k π，≤π3＋2k π(k ∈Z )，解得－7π48＋2k π≤φ≤－π24＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π8，所以－π8＜φ≤－π24，故选B.6．(2019·山师大附中模拟)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)在x ＝π6时取得最大值，则函数g (x )＝cos(2x ＋φ)的图象()AB C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称答案A解析因为当x ＝π6时，f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)取得最大值，所以φ＝π6，即g (x )＝x＋π6，k ∈Z ，对称轴x ＝k π2－π12，k ∈Z ，故选A.7．(2019·沈阳东北育才学校模拟)如图平面直角坐标系中，角α－π2<β边分别交单位圆于A ，B 两点，若B 点的纵坐标为－513，且满足S △AOB ＝34，则sinα2·α2－sin ＋12的值为()A ．－513 B.1213C ．－1213D.513答案B解析由图易知∠xOA ＝α，∠xOB ＝－β.由题可知，sin β＝－513.由S △AOB ＝34知∠AOB ＝π3，即α－β＝π3，即α＝π3＋β.则sinα2－sin ＋12＝3sin α2cos α2－sin 2α2＋12＝32sin α－12(1－cos α)＋12＝32sin α＋12cos α＝β＝cos β＝1－sin 2β＝1213.故选B.8．(2019·重庆铜梁一中月考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)，x ∈－π12，2π3的图象如图，若f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，则f (x 1＋x 2)的值为()A.3B.2C ．1D ．0答案C解析由图象得3T 4＝2π3－－π12∴T ＝π，ω＝2πT＝2，由2sin π6×2＋φ＝2sin π3＋φ＝2，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，由x 1＋x 2＝π6×2＝π3，得f (x 1＋x 2)＝f π3＝2sin 2×π3＋π6＋2k π1，故选C.9．(2019·重庆巴蜀中学期中)已知f (x )＝sin(ωx ＋θ)其中ω>0，θ∈0，π2f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，|x 1－x 2|的最小值为π2，f (x )＝f π3－x 将f (x )的图象向左平移π6个单位长度得g (x )，则g (x )的单调递减区间是()A.k π，k π＋π2(k ∈Z )B.k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )C.k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )D.k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )答案A解析∵f (x )＝sin(ωx ＋θ)其中ω>0，θ∈0，π2，由f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0可得x 1，x 2是函数的极值点，∵|x 1－x 2|的最小值为π2，∴12T ＝πω＝π2，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋θ)，又f (x )＝f π3－x ∴f (x )的图象的对称轴为x ＝π6，∴2×π6＋θ＝k π＋π2，k ∈Z ，又θ∈0，π2∴θ＝π6，∴f (x )＝x 将f (x )的图象向左平移π6个单位长度得g (x )＝sin 2＋π6＝cos 2x 的图象，令2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，∴k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z ，则g (x )＝cos 2x 的单调递减区间是k π，k π＋π2(k ∈Z )，故选A.10．(2019·成都七中诊断)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(其中ω>0)的最小正周期为π，函数g (x )＝＋3f (x )，若对∀x ∈R ，都有g (x )≤|，则φ的最小正值为()A.π3B.2π3C.4π3D.5π3答案B解析由函数f (x )的最小正周期为π，可求得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，g (x )＝＋3f (x )＝sin 2φ＋3sin(2x ＋φ)＝cos(2x ＋φ)＋3sin(2x ＋φ)＝x ＋φ∴g (x )＝x ＋φ又g (x )≤|，∴x ＝π3是g (x )的一条对称轴，代入2x ＋φ＋π6中，有2×π3＋φ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝－π3＋k π(k ∈Z )，当k ＝1时，φ＝2π3，故选B.11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac ＝2cos C ，则c 等于()A ．27B ．4C ．23D ．33答案C 解析∵a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0<C <π，sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6＝2，＝4＝4，＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12，∴c ＝23，故选C.12．(2019·河北衡水中学调研)若函数f (x )＝(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是()，112∪14，23，16∪13，23C.14，23 D.13，23答案B解析易知函数y ＝sin x 的单调区间为k π＋π2，k π＋3π2，k ∈Z .由k π＋π2≤ωx ＋π6≤k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3ω≤x ≤k π＋4π3ω，k ∈Z .因为函数f(x )＝ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，所以f (x )在区间(π，2π)内单调，所以(π，2π)⊆k π＋π3ω，k π＋4π3ω，k ∈Z ，所以π，2π，k ∈Z ，解得k ＋13ω≤k 2＋23，k ∈Z .由k ＋13≤k 2＋23，k ∈Z ，得k ≤23，k ∈Z .当k ＝0时，得13≤ω≤23；当k ＝－1时，得－23≤ω≤16.又ω>0，所以0<ω≤16.综上，得ω，16∪13，23.故选B.二、填空题13．(2019·陕西四校联考)已知sin α＝2cos α，则cos 2α＝________.答案－35解析由已知得tan α＝2，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝1－44＋1＝－35.14．(2019·山师大附中模拟)已知＝14，则x ________.答案78解析根据三角函数诱导公式，得＝14，x x 2cos 1＝78.15．(2019·武汉示范高中联考)函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x 的最大值为________．答案2＋1解析令t ＝sin x ＋cos x ，则t ＝sin x ＋cos x＝2sin t ∈[－2，2]，则t 2＝1＋2sinx cos x ，所以sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝t 2＋t －1－54，对称轴为t ＝－12，因为t ∈[－2，2]，所以当t ＝2时取得最大值，为2＋1.16．(2019·银川一中月考)已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，则下列四个命题中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间－π4，π4上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．答案③④解析f (x 1)＝－f (x 2)，即12sin 2x 1＝－12sin 2x 2，由f (x )图象(图略)可知，①错误；由周期公式可得T ＝2π2＝π，②错误；由f (x )的图象可知，③正确；＝12sin 3π2＝－12④正确．故填③④.三、解答题17．(2019·抚州七校联考)已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ>0，|φ的距离为π2，且f (x )的图象与y ＝sin x 的图象有一个横坐标为π4的交点.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈0，7π8时，求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的值．解(1)由题可知，T ＝π＝2πω，ω＝2，又×π4＋sin π4，|φ|<π2，得φ＝－π4.所以f (x )＝x (2)因为x ∈0，7π8，所以2x －π4∈－π4，3π2，当2x －π4＝π，即x ＝5π8时，f (x )取得最小值．f (x )min ＝ 1.18．(2019·福建闽侯五校期中联考)已知向量a ＝(3sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若x a ·b ＝－54，求cos 2x 的值．解(1)f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x －cos 2x＝32sin 2x －cos 2x ＋12＝x －12，∴f (x )的最小正周期是π.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)∵a ·b ＝x －12＝－54，∴x ＝－34.∵x∴2x －π6∈，∴x ＝－74，∴cos 2x ＝x ＋π6＝x cos π6－x sinπ6＝－74×32－×12＝3－218.。

高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训：第四章三角函数与解三角形4-4Word版含答案

真题操练集训π31．若 cos 4 － α＝ 5，则 sin 2α ＝ ()71 A. 25B. 517C ．－ 5D ．－ 25答案： Dπππ2分析：因为 cos 4 － α ＝ cos4 cosα＋ sin4 ·sinα ＝ 2 (sin α＋ cos α)33 2187＝ 5，所以 sinα ＋ cos α ＝5 ，所以 1＋ sin 2α ＝ 25，所以 sin 2 α＝－ 25，应选 D.ππ1＋ sin β2．设 α ∈ 0， 2 ， β∈ 0， 2，且 tan α ＝ cos β ，则 ()ππA ．3α － β＝ 2B ．2α － β ＝ 2π π C ．3α ＋ β＝ 2 D ．2α ＋ β ＝ 2答案： Btan1＋ sin β分析：解法一：由 α ＝ cos β ，得sin α 1＋ sin βcos α ＝ cos β ，即 sinα cos β ＝cosα ＋cos αsinβ ，π∴sin( α －β ) ＝ cos α ＝ sin2 － α .π π ∵α ∈ 0， 2 ， β ∈ 0， 2 ，π π ππ∴α － β ∈ － 2 ， 2 ， 2 － α ∈ 0， 2 ，∴由 sin( α－ β ) ＝ sin π － α ，得2ππα－ β ＝ 2 － α ，∴ 2α － β ＝ 2 .1＋ sin β 1＋ cos π－ β解法二： tan2α ＝cos β ＝ sin π－ β22cos 2 π － β＝42 β ＝ cotπ －βπβ π4 22sin4 － 2 cos 4 － 2＝tanπ π βtan πβ2 － 4－24 ＋ 2 ，π β∴α ＝ k π ＋ 4 ＋ 2 ， k ∈ Z∴ 2α － β ＝2k π ＋ π， k ∈Z. 2π当 k ＝ 0 时，知足 2α－ β ＝ 2 ，应选 B.3．已知 2cos 2x ＋ sin 2 x ＝ A sin( ω x ＋ φ ) ＋ b ( A >0) ，则 A ＝ ________， b ＝ ________.答案：2 1分析：因为 2cos 2x ＋ sin 2x ＝ 1＋cos 2 x ＋ sin 2x ＝ 2sin 2x ＋π4 ＋ 1，所以 A ＝ 2，b ＝ 1.π π π4．已知函数 f ( x ) ＝ 3sin( ωx ＋ φ ) ω ＞0，－ 2 ≤ φ ＜ 2 的图象对于直线x ＝ 3 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 π .(1) 求 ω 和 φ 的值；(2) 若 fα3 π＜ α ＜2π3π＝ 3 ，求 cos α ＋ 2的值．2 4 6解： (1) 因为 f ( x ) 的图象上相邻两个最高点的距离为π ，所以 f ( x ) 的最小正周期 T ＝ π，2π进而 ω＝ T ＝ 2.π又因为 f ( x ) 的图象对于直线 x ＝ 3 对称，ππ所以2× 3＋φ ＝ k π＋ 2 ， k ＝ 0，± 1，± 2， .因为－ π 2≤ φ＜ π 得2k ＝0，所以 φ ＝π2－2π3 ＝－ π6 .(2) 由 (1) 得 fα3sin2·α π 32＝2－＝ 4 ，6π 1所以 sin α － 6 ＝ 4.由π6 ＜ α ＜2π3 得 0＜α － π6 ＜π2 ，所以 cos α － π＝ 1－ sin 2α － π66＝1－ 1 2＝15.44所以 cos3π＝ sinα ＝sin ππα ＋ 2 α － 6 ＋ 6π ππ π＝sin α － 6 cos 6 ＋ cos α － 6 sin61 3 15 1＝ ×2 ＋×24 43＋ 15＝8.课外拓展阅读给值求角忽略角的范围致误已知 α ，β 为三角形的两个内角，1 5 3 cos α ＝，sin( α ＋ β ) ＝，则 β ＝ ________.7141∵ 0<α <π ，cos α ＝7，1 24 3 ∴sinα ＝1－ 7＝ 7 .5 3又∵ sin( α＋ β ) ＝，145 3 2 11∴cos( α ＋β ) ＝－1－14＝－ 14.3∴sinβ ＝sin ＝ sin( α ＋ β )cos α － cos( α ＋ β)sin α＝ 2 .π2π 又∵ 0<β <π，∴ β ＝ 3 或 3 .(1)不可以依据题设条件减小 α ，β 及 α ＋ β 的取值范围，在由同角基本关系式求 sin( α＋ β ) 时不可以正确判断符号，产生两角解．(2) 结论处应由 cos β 的值确立β 的取值，由 sin β 确立结论时易出现两解而造成失误．124 3 ππ因为 0<α<π ，cos α ＝7，所以 sin α ＝ 1－ cos α ＝ 7 ，故 3 <α < 2 . 又因为 0<α533π2π＋β <π， sin(α＋β ) ＝14 <2，所以 0<α＋β < 3或3 <α＋β <π.ππ2π由3 <α < 2，知3 <α＋β <π，所以 cos( α＋β ) ＝－1－ sin 211α ＋β＝－14，所以 cos β＝ cos1＝cos( α＋β )cosα＋sin(α ＋β )sinα ＝，2π又 0<β <π，所以β＝3 .π3答题启迪利用三角函数值求角时，要充足联合条件，确立角的取值范围，再选用适合的三角函数进行求值，最后确立角的详细取值．。

2025年广东省高三数学第一轮复习第四章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制和三角函数的概念

角度 1 三角函数的定义
例 3 (1)(2024·湖北新高考协作体考试)已知角 α 的顶点与坐标原点 O 重合，始边
与 x 轴的非负半轴重合.若 Pcos π3，1是角 α 终边上一点，则 sin α＝( D )
A.
5 5
B.
3 2
C.12
D.2 5 5
解析依题意，点 P12，1，则|OP|＝ 122＋12＝ 25，
∴sin α＝ 15＝255. 2
索引
(2)(2024·豫北名校联考)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值为__25_或__－__52__.
解析由题意得，点 P 与原点间的距离 r＝（－4m）2＋（3m）2＝5|m|，所以 sin α＝53|mm|，cos α＝－5|m4m| ，当 m>0 时，sin α＝53，cos α＝－45，故 2sin α＋cos α＝25；当 m<0 时，sin α＝－35，cos α＝45，故 2sin α＋cos α＝－25.
对于A，tan α－sin α>0，故A正确；
对于B，sin α＋cos α<0，故B错误；
对于C，cos α－tan α<0，故C错误；
对于D，tan αsin α<0，故D错误.
索引
(2)(多选)(2024·衢州质检)若 sin xcos x>0，sin x＋cos x>0，则x2可以是( AC )
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第四章三角函数、解三角形
考试要求
1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

2024年高考数学总复习第四章《三角函数解三角形》测试卷及答案解析

2024年高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》测试卷及答案解析(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知点P (－4,3)是角α终边上的一点，则sin(π－α)等于()A.35B.45C ．－35D ．－45答案A解析∵点P (－4,3)是角α终边上的一点，∴sin α＝35，∴sin(π－α)＝sin α＝35.故选A.2．函数f (x )＝3sin x ＋3cos x 的最大值为()A.3B ．2C ．23D ．4答案C解析由题意可知f (x )＝3sin x ＋3cos x＝x ＋12cos 23sin∵－1≤1，∴－23≤23sin23，故函数f (x )＝3sin x ＋3cos x 的最大值为2 3.故选C.3．cos 210°cos 75°－2cos 215°sin 15°等于()A.12B ．－22C ．－12D.22答案B解析根据相应公式可得cos 210°cos 75°－2cos 215°sin 15°＝－cos 30°cos 75°－sin 30°cos15°＝－(sin 15°cos 30°＋cos 15°sin 30°)＝－sin 45°＝－22，故选B.4．若角α满足＝35，则sin 2α等于()A.725B.1625C ．－725D ．－1625答案A解析α2cos 1＝2－1＝－725，又αsin 2α，所以sin2α＝725.5．(2019·佛山禅城区调研)已知tan α＝2，则sin 2α＋cos 2α等于()A.35B ．－35C ．－35或1D ．1答案D解析sin 2α＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋1tan 2α＋1，又∵tan α＝2，∴sin 2α＋cos 2α＝2×2＋122＋1＝1.故选D.6．(2019·惠州调研)为了得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需把函数y ＝sin x ()A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案B解析y ＝sin 2x ＝sin2＋π6，故应向右平移π12个单位长度．故选B.7．(2019·成都七中诊断)设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知(b ＋c )sin(A ＋C )＝(a ＋c )(sin A －sin C )，则A 的大小为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案C解析∵(b ＋c )sin(A ＋C )＝(a ＋c )(sin A －sin C )，∴由正弦定理可得(b ＋c )b ＝(a ＋c )(a －c )，整理可得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－12，∴由A ∈(0，π)，可得A ＝120°.故选C.8.函数y ＝A sin(ωx ＋φ>0，ω>0，|φ|象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点()A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案A解析观察图象知，A ＝1，T ＝π，ω＝2πT ＝2，即y ＝sin(2x ＋φ)得×π3＋0，结合|φ|≤π2，得φ＝π3，所以y ＝x 故选A.9．(2019·吉林通榆一中期中)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为()π－14，k πk ∈Zk π－14，2k πk ∈Z－14，k k ∈Zk －14，2k k ∈Z 答案D解析由题意可得函数的周期为2，∴2πω＝2，解得ω＝π，∴f (x )＝cos(πx ＋φ)，再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4＋φ＝π2，解得φ＝π4，f (x )＝x 令2k π≤πx ＋π4≤2k π＋π，可解得2k －14≤x ≤2k ＋34，∴f (x )的单调递减区间为2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.10．(2019·沈阳东北育才学校联考)函数f (x )＝(ω>0)在[0，π]内的值域为－1，12，则ω的取值范围为()A.23，43 B.0，43C.0，23D ．[0,1]答案A解析函数f (x )＝ω>0)，当x ∈[0，π]时，cos x ＋π3∈0，ωπ＋π3，由题意－1≤≤12，结合余弦函数的性质，则π≤ωπ＋π3≤5π3，解得23≤ω≤43，故ω的取值范围为23，43.故选A.11．(2019·赣州十四县(市)联考)在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝7，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1,1≤y ≤2，动点P 的轨迹所覆盖的面积为()A.1036 B.536 C.103D.203答案A解析如图以OA,2OB 为邻边作平行四边形OAED ，F 为AE 中点，根据题意知，P 点在以BF ，BD 为邻边的平行四边形上及其内部，∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △AOB .在△ABC 中，cos ∠BAC ＝15，AC ＝6，BC ＝7，∴由余弦定理得，15＝AB 2＋36－492AB ·6，解得AB ＝5或AB ＝－135(舍去)，又O 为△ABC 的内心，∴内切圆半径r ＝2S △ABCa ＋b ＋c ，∴S △AOB ＝12·r ·|AB |，∴S △AOB ＝55＋6＋7·S △ABC ＝518×12×5×6×sin ∠BAC ＝256·1－125＝563，∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为1063.故选A.12．(2019·荆州质检)函数f (x )＝2cos x sin(x ＋φ)＋m x ＝π3对称，在区间0，π2上任取三个实数a ，b ，c ，总能以f (a )，f (b )，f (c )的长为边构成三角形，则实数m 的取值范围是()A ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)答案D解析函数f (x )＝2cos x sin(x ＋φ)＋mx ＝π3对称，即f (x )＝2cos x (sin x cos φ＋cos x sin φ)＋m＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ＋sin φ＋m ＝sin(2x ＋φ)＋sin φ＋m ，当x ＝π3时，2×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，即f (x )＝x －12＋m ，由三角函数的单调性可知在区间0，π2上，f (x )min ＝－1＋m ，f (x )max ＝12＋m ，若在区间0，π2上任取三个实数a ，b ，c ，总能以f (a )，f (b )，f (c )的长为边构成三角形，则2f (x )min ＞f (x )max ＞0，－1＋m )>12＋m ，m >0，∴m >52D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·南充适应性考试)已知sin θ＝13，则cos 2θ＝________.答案79解析cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2＝79.14．已知＝－17，αsin ________．答案33＋410解析∵＝－17，α∴tan α＝＋π4＝－17＋11＋17＝34，∴sin α＝35，cos α＝45，∴＝32sin α＋12cos α＝33＋410.15．(2019·山师大附中模拟)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C ＝14，c ＝3，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的面积等于________．答案3154解析∵a cos A ＝b cos B ，∴sin A cos A ＝sin B cos B，化简得sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0，∵0<A <π，0<B <π，∴－π<A －B <π，∴A ＝B ，∴a ＝b .又∵cos C ＝14，c ＝3，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝14，解得a ＝b ＝6，且sin C ＝154，S △ABC ＝12ab sin C ＝3154.16．(2019·长沙长郡中学调研)已知A ，B ，C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若m2cosn若m ·n ＝12，△ABC 的周长为a ＋4，△ABC 的面积为3，则a 的值是____．答案23解析根据题意，有sin 2A 1＋cos 2A2cos A2·1＋cos A 2＝12，整理得2sin A cos A 2cos 2A ·cos A sin A－2cos 2A 2＝12，从而求得cosA 2＝12A ∈(0，π)，所以A 2∈，所以A 2＝π3，所以A ＝2π3，根据题意有b ＋c ＝4，12bc sin 2π3＝3，即bc ＝4，根据余弦定理，可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos2π3＝b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2－bc ＝16－4＝2 3.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f (x )＝2sin ＋3cos 2x －1.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解f (x )＝1－2＋3cos 2x －1＝sin 2x ＋3cos 2x ＝x (1)令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .(2)方程移项得f (x )＝m ＋2，方程有两解等价于函数f (x )与函数y ＝m ＋2有两个交点，画出两函数在区间0，π2内的图象如图所示：由图象知3≤m ＋2<2，∴3－2≤m <0.18．(12分)(2019·惠州调研)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间0，2π3上的取值范围．解(1)f (x )＝1－cos 2ωx 2＋32sin 2ωx＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝ωx ＋12.因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝x ＋12.因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6，所以－12≤x1，因此0≤x ＋12≤32，即f (x )的取值范围为0，3219．(12分)(2019·佛山禅城区调研)△ABC 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求角B ；(2)若cos A ＝35，试求cos C 的值．解(1)已知a ＝b cos C ＋c sin B ，由正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C sin B,sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，cos B sin C ＝sin C sin B ，因为在△ABC 中sin C >0，所以cos B ＝sin B ，因为sin B >0，所以cos B >0，所以tan B ＝sin Bcos B＝1，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)因为cos A ＝35，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，由(1)可知A ＋C ＝3π4，所以C ＝3π4－A,cosC ＝cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ，cos C ＝22(sin A －cos A )＝210.20．(12分)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)>0，|φf (x )，若其图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B ＝b cos A，求f (A )的取值范围．解(1)∵f (x )，∴f (x ＋π)＝－f (x )，∴T ＝π，∴ω＝2，则f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为g (x )＝x ＋π3＋g (x )为奇函数，则有π3＋φ＝k π，k ∈Z ，而|φ|<π2，则有φ＝－π3，从而f (x )＝x (2)∵(2c －a )cos B ＝b cos A ，由正弦定理得2sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∴sin C ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.∵△ABC 是锐角三角形，∴0<C ＝2π3－A <π2，∴π6<A <π2，∴0<2A －π3<2π3，∴A (0,1]，即f (A )＝sinA (0,1]．21．(12分)已知向量m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，设函数f (x )＝m ·n ＋b .(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f (x )的单调增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．解m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，f (x )＝m ·n ＋b ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋1＋b ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＋b＝ωx ＋32＋b .(1)∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝3k ＋1(k ∈Z )，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，∴f (x )＝x ＋32＋b ，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调增区间为k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝x ＋32＋b ，∵x ∈0，7π12，∴2x ＋π6∈π6，4π3，∴当2x ＋π6∈π6，π2，即x ∈0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈π2，4π3，即x ∈π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝∴当0<f 0时，函数f (x )有且只有一个零点．即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴满足条件的b 2，3－32∪22．(12分)(2019·衡水中学考试)如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的一点，∠APC ＝60°，AB ＝23，AP ＋PB ＝4.(1)求BP 的长；(2)若AC ＝534，求cos ∠ACP 的值．解(1)由已知，得∠APB ＝120°，又AB ＝23，AP ＋BP ＝4，在△ABP 中，由余弦定理，得(23)2＝BP 2＋(4－BP )2－2×BP ×(4－BP )cos 120°，整理，得BP 2－4BP ＋4＝0.解得BP ＝2.(2)由(1)知，AP ＝2，所以在△ACP 中，由正弦定理得AC sin 60°＝AP sin ∠ACP，解得sin ∠ACP ＝2×32534＝45.因为2<534，所以AP <AC ，从而∠ACP <∠APC ，即∠ACP 是锐角，所以cos ∠ACP ＝＝35.。

2024届高考数学一轮复习第四章《三角函数与解三角形》第六节解三角形

2. 如图,在中, , ,点在边上, , 为锐角.
（1）求 ;
[解析] 在中，由余弦定理得，整理得，所以或 .当时， ,则 ,不合题意，舍去;当时, ,则，符合题意.所以 .
（2）若 ,求的值及的长.
[解析] 在中, ，所以 ,又 ,所以 ,在中，，所以 .
3. （新教材改编题）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则 ( )
A. B. 或 C. D. 或
A
[解析] 由正弦定理及题意得，解得，因为，所以为锐角，所以，故选A.
4. 易错题已知在中，三个内角分别为，，，，则是( )
（1）求的值；
[解析] ∵在中，，∴由正弦定理可得，， , .
（2）求的值；
[解析] 由（1）及余弦定理的推论可得 .
（3）求的值.
[解析] 由（2）知，，，， .
方法感悟（1）利用余弦定理可解决以下两类解三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情况下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.（2）利用正弦定理可解决以下两类解三角形问题：一是已知两角和任一边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角（该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角进行判断）.
（4）坡角:坡面与水平面的夹角.（坡度（坡比）:坡面的铅直高度与水平宽度之比）
5.解关于解三角形的应用题的一般步骤
（1）准确理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系;
（2）根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题;
（3）根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解;

全国版2024高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第4讲正余弦定理及解三角形试题1理含解析

第四章三角函数、解三角形第四讲正、余弦定理及解三角形练好题·考点自测1.[2024全国卷Ⅲ,7,5分][理]在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则cos B =( ) A.19 B.13 C.12 D.232.[2024 山东,9, 5分][理]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若△ABC 为锐角三角形,且满意sin B (1+2cosC )=2sin A cos C +cos A sin C ,则下列等式成立的是( )A.a =2bB.b =2aC.A =2BD.B =2A3.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =18,b =24,A =45°,则此三角形( ) A.无解 B.有一解 C.有两解D.解的个数不确定4.下列说法正确的是(△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c )( ) ①在△ABC 中,若A >B ,则必有sin A >sin B ; ②在△ABC 中,若b 2+c 2>a 2,则△ABC 为锐角三角形;③在△ABC 中,若A =60°,a =4√3,b =4√2,则B =45°或B =135°;④若满意条件C =60°,AB =√3,BC =a 的△ABC 有两个,则实数a 的取值范围是(√3,2); ⑤在△ABC 中,若a cos B =b cos A ,则△ABC 是等腰三角形. A.①③④⑤ B.①②③④ C.①④⑤D.①③⑤5.[2024全国卷Ⅱ,15,5分][理]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若b =6,a =2c ,B =π3,则△ABC 的面积为 .6.[2024浙江,14,6分]在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =4,BC =3,点D 在线段AC 上.若∠BDC =45°,则BD = ,cos∠ABD = .7.[2024全国卷Ⅱ,13,5分][理]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a =1,则b = .8.[2024深圳市高三统一测试]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a +b )(sin A -sin B )= (a -c )sin C ,b =2,则△ABC 的外接圆面积为 .9.[湖北高考,5分][理]如图4-4-1,一辆汽车在一条水平的马路上向正西行驶,到A 处时测得马路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD = m .图4-4-1 拓展变式1.(1)[2024江淮十校联考]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2a sin A -b sin B =2c sin C ,cos A =14,则sinB sinC=( ) A.4 B.3 C.2 D.1(2)在锐角三角形ABC 中,b =2,a +c =√7(a >c ),且满意2a sin B cos C +2c sin B cos A =√3b ,则a -c = . 2.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , (1)若cb <cos A ,则△ABC 的形态为 .(2)若c -a cos B =(2a -b )cos A ,则△ABC 的形态为 .3.[2024河南洛阳4月模拟]在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c. (1)若△ABC 的面积S 满意4√3S +c 2=a 2+b 2,c =√7,a =4,且b >c ,求b 的值; (2)若a =√3,A =π3,且△ABC 为锐角三角形,求△ABC 周长的取值范围.4.[2024全国卷Ⅰ,17,12分][理]在平面四边形ABCD 中,∠ADC =90°,∠A =45°,AB =2,BD =5. (1)求cos∠ADB ; (2)若DC =2√2,求BC.5.(1)[解三角形与数列、基本不等式综合]设△ABC 的角A ,B ,C 成等差数列,且满意sin(A -C )-sin B =-√32,BC 延长线上有一点D ,满意BD =2,则△ACD 面积的最大值为( ) A .1 B .√34C .√32D .√63(2)[新课标全国Ⅰ,5分][理]在平面四边形ABCD 中,∠A =∠B =∠C =75°,BC =2,则AB 的取值范围是 . 6.[2024山东,15,5分]某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图4-4-6所示.O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心,A 是圆弧AB 与直线AG 的切点,B 是圆弧AB 与直线BC 的切点,四边形DEFG 为矩形,BC ⊥DG ,垂足为C ,tan ∠ODC =35,BH ∥DG ,EF =12 cm ,DE =2 cm ,A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ,圆孔半径为1 cm ,则图中阴影部分的面积为 cm 2.图4-4-6答案第四讲正、余弦定理及解三角形1.A 由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ×BC ×cos C =16+9-2×4×3×23=9,AB =3,所以cos B =9+9-162×9=19,故选A .2.A 由题意可知sin B +2sin B cos C =sin A cos C +sin(A +C ),即2sin B cos C =sin A cos C ,又cos C ≠0,故2sin B =sin A ,由正弦定理可知a =2b.故选A.3.C ∵b sin A =12√2<a <b ,∴三角形有两解.4.C 对于①,在△ABC 中,若A >B ,则a >b ,a 2R >b2R (R 为△ABC 的外接圆的半径),即sin A >sin B ,①正确;对于②,在△ABC 中,若b 2+c 2>a 2,则A 是锐角,但△ABC 不肯定是锐角三角形,②错误;对于③,由a sinA =b sinB 得sin B =ba sinA √24√3×√32=√22,因为a >b ,所以B <A ,所以B =45°,③错误;对于④,由条件可得BC sin C <AB <BC ,即√32a <√3<a ,解得√3<a <2,④正确;对于⑤,由a cos B =b cos A 得sinA cosB =sin B cos A ,即sin(A -B )=0,又A ,B 为三角形的内角,所以A =B ,故△ABC 是等腰三角形,⑤正确.故选C .5.6√3 因为a =2c ,b =6,B =π3,所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得62=(2c )2+c 2-2×2c ×c cos π3,得c =2 √3,所以a =4√3,所以△ABC 的面积S =12ac sin B =12×4 √3×2√3×sin π3=6√3.6.12√257√210 在Rt△ABC 中,易得AC =5,sin C =AB AC =45.在△BCD 中,由正弦定理得BD =BC sin∠BDC ×sin∠BCD =√2245=12√25,sin∠DBC =sin[180°-(∠BCD +∠BDC )]=sin(∠BCD +∠BDC )=sin∠BCD cos∠BDC +cos∠BCD sin∠BDC =45×√22+35×√22=7√210.又∠ABD +∠DBC =90°,所以cos∠ABD =sin∠DBC =7√210.7.2113解法一因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213,从而sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =35×513+45×1213=6365.由正弦定理a sinA =b sinB ,得b =asinB sinA =2113. 解法二因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213,从而cos B =-cos(A +C )=-cos A cos C +sin A sin C =-45×513+35×1213=1665.由正弦定理a sinA =c sinC ,得c =asinC sinA =2013. 由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得b =2113.解法三因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213, 由正弦定理a sinA=c sinC,得c =asinC sinA=2013.从而b =a cos C +c cos A =2113.8.43π 利用正弦定理将已知等式转化为(a +b )(a -b )=(a -c )c ,即a 2+c 2-b 2=ac ,所以由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac=12,因为0°<B <180°,所以B =60°.设△ABC 的外接圆半径为R ,则由正弦定理知,2R =b sinB=√3,R =√3,所以△ABC 的外接圆面积S =πR 2=43π.9.100√6 由题意,得∠BAC =30°,∠ABC =105°.在△ABC 中,因为∠ABC +∠BAC +∠ACB =180°,所以∠ACB =45°. 因为AB =600 m,由正弦定理可得600sin45°=BCsin30°,即BC =300√2 m .在Rt△BCD 中,因为∠CBD =30°,BC =300√2 m,所以tan 30°=CDBC =300√2,所以CD =100√6 m .1.(1)D 因为△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,2a sin A -b sin B =2c sin C ,利用正弦定理将角化为边可得2a 2-b 2=2c 2①,由①及余弦定理可得cos A =b 2+c 2-a 22bc=b 4c =14,化简得b c =1,即sinBsinC =1,故选D .(2)√3 因为2a sin B cos C +2c sin B cos A =√3b ,所以2sin A sin B cos C +2sin C sin B cos A =√3sin B.在锐角三角形ABC 中,sin B >0,所以2sin A cos C +2sin C cos A =√3,即sin(A +C )=√32,所以sin B =√32,cos B =12.因为b 2=a 2+c 2-2ac cosB =(a +c )2-2ac -2ac cos B ,所以ac =1.因为(a -c )2=(a +c )2-4ac =7-4=3,且a >c ,所以a -c =√3.2.(1)钝角三角形已知c b<cos A ,由正弦定理,得sinCsinB<cos A ,即sin C <sin B cos A ,所以sin(A +B )<sin B cos A ,即sinB cos A +cos B sin A -sin B cos A <0,所以cos B sin A <0.又sin A >0,于是有cos B <0,即B 为钝角,所以△ABC 是钝角三角形.(2)等腰三角形或直角三角形因为c -a cos B =(2a -b )cos A ,所以由正弦定理得sin C -sin A cos B =2sin A cos A -sinB cos A ,又C =π-(A +B ),所以sin C =sin(A +B ),所以sin A cos B +cos A sin B -sin A cos B =2sin A cos A -sin B cos A ,所以cos A (sin B -sin A )=0,所以cos A =0或sin B =sin A ,所以A =π2或B =A (B =π-A 舍去),所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形.3.(1)因为4√3S =a 2+b 2-c 2,所以4√3×12ab sin C =2ab cos C , 所以tan C =√33,又0<C <π,所以C =π6.由余弦定理及c =√7,a =4,得cos π6=16+b 2-78b,解得b =3√3或b =√3.因为b >c =√7,所以b =3√3. (2)由正弦定理及a =√3,A =π3得√3sinπ3=b sinB =csinC ,故b =2sin B ,c =2sin C =2sin(2π3-B ).则△ABC 的周长为√3+2sin B +2sin(2π3-B )=√3+√3cos B +3sin B =√3+2√3sin(B +π6).由题意可知{0<B <π2,0<2π3-B <π2,解得π6<B <π2.所以π3<B +π6<2π3,故√32<sin(B +π6)≤1,因此三角形ABC 周长的取值范围为(3+√3,3√3]. 4.(1)在△ABD 中,由正弦定理得BD sinA=ABsin∠ADB.由题设知,5sin45°=2sin∠ADB ,所以sin∠ADB =√25. 由题设知,∠ADB <90°,所以cos∠ADB =√1-225=√235. (2)由题设及(1)知,cos∠BDC =sin∠ADB =√25.在△BCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2×BD ×DC ×cos∠BDC =25+8-2×5×2√2×√25=25,所以BC =5.5.(1)B 因为△ABC 的角A ,B ,C 成等差数列,所以B =π3,又sin(A -C )-sin B =-√32,所以A =B =C =π3,设△ABC 的边长为x ,由已知有0<x <2,则S △ACD =12x (2-x )sin 2π3=√34x (2-x )≤√34(x+2-x 2)2=√34(当且仅当x =2-x ,即x =1时取等号),故选B .(2)(√6−√2,√6+√2) 如图D 4-4-1,作△PBC ,使∠B =∠C =75°,BC =2,作直线AD 分别交线段PB ,PC 于A ,D 两点(不与端点重合),且使∠BAD =75°,则四边形ABCD 就是符合题意的四边形.过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ,在△PBC 中,可求得BP =√6+√2,在△QBC 中,可求得BQ =√6−√2,所以AB 的取值范围是(√6−√2,√6+√2).图D 4-4-16.5π2+4 如图D 4-4-2,连接OA ,作AQ ⊥DE ,交ED 的延长线于Q ,AM ⊥EF 于M ,交DG 于E',交BH 于F',记过O 且垂直于DG 的直线与DG 的交点为P ,设OP =3m ,则DP =5m ,不难得出AQ =7,AM =7,于是AE'=5,E'G =5,∴∠AGE'=∠AHF'=π4,△AOH 为等腰直角三角形,又AF'=5-3m ,OF'=7-5m ,AF'=OF',∴5-3m =7-5m ,得m =1,∴AF'=5-3m =2,OF'=7-5m =2,∴OA =2√2,则阴影部分的面积S =135360×π×(2√2)2+12×2√2×2√2−π2=(5π2+4)(cm 2).。

高三数学一轮复习三角函数与解三角形知识点突破训练含答案解析

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第四章⎪⎪⎪三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制、任意角的三角函数突破点(一) 角的概念基础联通抓主干知识的“源”与“流” 1．角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类角的分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分类⎩⎪⎨⎪⎧ 正角：按顺时针方向旋转形成的角负角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类⎩⎪⎨⎪⎧象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”终边相同的角[例1] (1)设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝xx ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅本节主要包括3个知识点： 1.角的概念；2.弧度制及其应用；3.任意角的三角函数.(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．[解析] (1)法一：由于M ＝xx ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，k ∈Z,2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ∈Z ，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .(2)所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360(k ∈Z)，从而k ＝－2或k ＝－1.将k ＝－2，k ＝－1分别代入β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，得β＝－675°或β＝－315°.[答案] (1)B (2)－675°或－315° [方法技巧]终边相同角的集合的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．象限角[例2] (1)给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角[解析] (1)－3π4＝5π4－2π＝π4＋π－2π，从而－3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，故③正确；－315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，故④正确．(2)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．[答案] (1)C (2)C [方法技巧]确定αn (n ≥2，且n ∈N *)的终边位置的方法(1)讨论法①用终边相同角的形式表示出角α的范围； ②写出αn的范围；③根据k 的可能取值讨论确定αn 的终边所在位置． (2)等分象限角的方法已知角α是第m (m ＝1,2,3,4)象限角，求αn 是第几象限角．①等分：将每个象限分成n 等份；②标注：从x 轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x 轴正半轴；③选答：出现数字m 的区域，即为αn 的终边所在的象限．1.[考点一、二]给出下列命题： ①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A 由于第一象限角如370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，θ既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．2.[考点一]集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．比较各选项，可知选C.3.[考点二]若α为第一象限角，则β＝k ·180°＋α(k ∈Z)是第________象限角．解析：∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α的终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α的终边在第三象限．即β＝k ·180°＋α(k ∈Z)是第一或第三象限角．答案：一或三4.[考点一]终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．解析：终边在直线y ＝3x 上的角的集合为αα＝k π＋π3，k ∈Z.答案：αα＝k π＋π3，k ∈Z5.[考点一、二]已知α与150°角的终边相同，写出与α终边相同的角的集合，并判断α3是第几象限角．解：与α终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋150°，k ∈Z}．则α3＝k ·120°＋50°，k ∈Z. 若k ＝3n (n ∈Z)，α3是第一象限角；若k ＝3n ＋1(n ∈Z)，α3是第二象限角；若k ＝3n ＋2(n ∈Z)，α3是第四象限角．故α3是第一、第二或第四象限角．突破点(二) 弧度制及其应用基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．弧度制下的有关公式角α的弧度数公式 |α|＝lr (弧长用l 表示)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2考点贯通抓高考命题的“形”与“神”扇形的弧长及面积公式[典例] (1)已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4(2)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm. [解析] (1)设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.(2)设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝122r ，得r ＝43(cm)，又α＝2π3，所以l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π(cm)． [答案] (1)C (2)833π[方法技巧]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度． (2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：选B ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)． 2．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．解析：设圆的半径为r ，弧长为l ，则其弧度数为lr .将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r ＝3·lr ，即弧度数变为原来的3倍．答案：33．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．解析：由题可知，弧长l ＝3π，圆心角α＝135°＝3π4，所以半径r ＝l α＝3π3π4＝4.面积S ＝12lr ＝12×3π×4＝6π.答案：4 6π4．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解：设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.又S ＝12θr 2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.当且仅当r＝10时，S max＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．突破点(三)任意角的三角函数基础联通抓主干知识的“源”与“流”三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαyx叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线考点贯通抓高考命题的“形”与“神”三角函数值的符号判定[例1](1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角(2)sin 2·cos 3·tan 4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不确定[解析] (1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由co s αtan α＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．(2)2 rad,3 rad 是第二象限角，所以sin 2>0，cos 3<0，4 rad 是第三象限角，所以tan 4>0，故sin 2·cos 3·tan 4<0.[答案] (1)C (2)A根据三角函数的定义求三角函数值[例2] (1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，则sin α＝________. (2)若角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α， cos α和tan α的值． [解析] (1)sin α＝－342＋(－3)2＝－35.(2)设α终边上任一点为P (－4a,3a )，当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.[答案] (1)－35[方法技巧]由三角函数定义求三角函数值的方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．由三角函数值求点的坐标[例3] (1)若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝3，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433D. 3(2)若420°角的终边所在直线上有一点(x,3)，则x 的值为________．[解析] (1)由三角函数的定义得sin α·cos α＝a(－4)2＋a 2·－4(－4)2＋a 2＝－4a (－4)2＋a2＝34，即3a 2＋16a ＋163＝0，解得a ＝－43或－433.故选C. (2)由三角函数的定义知tan 420°＝3x ，所以x ＝3tan 420°＝33＝ 3.[答案] (1)C (2) 3 [方法技巧]求角α终边上点的坐标的类型及方法(1)已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．1.[考点一]若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( ) A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ解析：选C 由θ是第二象限角可得θ2为第一或第三象限角，所以tan θ2>0，故选C.2.[考点一]已知θ是第四象限角，则sin(sin θ)( ) A ．大于0 B ．大于等于0 C ．小于0D ．小于等于0解析：选C ∵θ是第四象限角，∴sin θ∈(－1,0)．令sin θ＝α，当－1<α<0时，sin α<0.故sin(sin θ)<0.3.[考点二]已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3B ．±3C.33D ．±33解析：选B 因为P ⎝⎛⎭⎫x ，32在单位圆上，所以x 2＋⎝⎛⎭⎫322＝1，解得x ＝±12.所以tan α＝±3.4.[考点二、三]设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43解析：选D ∵α是第二象限角，∴x <0. 又由题意知x x 2＋42＝15x ，解得x ＝－3. ∴tan α＝4x ＝－43.5.[考点三]已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，即－2<a ≤3. 答案：(－2,3]近五年全国卷对本节内容未直接考查[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．若cos α>0且tan α<0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选D 由cos α>0，得α的终边在第一或第四象限或x 轴非负半轴上，又由tan α<0，得α的终边在第二或第四象限，所以α是第四象限角．2．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同．又角θ与－θ的终边关于x 轴对称，所以角α与β的终边关于x 轴对称．3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A.π3B.π2C. 3D ．2解析：选C 设圆的半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r .根据题意，由3r ＝αr ，得α＝ 3.4．角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选A ∵角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，∴角α的终边在第三象限．又P (m ，n )是角α终边上一点，故m <0，n <0.又|OP |＝10，∴⎩⎨⎧n ＝3m ，m 2＋n 2＝10，解得m ＝－1，n ＝－3，故m －n ＝2. 5．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．解析：由角α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z)，则k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z)，故α2是第二或第四象限角．由⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2<0，所以α2只能是第四象限角．答案：四[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，则sin θcos θ<0.又由sin θ－cos θ>1知sin θ>cos θ，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．2．若α是第三象限角，则y ＝sin α2sin α2＋cos α2cos α2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2解析：选A 由于α是第三象限角，所以α2是第二或第四象限角．当α2是第二象限角时，sin α2>0，cos α2<0， y ＝sinα2sin α2＋－cos α2cos α2＝1－1＝0；当α2是第四象限角时，sin α2<0，cos α2>0， y ＝－sin α2sin α2＋cosα2cos α2＝－1＋1＝0.故选A.3．已知角α的终边经过一点P (x ，x 2＋1)(x >0)，则tan α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.12D. 2解析：选B tan α＝x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2 x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时取等号，即tan α的最小值为2.故选B.4．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数定义知，点P 的横坐标x ＝cos θ，纵坐标y ＝sin θ. 5．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝⎛⎭⎫12，y 0，则cos 2α＝( ) A ．－12B ．1 C.12D ．－32解析：选A ∵角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝⎛⎭⎫12，y 0， ∴⎝⎛⎭⎫122＋(y 0)2＝1，∴y 0＝±32，则cos α＝12，sin α＝±32，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－12.6．(2017·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.2π3 C.5π4D.11π6解析：选D ∵⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3＝⎝⎛⎭⎫32，－12， ∴角α为第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝32.∴角α的最小正值为11π6.二、填空题7．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则θ是第________象限角．解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θcos θ<0，2cos θ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ>0，cos θ<0，所以θ为第二象限角．答案：二8．已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，则m ＝________.解析：由题设知点P 的横坐标x ＝－3，纵坐标y ＝m ， ∴r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，即r ＝3＋m 2.∴sin α＝m r ＝2m 4＝m 22，∴r ＝3＋m 2＝22，即3＋m 2＝8，解得m ＝±5. 答案：±59．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．解析：设扇形半径为R ，内切圆半径为r ，如图．则(R －r )sin 60°＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎫1＋233r . 又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝π3⎝⎛⎭⎫1＋2332r 2＝7＋439πr 2，S 内切圆＝πr 2，所以S 扇S 内切圆＝7＋439.答案：(7＋43)∶910．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sinπ4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律可知，满足题中条件的角x ∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4.答案：⎝⎛⎭⎫π4，5π4 三、解答题11．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求角α的集合； (2)求角α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α＜0，知角α的终边在第三、四象限或y 轴的非正半轴上；由tan α＞0, 知角α的终边在第一、三象限，故角α的终边在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(3)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0， sin α2＜0, cos α2＞0，所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．12．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，l ＝4，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4. 此时弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式本节主要包括2个知识点： 1.同角三角函数的基本关系； 2.三角函数的诱导公式.突破点(一)同角三角函数的基本关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠kπ＋π2，k∈Z.2．同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan θ＝sin θcos θ化成正弦、余弦，或者利用公式sin θcos θ＝tan θ化成正切表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sinθ±cos θ)2∓2sin θcos θ＝tanπ4表达式中需要利用“1”转化和积转换利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ考点贯通抓高考命题的“形”与“神”化简求值[例1](2017·南京模拟)已知α为第二象限角，则cos α·1＋tan2α＋sin α1＋1tan2α＝________.[解析]原式＝cos αsin2α＋cos2αcos2α＋sin αsin2α＋cos2αsin2α＝cos α·1|cos α|＋sin α·1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α＞0, cos α＜0，所以cos α·1|cos α|＋sin α·1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0. [答案]0条件求值[例2]若tan α＝2，则(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________； (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝________.[解析] (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.[答案] (1)－1 (2)1 [方法技巧]同角三角函数关系式应用的注意事项(1)同角并不拘泥于角的形式，如sin 2α2＋cos 2α2＝1，sin 3xcos 3x ＝tan 3x ⎝⎛⎭⎫3x ≠k π＋π2，k ∈Z 都成立，但是sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．(2)对于含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数商的关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．sin α±cos α与sin αcos α关系的应用[例3] 已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．[解] (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425. ∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925. 由x ∈(－π，0)，知sin x <0，又sin x ＋cos x >0，∴cos x >0，则sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.[方法技巧]同角三角函数关系式的方程思想对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，转化公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，体现了方程思想的应用．1.[考点二]若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512D ．－512解析：选D 因为α为第四象限角，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.2.[考点三](2017·厦门质检)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32 B.32 C ．－34 D.34解析：选B ∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.3.[考点二]已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A.22 B. 2 C ．－22D ．－ 2解析：选A ∵sin α＋2cos α＝3，∴(sin α＋2cos α)2＝3，即sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3，∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3，∴tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3，即2tan 2α－22tan α＋1＝0，解得tan α＝22.4.[考点一]sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________.解析：原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋12＝＋12＝4412. 答案：44125.[考点二、三]已知tan α＝－43，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值； (2)1cos 2α－sin 2α的值； (3)sin 2α＋2sin αcos α的值．解：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝⎛⎭⎫－43＋2＝87.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝⎛⎭⎫－432＋11－⎝⎛⎭⎫－432＝－257. (3)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝169－83169＋1＝－825.突破点(二) 三角函数的诱导公式基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．三角函数的诱导公式组数一二三四五六角 2k π＋α(k ∈Z)π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α2.特殊角的三角函数值角α 0°30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 角α的弧度数 0 π6 π4 π3 π2 2π3 5π6 π sin α 0 12 22 32 1 32 12 0 cos α 1 32 22 12 0 －12 －32 －1 tan α 0 3313－3－33考点贯通抓高考命题的“形”与“神”诱导公式的应用1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”． 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． [典例] (1)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )A.35B.53C.45D.54(2)求值：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________. [解析] (1)方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35.原式＝cos α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53.(2)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. [答案] (1)B (2)1[方法技巧]应用诱导公式化简求值的注意事项(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．1．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) A ．－25 B ．－15 C.15 D.25解析：选C ∵sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，∴cos α＝15. 2．sin 210°cos 120°的值为( )A.14 B ．－34 C ．－32 D.34解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝－12×⎝⎛⎭⎫－12＝14. 3．已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}解析：选C k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝－2.则A 的值构成的集合为{2，－2}．4．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tanπ－π6－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.答案：－335．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265. [全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825 C ．1D.1625解析：选A 因为tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝⎛⎭⎫342＋1＝6425.故选A. 2．(2016·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. 则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2 ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45×53＝－43.答案：－43[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．若α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝( ) A ．－45B.45C.35D ．－35解析：选B 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，则cos(－α)＝cos α＝45. 2．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12解析：选B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2. 3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.4．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________. 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43. 答案：－435.1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________. 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1.答案：1[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．sin(－600°)的值为( ) A.32B.22 C ．1D.33解析：选A sin(－600°)＝sin(－720°＋120°)＝sin 120°＝32. 2．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B 由tan(α－π)＝34得tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，可得，sin α＝－35，cos α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 3．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：选D ∵f (4)＝a s in(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－(a sin α＋b cos β)＝－3.4．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12 D ．－12解析：选B 因为2tan α·sin α＝3，所以2sin 2αcos α＝3，所以2sin 2α＝3cos α，即2－2cos 2α＝3cos α，所以cos α＝12或cos α＝－2(舍去)，又－π2<α<0，所以sin α＝－32.5．若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin θ·cos θ＝3716，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.74D.34解析：选D ∵sin θ·cos θ＝3716，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝8＋378，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝8－378，∵θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴sin θ＋cos θ＝3＋74①，sin θ－cos θ＝3－74 ②，联立①②得，sin θ＝34.6．(2017·长沙模拟)若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5解析：选B 由题意知，sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sinθcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.二、填空题7．化简：cos (α－π)sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝________. 解析：cos (α－π)sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos αsin α·(－cos α)·(－sin α)＝－cos 2α.答案：－cos2α8．若f(α)＝sin[(k＋1)π＋α]·cos[(k＋1)π－α]sin(kπ－α)·cos(kπ＋α)(k∈Z)，则f(2 017)＝________.解析：①当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，原式＝sin(2nπ＋π＋α)·cos(2nπ＋π－α) sin(2nπ－α)·cos(2nπ＋α)＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1；②当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，原式＝sin[(2n＋2)π＋α]·cos[(2n＋2)π－α] sin[(2n＋1)π－α]·cos[(2n＋1)π＋α]＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1.综上所述，当k∈Z时，f(α)＝－1，故f(2 017)＝－1.答案：－19．若角θ满足2cos⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos θ2sin(π＋θ)－3cos(π－θ)＝3，则tan θ的值为________．解析：由2cos⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos θ2sin(π＋θ)－3cos(π－θ)＝3，得2sin θ＋cos θ－2sin θ＋3cos θ＝3，等式左边分子分母同时除以cos θ，得2tan θ＋1－2tan θ＋3＝3，解得tan θ＝1. 答案：110．已知角A为△ABC的内角，且sin A＋cos A＝15，则tan A的值为________．解析：∵sin A＋cos A＝15①，①式两边平方得1＋2sin A cos A＝1 25，∴sin A cos A＝－1225，则(sin A－cos A)2＝1－2sin A cos A＝1＋2425＝4925，∵角A为△ABC的内角，∴sin A>0，又sin A cos A＝－1225<0，∴cos A<0，∴sin A－cos A>0，则sin A －cos A ＝75②.由①②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.答案：－43三、解答题11．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.12．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2，又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.第三节三角函数的图象与性质突破点(一) 三角函数的定义域和值域基础联通抓主干知识的“源”与“流” 三角函数正弦函数y ＝sin x余弦函数y ＝cos x正切函数y ＝tan x图象定义域 R Rxx ∈R ，且x⎭⎬⎫≠k π＋π2，k ∈Z值域 [－1,1][－1,1]R最值当且仅当x ＝π2＋2k π(k ∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)当且仅当x ＝2k π(k ∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x ＝π＋2k π(k ∈Z)时，取得最小值－1本节主要包括2个知识点： 1.三角函数的定义域和值域； 2.三角函数的性质.时，取得最小值－1考点贯通抓高考命题的“形”与“神”三角函数的定义域[例1] 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域是________． [解析] 要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1＞0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ＞12，cos x ≤12.解得2k π＋π3≤x <2k π＋5π6，k ∈Z.即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z. [答案] ⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z [方法技巧]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．[提醒] 解三角不等式时要注意周期，且k ∈Z 不可以忽略．三角函数的值域(最值)求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[例2] (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3(2)函数y ＝3－sin x －2cos 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，76π的值域为________． [解析] (1)∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝14时，y min＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.故该函数的值域为⎣⎡⎦⎤78，2. [答案] (1)A (2)⎣⎡⎦⎤78，2 [方法技巧]三角函数值域或最值的三种求法(1)直接法：直接利用sin x ，cos x 的值域求出．(2)化一法：化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，确定ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，转化为二次函数，求在给定区间上的值域(最值)问题．1.[考点一]函数y ＝ cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z) D ．R解析：选C 要使函数有意义，则cos x －32≥0，即cos x ≥32，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z. 2.[考点二]函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1B ．－22 C ．0 D.22解析：选B 因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≤1，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22. 3.[考点一]函数y ＝1tan x －1的定义域为________．解析：要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z.故函数的定义域为xx ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z.答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z 4.[考点一]函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3. ∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 5.[考点二]求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值．解：令t ＝sin x ，则y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54. ∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 突破点(二) 三角函数的性质基础联通抓主干知识的“源”与“流” 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象最小正周期 2π 2π π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性2k π－π2，2k π＋π2为增；2k π＋π2，2k π＋3π2为减，k ∈Z [2k π，2k π＋π]为减；[2k π－π，2k π]为增，k ∈Zk π－π2，k π＋π2为增，k∈Z对称中心 (k π，0)，k ∈Z ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z对称轴 x ＝k π＋π2，k ∈Zx ＝k π，k ∈Z考点贯通抓高考命题的“形”与“神”三角函数的单调性考法(一) [例1] 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]； (2)f (x )＝|tan x |；(3)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2. [解] (1)当－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z 时，函数f (x )是增函数．当2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π4，π.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，单调递减区间是k π－π2，k π，k ∈Z.(3)当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z)，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z 时，函数f (x )是增函数；当2k π≤2x －π6≤2k π＋π(k ∈Z)，即k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．因此函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间是－5π12，π12，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π2，－5π12，⎣⎡⎦⎤π12，π2.[方法技巧]求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[提醒] 求解三角函数的单调区间时，若x 的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．考法(二) 已知单调区间求参数范围[例2] 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是________．[解析] 由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)且2πω≥2×⎝⎛⎭⎫π－π2，则⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2＋2k π，k ∈Z ，πω＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，。

2019届高三数学(理)一轮复习考点规范练：第四章三角函数、解三角形24 Word版含解析

考点规范练24解三角形基础巩固1.(2019东北三省四市二模)在△ABC中,c=,A=75°,B=45°,则△ABC的外接圆的面积为()A. B.π C.2π D.4π2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且c=2a,则cos B=()A. B.C. D.3.(2019全国丙卷,理8)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=()A. B.C.-D.-4.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB 的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30°B.45°C.60°D.75°5.(2019山西朔州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,b=4,则△ABC的面积的最大值为()A.4B.2C.2D.6.在△ABC中,若三边长a,b,c满足a3+b3=c3,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上均有可能7.(2019山东临沂一模)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=sin A-sin B,则角C=.8.(2019山东师大附中模拟)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=.9.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=.10.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h 能截住该走私船?能力提升11.(2019山西阳泉高三模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是()A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c212.(2019内蒙古包头一模)如图,已知AB是圆O的直径,AB=2,点C在直径AB的延长线上,BC=1,点P是圆O上半圆上的动点,以PC为边作等边三角形PCD,且点D与圆心分别在PC的两侧,记∠POB=x,将△OPC和△PCD的面积之和表示成x的函数f(x),则y=f(x)取最大值时x的值为()A. B. C. D.π〚导学号37270444〛13.(2019河北衡水武邑中学冲刺)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果△ABC的面积等于8,a=5,tan B=-,那么=.〚导学号37270445〛14.(2019河南商丘三模)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b2+c2-a2=bc,(1)求角A的大小;(2)设函数f(x)=sin x+2cos2,a=2,f(B)=+1时,求边长b.〚导学号37270447〛高考预测15.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a sin A sin B+b cos2A=a.(1)求;(2)若c2=a2+b2,求角C.〚导学号37270448〛参考答案考点规范练24解三角形1.B解析在△ABC中,c=,A=75°,B=45°,故C=180°-A-B=60°.设△ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理可得2R=,解得R=1,故△ABC的外接圆的面积S=πR2=π.2.B解析在△ABC中,a,b,c成等比数列,且c=2a,则b=a,cos B=故选B.3.解(方法一)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD,AB=AD.由余弦定理,得cos A===-,故选C.(方法二)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,由题意知∠BAD=设∠DAC=α,则∠BAC=α+∵BC=3AD,BD=AD.∴DC=2AD,AC=AD.∴sin α=,cos α=∴cos∠BAC=cos=cos αcos-sin αsin=(cos α-sin α)==-,故选C.4.B解析依题意可得AD=20 m,AC=30 m,又CD=50 m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.5.A解析∵在△ABC中,,∴(2a-c)cos B=b cos C.∴(2sin A-sin C)cos B=sin B cos C.∴2sin A cos B=sin C cos B+sin B cos C=sin(B+C)=sin A.∴cos B=,即B=由余弦定理可得16=a2+c2-2ac cos B=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,故ac≤16,当且仅当a=c时取等号,因此,△ABC的面积S=ac sin B=ac≤4,故选A.6.A解析由题意可知c>a,c>b,即角C最大,所以a3+b3=a·a2+b·b2<ca2+cb2,即c3<ca2+cb2,所以c2<a2+b2.根据余弦定理,得cos C=>0,则0<C<,即三角形为锐角三角形.7解析在△ABC中,=sin A-sin B,=a-b.∴a2+b2-c2=ab,∴cos C=∴C=8解析由题意及正弦定理,可知,即,故∠ADB=45°.所以A=180°-120°-45°,故A=30°,则C=30°,所以三角形ABC是等腰三角形.所以AC=2sin 60°=9解析在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cos α=,则sin α=,所以tan α=10.解设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h,则BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos 120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=,所以∠ABC=38°.又∠BAD=38°,所以BC∥AD.故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5 h截住该走私船.11.B解析∵b2+c2-a2=bc,∴cos A=,∴A=30°.∵b=a,∴sin B=sin A=,∴B=60°或B=120°.当B=60°时,C=90°,此时△ABC为直角三角形,得到a2+b2=c2,2a=c;当B=120°时,C=30°,此时△ABC为等腰三角形,得到a=c;故选B.12.A解析∵S△OPC=OP·OC·sin x=sin x,PC2=12+22-2·1·2·cos x=5-4cos x,S△PCD=PC2·sin(5-4cos x),∴f(x)=sin x+(5-4cos x)=2sin故当x-,即x=时,f(x)有最大值,故选A.13解析在△ABC中,∵tan B=-,∴sin B=,cos B=-又S△ABC=ac sin B=2c=8,∴c=4,∴b=14.解(1)在△ABC中,∵b2+c2-a2=bc,∴cos A=∵0<A<π,∴A=(2)∵f(x)=sin x+2cos2=sin x+cos x+1=sin+1,∴f(B)=sin+1=+1,∴B=,即,∴b=15.解(1)∵a sin A sin B+b cos2A=a,∴sin2A sin B+sin B cos2A=sin A,即sin B(sin2A+cos2A)=sin A,∴sin B=sin A,(2)设b=5t(t>0),则a=3t,于是c2=a2+b2=9t2+25t2=49t2,即c=7t.由余弦定理得cos C==-故C=。

高三数学(理)一轮复习考点规范练：第四章三角函数、解三角形单元质检四A Word版含解析

单元质检四三角函数、解三角形(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2016山西朔州模拟)若点在角α的终边上,则sin α的值为()A.-B.-C.D.2.(2016辽宁沈阳三模)已知θ∈,且sin θ+cos θ=a,其中a∈(0,1),则tan θ的可能取值是()A.-3B.3或C.-D.-3或-3.函数y=sin2x+2sin x cos x+3cos2x的最小正周期和最小值为()A.π,0B.2π,0C.π,2-D.2π,2-4.(2016山西太原一模)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象过点(0,),则函数f(x)图象的一个对称中心是()A. B.C. D.5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若a cos B+b cos A=c sin C,S=(b2+c2-a2),则B=()A.90°B.60°C.45°D.30°6.(2016山西太原高三一模)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于()A.1B.C.D. 〚导学号37270569〛二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.已知sin,且x∈,则cos 2x的值为.8.(2016河南开封四模)在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设AD为BC边上的高,且AD=a,则的最大值是.〚导学号37270570〛三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知函数f(x)=sin2ωx+sin ωx sin(ω>0)的最小正周期为.(1)求出函数f(x)的单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间上的取值范围.10.(15分)(2016江苏,15)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.11.(15分)(2016河北石家庄高三二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足a=3b cos C.(1)求的值;(2)若a=3,tan A=3,求△ABC的面积.参考答案单元质检四三角函数、解三角形(A)1.A解析因为角α的终边上一点的坐标为,即,所以由任意角的三角函数的定义,可得sin α==-,故选A.2.C解析由sin θ+cos θ=a,两边平方可得2sin θcos θ=a2-1.由a∈(0,1)及θ∈,得sin θcos θ<0,且|sin θ|<|cos θ|.故θ∈,从而tan θ∈(-1,0),故选C.3.C解析因为f(x)=sin2x+2sin x cos x+3cos2x=1+sin 2x+(1+cos 2x)=2+sin,所以最小正周期为π,当sin=-1时,取得最小值为2-.4.B解析由题意,得=2sin(2×0+φ),即sin φ=.又|φ|<,所以φ=.由2sin=0,得2x+=kπ,k∈Z,当k=0时,x=-,故选B.5.C解析由正弦定理得:2R(sin A cos B+sin B cos A)=2R sin C sin C,于是sin(A+B)=sin2C,所以sin C=1,即C=,从而S=ab=(b2+c2-a2)=(b2+b2),解得a=b,所以B=45°.故选C.6.D解析由题中图象可得A=1,,解得ω=2.故f(x)=sin(2x+φ).由题图可知在函数f(x)的图象上,故sin=1,即+φ=+2kπ,k∈Z.又|φ|<,故φ=,即f(x)=sin.∵x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),∴x1+x2=×2=.∴f(x1+x2)=sin,故选D.7.-解析sin 2x=cos=1-2sin2=1-2×=-,∵x∈,∴2x∈.∴cos 2x=-=-.8.解析∵AD为BC边上的高,且AD=a,∴△ABC的面积S=a·a=bc sin A.∴sin A=.由余弦定理,得cos A==,故=2=sin A+2cos A=sin(A+α),其中sin α=,cos α=.当sin(A+α)=1时,取到最大值是.9.解(1)f(x)=sin 2ωx=sin 2ωx-cos 2ωx+=sin.因为T=,所以(ω>0),所以ω=2,即f(x)=sin.于是由2kπ-≤4x-≤2kπ+(k∈Z),解得≤x≤(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)因为x∈,所以4x-,所以sin,所以f(x)∈.故f(x)在区间上的取值范围是.10.解(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B==.由正弦定理知,所以AB==5.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos B cos+sin B sin,又cos B=,sin B=,故cos A=-=-.因为0<A<π,所以sin A=.因此,cos=cos A cos+sin A sin=-.11.解(1)由a=3b cos C,得2R sin A=3×2R sin B cos C.∵A+B+C=π,∴sin A=sin(B+C)=3sin B cos C,即sin B cos C+cos B sin C=3sin B cos C.∴cos B sin C=2sin B cos C.∴=2,即=2.(2)(方法一)由A+B+C=π,得tan(B+C)=tan(π-A)=-3,即=-3.①将tan C=2tan B代入①式得=-3,解得tan B=1或tan B=-.根据tan C=2tan B得tan C,tan B同为正,故tan B=1,tan C=2.又tan A=3,故sin B=,sin C=,sin A=,代入正弦定理可得,即b=,所以S△ABC=ab sin C=×3×=3.(方法二)由A+B+C=π,得tan(B+C)=tan(π-A)=-3,即=-3.①将tan C=2tan B代入①式得=-3,解得tan B=1或tan B=-,根据tan C=2tan B得tan C,tan B同为正, 故tan B=1,tan C=2.又a=3b cos C=3,所以b cos C=1,所以ab cos C=3.所以ab cos C tan C=6.所以S△ABC=ab sin C=×6=3.。

2019-2020最新高三数学一轮总复习第四章三角函数解三角形第四节函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简

解：(1)由题图得f(0)＝，
所以cos φ＝，
因为0<φ<，故φ＝.
由于f(x)的最小正周期等于2，
所以由题图可知1<x0<2，
故<πx0＋<，
由f(x0)＝得cos＝，
所以πx0＋＝，x0＝.
(2)因为f＝cos＝cos
＝－sin πx，
所以g(x)＝f(x)＋f ＝cos－sin πx＝cos πxcos－sin πxsin －sin πx
(2)求函数g(x)＝f(x) ＋f(x＋2)在x∈[－1,3]上的最大值和最小值．
解：(1)由图可得A＝3，
f(x)的周期为8，则＝8，即ω＝.
又f(－1)＝f(3)＝0，则f(1)＝3，
所以sin＝1，
即＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又φ∈[0，π)，故φ＝.
综上所述，f(x)的解析式为f(x)＝3sin.
即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物
＝sin，
当x∈时，2x－∈，
sin∈，
此时g(x)的值域是.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(20xx·济南模拟)将函数y＝cos 2x＋1的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的解析式为________．
解析：将函数y＝cos 2x＋1的图象向右平移个单位得到y＝cos 2＋1＝sin 2x＋1，再向下平移1个单位得到y＝sin 2x.
答案：右
4.(20xx·贵阳监测)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.
解析：由图可知，＝－＝，

高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形答案 (2)

第四章三角函数、解三角形第19讲弧度制、任意角的三角函数1. C2. A3. A 【解析】设扇形的半径为r cm，因为扇形的周长为12 cm，圆心角为4rad，所以2r＋4r＝12，得r＝2，所以此扇形的面积S＝12×4×22＝8(cm2)．4. C 【解析】由π4<α<π2，知cos α<sin α<1<tan α，所以cos α－sin α<0，sin α－tanα<0故点P位于第三象限．5. A 【解析】点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，所以∠QOx＝2π3，所以Q⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos2π3，sin2π3，即Q⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12，32，故选A.6. B 【解析】由题知“弓”所在弧长l＝π4＋π4＋π8＝5π8，其所对圆心角α＝5π854＝π2，两手之间距离d＝2×1.25≈1.768.7. BC8. ABC 【解析】若P(5t，－12t)(t>0)为α终边上一点，则cos α＝5t(5t)2＋(－12t)2＝5t13t＝513，A正确．因为sin α＋cos α＝23，所以1＋2sin αcos α＝49，所以2sin αcos α＝－59<0.因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，所以△ABC必为钝角三角形，B正确．由题知sin α＝cos β＝1，所以cos α＝0，所以cos α·cos β＝0，C正确．因为cos2α＋sin2α＝19＋49<1，所以D错误．9. AC 【解析】因为角α的终边经过点(1,22)，所以sin α＝223，cosα＝13，所以f (cos α)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＝log 313＝－1，f (sin α)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫223＝log 3223<0，所以f (f (cos α))＝f (－1)＝2－1＝12，f (f (sin α))＝2log 3223.故选AC. 10.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z【解析】因为在[0,2π)内，终边落在阴影部分的角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，56π，所以所求角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z .11.154【解析】由题意，根据给出的计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，再由扇形的弧长公式，可得扇形的圆心角α＝lr ＝308＝154(弧度)．12. ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，1 【解析】由已知得β＝α－π3，x 1＝cos α，x 2＝cosβ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π3，所以x 2－x 1＝cos β－cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π3－cos α＝－12cos α＋32sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6，因为π2<α<π，所以π3<α－π6<5π6，所以sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，1，所以x 2－x 1的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，1. 13. 【解答】设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t s ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，所以t ＝4，即第一次相遇时所用的时间为4 s.设第一次相遇时，相遇点为C ，则∠COx ＝π3·4＝4π3，则P 点走过的弧长为4π3·4＝16π3，Q 点走过的弧长为2π3·4＝8π3.x C ＝4cos 4π3＝－2，y C ＝4sin 4π3＝－23，所以C 点的坐标为(－2，－23)． 14. 【解答】(1)因为角α的顶点与坐标原点O 重合，始边落在x 轴的正半轴上，终边经过点A (4，y 0)，其中y 0≠0，所以cos α＝416＋y20＝255，所以y 0＝±2.(2) 若y 0＝－4，则tan α＝－44＝－1，2sin α＋3cos αcos α－4sin α＝2tan α＋31－4tan α＝15.15. 【解答】 (1) 因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15.(2) 当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，cos θ＝－45∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，cos θ＝45∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．第20讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式1. A2. D3. A4. A【解析】1＋2sin (π－3)cos (π＋3)＝1－2sin 3cos 3＝sin23－2sin 3cos 3＋cos23，由于sin 3＞0＞cos 3，所以原式＝sin 3－cos 3.故选A.5. B 【解析】因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ2＋π2＝13，所以cos θ2＝13，所以θ2在第一象限，且cos θ2<sin θ2，所以1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1.6. D 【解析】tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＋π2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＋π2＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π4，又α是第一象限角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＝35，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4是第一象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＝45，则原式＝－43. 7. ABD8. ABD 【解析】对于A ，sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ，正确；对于B ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋B 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－C 2＝cos C 2，正确；对于C ，若A ＝60°，B ＝45°，C ＝75°，则sin B ＝22>12＝cos A ，故C 错误；对于D ，cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，由C 为锐角，可得cosC >0，cos(A ＋B )＝－cos C <cos C ，正确．故选ABD.9. BD 【解析】设t ＝sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4，由0≤α≤π2，得π4≤α＋π4≤3π4，则1≤t ≤2，又由(sin α＋cos α)2＝t 2，得2sin αcos α＝t 2－1，所以f (α)＝g (t )＝t2－1－2t ＋1＝t －1－2t ＋1，又因为函数y ＝t －1和y ＝－2t ＋1在[1，2]上单调递增，所以g (t )＝t －1－2t ＋1在[1，2]上为增函数，g (t )min ＝g (1)＝－1，g (t )max ＝g (2)＝1－2.10. －15 【解析】因为tan(π－α)＝－23，所以tan α＝23，所以cos (－α)＋3sin (π＋α)cos (π－α)＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－2－1＋6＝－15.11. －75 －24175 【解析】由已知，得sin x ＋cos x ＝15，则sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.因为(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0，知sin x <0，又sin x ＋cos x >0，所以cos x >0，sin x －cos x <0，故sinx －cos x ＝－75.sin 2x ＋2sin2x 1－tan x＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin xcos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175. 12. －3或13【解析】由2sin α＋cos α＝102，得(2sin α＋cosα)2＝52，即4sin 2α＋4sin αcos α＋cos 2α＝52.所以4sin2α＋4sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝52，所以4tan2α＋4tan α＋1tan2α＋1＝52，即3tan 2α＋8tan α－3＝0，解得tan α＝－3或tan α＝13.13. 【解答】 (1) 因为cos(π＋α)＝45＝－cos α，所以cos α＝－45.因为tanα>0，所以α为第三象限角，sin α＝－1－cos2α＝－35，故tan α＝sin αcos α＝34.(2) 2sin (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (2π－α)＋cos (－α)＝2sin α＋cos αcos α＋cos α＝2sin α＋cos α2cos α＝tan α＋12＝54.14. 【解答】 (1) tan α＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝tan π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α1＋tan π4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝－3.因为tan α<0，所以角α的终边在第二象限或第四象限，所以点A 在第二象限或第四象限． (2) 由B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫35，－45知tan β＝－43，则原式＝－sin αcos β＋3cos αsin βcos αcos β＋3sin αsin β＝－tan α＋3tan β1＋3tan αtan β＝－－3＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－43×31＋3×(－3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝713. 15. 【解答】由题知原方程判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，所以a ≥4或a ≤0.因为⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，所以a 2－2a －1＝0，解得a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)．所以sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－2. (1) cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋θ＝sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ) ＝(1－2)×[1－(1－2)]＝2－2. (2) tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫tan θ＋1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin θcos θ＋cos θsin θ ＝－1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1.第21讲三角恒等变换1. C2. A3. D 【解析】原式＝(－sin 2α)·cos 2α(1＋cos 2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos2α2cos2α·sin α＝cos α.4. A 【解析】因为sin α＝－45，α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3π2，2π，所以cos α＝35.又因为sin (α＋β)cos β＝2，所以sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝613. 5. A 【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－2α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－2α＝－cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－α ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3－α－1＝2×116－1＝－78.6. C 【解析】因为sin 2A 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π3＝5－1510，所以1－cos A 2＋12cos A －32sin A ＝5－1510，即12－32sin A ＝5－1510，解得sin A ＝55. 因为A 为钝角，所以cos A ＝－1－sin2A ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫552＝－255. 由sin B ＝1010，且B 为钝角，可得cos B ＝－1－sin2B ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫10102＝－31010. 所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－31010－55×1010＝22. 又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，所以A ＋B ∈(π，2π)，故A ＋B ＝7π4.7. BC 【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－116π＝sin π6＝12. A 选项中，2cos 215°－1＝cos 30°＝32，不相等；B 选项中，cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12，相等；C 选项中，2sin 15°sin 75°＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，相等；D 选项中，tan 30°＋tan 15°1－tan 30°tan 15°＝tan 45°＝1，不相等．故选BC.8. BC 【解析】对于A ，1－cos 2α1＋cos 2α＝1－(1－2sin 2α)1＋2cos 2α－1＝sin2αcos2α＝tan2α＝|tan α|，由1－cos 2α1＋cos 2α≥0，解得－1<cos 2α≤1，即2α≠π＋2k π(k ∈Z )，解得α≠π2＋k π(k ∈Z )，故A 错误；对于B ，因为α∈(0，π)，所以1＋cos (π＋2α)2·1cos α＝1－cos 2α2·1cos α＝sin2α·1cos α＝|sin α|cos α＝sin αcos α＝tan α，故B 正确；对于C ，1－cos 2αsin 2α＝2sin2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α，故C 正确；对于D ，sin 2α1－cos 2α＝2sin αcos α2sin2α＝cos αsin α≠tan α，故D 错误．故选BC.9. CD 【解析】 f (x )＝sin x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3－14 ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin x ＋32cos x －14＝12sin 2x ＋32sin x cos x －14 ＝14(1－cos 2x )＋34sin 2x －14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 2x －12cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6. 作出函数f (x )的图象如图所示．(第9题)在一个周期内考虑问题，易得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝π2，5π6≤n ≤7π6或⎩⎪⎨⎪⎧π2≤m ≤5π6，n ＝7π6满足题意，所以n －m 的值可能为区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，2π3内的任意实数，所以A ，B 可能，C ，D 不可能．10. 3【解析】因为tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－12，所以tanα＝12.因为tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝tan β－121＋12·tan β＝1，解得tan β＝3.11.12【解析】sin 110°sin 20°cos2155°－sin2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12. 12. 210 【解析】由tan αtan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α(1－tan α)tan α＋1＝－23，解得tan α＝2或－13.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α) ＝22(2sin αcos α＋2cos 2α－1)＝2(sin αcos α＋cos 2α)－22＝2·sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α－22＝2·tan α＋1tan2α＋1－22，将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π4＝210. 13. 【解答】 (1) 由题意知OA ＝OM ＝1，因为S △OAM ＝55和α为锐角，所以sin α＝255，cos α＝55.又点B 的纵坐标是210，所以sin β＝210，cos β＝－7210，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－7210＋255×210＝－1010. (2) 因为cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫552－1＝－35，sin 2α＝2sin αcos α＝2×255×55＝45，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π.因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，所以2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2. 因为sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝－22，所以2α－β＝－π4.14. 【解答】方案一：选条件①.因为tan α＝43，所以sin αcos α＝43. 由平方关系sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝437，cos α＝17或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－437，cos α＝－17.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝437，cos α＝17.因为cos(α＋β)＝－13，由平方关系得sin 2(α＋β)＋cos 2(α＋β)＝1，解得sin 2(α＋β)＝89.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以0<α＋β<π，所以sin(α＋β)＝223，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－13×17＋223×437＝86－121.方案二：选条件②.因为7sin 2α＝2sin α，所以14sin αcos α＝2sin α，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以sin α≠0，所以cos α＝17.由平方关系sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝4849.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以sin α＝437. 以下同方案一．方案三：选条件③.因为cos α2＝277，所以cos α＝2cos 2α2－1＝17.由平方关系sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝4849.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以sin α＝437. 以下同方案一．15. 【解答】 (1) 因为f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋1 ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋2，将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，所得函数的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6＋π6＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋2，故所得图象对应函数的最小正周期为2π2＝π. (2) 因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－π6，5π6，令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＝±1，得2x －π6＝π2，所以x ＝π3，即x ＝π3为所求函数g (x )在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2上的对称轴．令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＝0，得2x －π6＝0，所以x ＝π12，所以函数g (x )在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2上的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12，2. 由于2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－π6，5π6，则只需2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π2，所以x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3. 故函数g (x )在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2上的单调增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3. 第22讲三角函数的图象和性质第1课时三角函数的图象和性质1. C2. B3. B4. A 【解析】因为f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，所以x ＝π6是f (x )图象的一条对称轴，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝±1，所以π6×ω＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以ω＝6k ＋2，k ∈Z ，所以T ＝π3k ＋1(k ∈Z )．又f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，所以π6<T 4≤π2－π6，所以2π3<T ≤4π3，所以2π3<π3k ＋1≤4π3(k ∈Z )，所以－112≤k <16，又因为k ∈Z ，所以k ＝0，所以T ＝π. 5. A 【解析】 f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π12＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2ωx －π6.又因为f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π12的图象关于直线x ＝π4对称，所以2ω×π4－π6＝k π(k ∈Z )，即ω＝2k ＋13(k ∈Z )．因为ω>0，所以ω的最小值为13.故选A. 6. A 【解析】已知函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6，令2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝12k π＋π3，k ∈Z ，即f (x )的对称轴方程为x ＝12k π＋π3，k ∈Z .因为f (x )的最小正周期为T ＝π，0≤x ≤43π3，当k ＝0时，可得y 轴右侧第一条对称轴x ＝π3，当k ＝28时，可得x ＝43π3，所以f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，43π3上有29条对称轴，根据正弦函数的性质可知，函数f (x )＝4sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6与y ＝3的交点有29个，即x 1，x 2关于x ＝π3对称，x 2，x 3关于x ＝5π6对称，…，即x 1＋x 2＝2π6×2，x 2＋x 3＝5π6×2，…，x 28＋x 29＝2×83π6，将以上各式相加得x 1＋2x 2＋2x 3＋…＋2x 28＋x 29＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π6＋5π6＋…＋83π6＝(2＋5＋8＋…＋83)×π3＝1 190π3. 7. ABC 【解析】 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3的最小正周期为π，故A 错误；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝32≠0，故B 错误；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，11π12时，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3，3π2，此时f (x )单调递减，故C 错误；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2×5π12－π3＝1，观察其图象，易知5π12是f (x )的一个极大值点，故D 正确．8. ABD 【解析】由f (x )＝sin[cos x ]＋cos[sin x ]，对于A ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝sin 0＋cos 1＝cos 1，故A 正确；对于B ，因为f (x ＋2π)＝sin[cos(x ＋2π)]＋cos[sin(x ＋2π)]＝sin[cos x ]＋cos[sinx ]＝f (x )，所以f (x )的一个周期是2π，故B 正确；对于C ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2时，0<sin x <1,0<cos x <1，所以f (x )＝sin[cos x ]＋cos[sin x ]＝sin 0＋cos 0＝1，故C 错误；对于D ，f (0)＝sin[cos 0]＋cos[sin0]＝sin1＋cos0＝sin1＋1>22＋1>2，故D 正确．故选ABD.9. ACD 【解析】当x ∈[0,2π]时，ωx ＋π5∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π5，2πω＋π5.因为f (x )在[0,2π]上有且仅有5个零点，所以5π≤2πω＋π5<6π，所以125≤ω＜2910，故D 正确；由5π≤2πω＋π5<6π，知ωx ＋π5∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π5，2πω＋π5时，令ωx ＋π5＝π2，5π2，9π2时取得极大值，A 正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，B 不正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π10时，ωx ＋π5∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π5，(ω＋2)π10.若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π10上单调递增，则(ω＋2)π10≤π2，即ω≤3，又125≤ω＜2910，故C 正确． 10.－1【解析】因为f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋θ＋π4，又因为f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝0，从而θ＋π4＝k π，k ∈Z ，θ＝k π－π4，k ∈Z ，故f (θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2θ＋π4＝－1. 11. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π2－π6，k π2＋π12(k ∈Z ) 【解析】由题知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π6，由2k π－π2≤4x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π2－π6≤x ≤k π2＋π12，k ∈Z ，即函数y ＝cos 4x ＋3sin4x 的单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π2－π6，k π2＋π12(k ∈Z )．12. (－∞，－4]【解析】 f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4.13. 【解答】 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4＋a ＋b . (1) 当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，所以f (x )的单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2) 因为0≤x ≤π，所以π4≤x ＋π4≤5π4，所以－ 22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a ＞0时，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，所以a ＝32－3，b ＝5.②当a ＜0时，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，所以a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.14. 【解答】 (1) 因为f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3cos x ＋3＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin x －32cos x cos x ＋3＝2sin x cos x －23cos 2x ＋3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上有两个不同的零点x 1，x 2，即函数y ＝f (x )与直线y ＝m 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的图象有两个不同的交点，在平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的图象，如图所示．(第14题)由图象可知，当且仅当m∈[3，2)时，方程f (x )＝m 有两个不同的解x 1，x 2，且x 1＋x 2＝2×5π12＝5π6，故tan(x 1＋x 2)＝tan 5π6＝－tan π6＝－33.15. 【解答】若选①：因为f (0)＝sin(0＋φ)＝sin φ＝12，所以φ＝π6＋2k π或φ＝5π6＋2k π，k ∈Z .因为－π2≤φ≤π2，所以φ＝π6.此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6. 当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2时，ωx ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，ωπ2＋π6，要使得函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是单调的，则需ωπ2＋π6≤π2，所以ω≤23.因为ω＞0，所以0＜ω≤23. 若选②：因为f (x )≤f (0)恒成立，所以f (x )max ＝f (0)＝sin φ＝1. 因为－π2≤φ≤π2，所以φ＝π2.此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π2＝cos ωx . 因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，ωx ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，ωπ2，要使得函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是单调的，则需ωπ2≤π，所以ω≤2.因为ω＞0，所以0＜ω≤2.若选③：因为f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3ω，0中心对称，所以ω·π3ω＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝－π3＋k π，k ∈Z ，因为－π2≤φ≤π2，所以φ＝－π3.此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3. 因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，ωx －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，ωπ2－π3. 要使得函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是单调的，则需ωπ2－π3≤π2，所以ω≤53.因为ω＞0，所以0＜ω≤53. 第2课时函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象1. A 【解析】将函数y ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位长度，可得y ＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋2π3的图象，令2x ＋2π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，则平移后的图象的对称轴方程为x ＝k π2－π12(k ∈Z )，故选A.2. D 【解析】把y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度，得y ＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4＝cos⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x 的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的解析式为y ＝－sin(2×2x )＝－sin 4x ，所以y ＝－sin 4x ＝－2sin 2x cos 2x ＝f (x )cos 2x ，所以f (x )＝－2sin 2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝－2sin π3＝－3.故选D.3.A【解析】T ＝2π2＝π，由题意知f (x )＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，只有A 符合，故选A.4. D 【解析】函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪ 31⎪⎪⎪⎪sin ωx cos ωx ＝3cos ωx －sin ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)，将f (x )的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2cos⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋2π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋2ωπ3＋π6，又因为该函数为偶函数，所以2ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝3k 2－14，k ∈Z ，当k ＝1时，ω取得最小值是54，故选D. 5. A【解析】因为A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD 在x 轴上的投影为π12，所以T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12＋π6＝π，所以ω＝2.因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6，0，所以0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π3＋φ，即－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又0＜φ＜π2，所以φ＝π3.故选A.6. B 【解析】由图可知，14T ＝π3－π12＝π4，解得T ＝π，由T ＝2πω＝π，得ω＝2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3＋φ＝1，所以2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，故φ＝－π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6. g (x )＝2mf (x )＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π6＝4m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－4x ＝4m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＝－2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6－m 2＋2m 2＋1.因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π12，5π12，所以2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6∈[0,1]． ①当m ＜0时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＝0时，g (x )取得最大值1，与已知不符； ②当0≤m ≤1时，当且仅当sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＝m 时，g (x )取得最大值2m 2＋1，由已知得2m 2＋1＝32，解得m ＝12.③当m ＞1时，当且仅当sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＝1时，g (x )取得最大值4m －1，由已知得4m －1＝32，解得m ＝58，矛盾．舍去．综上所述，m ＝12.7. AC【解析】由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫54－14＝2，故A 正确；因为函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，0和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫54，0，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＋54＋kT 2＝34＋k (k ∈Z )，故直线x ＝－12不是函数f (x )图象的对称轴，故B 不正确；由图可知，当14－T 4＋kT ≤x ≤14＋T 4＋kT (k ∈Z )，即2k －14≤x ≤2k ＋34(k∈Z )时，f (x )是减函数，故C 正确；若A ＞0，则最大值是A ，若A ＜0，则最大值是－A ，故D 不正确．8. ABC【解析】对于A ，将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π12个单位长度得y ＝sin⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图象，故A 正确；对于B ，将y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移11π12个单位长度得y ＝sin⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －11π12＋π3＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －3π2＝cos 2x 的图象，故B 正确；对于C ，将C 2关于x 轴对称得y ＝－sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象，再沿x 轴方向向右平移5π12个单位长度得y ＝－sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －5π12＋π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π2＝cos2x 的图象，故C 正确；对于D ，C 3的图象向左平移π12个单位长度得y ＝－sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＋π3＝－sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝－cos2x 的图象，故D 错误．故选ABC.9.AC【解析】因为直线x ＝π4是f (x )＝sin(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2<φ<π2图象的一条对称轴，所以3×π4＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，则φ＝－π4＋k π(k ∈Z )．因为－π2<φ<π2，所以φ＝－π4，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －π4.对于A ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12－π4＝sin3x ，因为sin(－3x )＝－sin 3x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12为奇函数，故A 正确；对于B ，令－π2＋2k π≤3x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π12＋2k π3≤x ≤π4＋2k π3(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π12，π4上单调递增，故B 错误；对于C ，若|f (x 1)－f (x 2)|＝2，则|x 1－x 2|最小为半个周期，即2π3×12＝π3，故C 正确；对于D ，函数f (x )的图象向右平移π4个单位长度得y ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－π4＝sin(3x －π)＝－sin 3x 的图象，故D 错误．故选AC. 10.3【解析】 y ＝f (x )＋g (x )＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6＋π6＋sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6－π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6，故y ∈[－3，3]．11. 13 【解析】由f (x )是偶函数，φ∈(0，π)，可得φ＝π2，则f (x )＝A cosωx ，易知g (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12ωx ＋ωπ6.由g (x )图象的相邻对称中心之间的距离为2π，得T ＝2π12ω＝4π，即ω＝1，故g (x )＝Acos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋π6.又y ＝g (x )的图象在其某对称轴处对应的函数值为－2，A >0，所以A ＝2，故g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋π6，当x ∈[0，π]时，x 2＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，2π3，所以g (x )max ＝2cos π6＝3. 12.9【解析】由题知g (x )＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π4上单调递增，所以有⎩⎪⎨⎪⎧π6ω＋π6≥2k π－π2，π4ω＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －4≤ω≤8k ＋43，k ∈Z .由12k －4≤8k ＋43可得k ≤43.当k ＝1时，ω∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤8，283，所以正整数ω的最大值是9. 13. 【解答】 (1) 由图象知，A ＝2，又T4＝5π6－π3＝π2，ω>0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1. 所以f (x )＝2sin(x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6. (2) 当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2时，x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，1，即f (x )∈[－3，2]．14. 【解答】 (1) 依题意，BC ＝π＝T2，故T ＝2π，故ω＝2πT ＝1.将A (0,1)，代入得M ·sin π6＝1，故M ＝2.(2) 由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6，依题意，g (x )＝f (x )·cos x ＝cos x ·2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋12.当π6≤x ≤π2时，π2≤2x ＋π6≤7π6，－12≤sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6≤1，故0≤g (x )≤32，所以函数g (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π2上的最大值为32，最小值为0. 15. 【解答】 (1) 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0<ω<3，所以ω＝2. (2) 由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.第23讲正弦定理与余弦定理第1课时正弦定理与余弦定理1. B 【解析】因为a sin A＝b sin B，所以sin B ＝b asin A ＝2418sin45°＝223.又因为a <b ，所以B 有两个解，即此三角形有两解．2. C 【解析】由cos A ＝35，A ∈(0，π)，得sin A ＝45.又B ＝45°，故sin B ＝cos B ＝22，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝7210，由正弦定理得b ＝csin B sin C ＝57.3. D 【解析】因为BC ＝10，CD ＝2，△CBD 的面积为1，所以S △CBD ＝12×2×10×55.若∠DCB 为钝角，则90°＜∠DCB ＜120°，32＜sin ∠DCB ＜1，因为sin ∠DCB ＝55＜32，所以∠DCB 不可能为钝角，所以cos ∠DCB ＝255.由余弦定理得BD 2＝CB 2＋CD 2－2CD ·CB cos ∠DCB ＝4，解得BD ＝2，在△CBD 中，由余弦定理得cos ∠BDC ＝－22，所以∠BDC ＝135°，∠ADC ＝45°，在△ADC 中，由正弦定理得ACsin 45°＝2sin 60°，所以AC ＝233.故选D.(第3题)4. A 【解析】由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝4b 2cos C ，则cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝4b2cos C 2ab ＝2ba cos C .因为△ABC 为斜三角形，所以cos C ≠0，所以a ＝2b .因为S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD ，所以12b ·2b sin C ＝12b ·b sin C 2＋12b ·2b sin C2，即2sinC ＝4sin C 2cos C 2＝3sin C2.因为C ∈(0，π)，所以C2∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以sin C 2≠0，所以cos C 2＝34，所以cos C ＝2cos2C 2－1＝2×916－1＝18.5. A 【解析】因为在△ABC 中，a 2＋b 2＝2 021c 2，由正弦定理可得sin 2A ＋sin 2B ＝2 021sin 2C ，再由余弦定理可得cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝2 020c22ab ＝1 010sin2Csin Asin B ，所以sin A sin B cos C ＝1 010sin 2C ， tan Ctan A ＋tan Ctan B ＝sin Ccos A cos Csin A ＋sin Ccos B cos Csin B＝sin Csin Bcos A ＋sin Asin Ccos B sin Asin Bcos C ＝sin Csin (A ＋B )1 010sin 2C＝sin2C1 010sin2C ＝11 010. 6. ACD 【解析】因为b 2－bc －2c 2＝0，所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4，因为cos A ＝78，所以sin A ＝158，由正弦定理csin C ＝asin A，得sin C ＝csin A a＝108，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝152.7. ACD 【解析】由a cos A＝b cos B＝c cos C，利用正弦定理可得sin A cos A＝sin B cos B＝sin Ccos C，即tan A ＝tan B ＝tan C ，得A ＝B ＝C ，△ABC 是等边三角形，A 正确；由正弦定理可得sinA cosA ＝sinB cosB ，即sin2A ＝sin2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，△ABC 是等腰或直角三角形，B 不正确；由正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B ，sin A ＝sin B ，则A ＝B ，△ABC 是等腰三角形，C 正确；由余弦定理可得cos C ＝a2＋b2－c22ab ＜0，角C 为钝角，D 正确，故选ACD.8. ACD 【解析】因为(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，所以可设⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝9x ，a ＋c ＝10x ，b ＋c ＝11x(其中x ＞0)，解得a ＝4x ，b ＝5x ，c ＝6x ，所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，所以A 正确；由上可知，c 边最大，所以三角形中角C 最大，又cos C ＝a2＋b2－c22ab＝(4x )2＋(5x )2－(6x )22×4x ×5x ＝18＞0，所以角C 为锐角，所以B 错误；由上可知，a 边最小，所以三角形中角A 最小，又cos A ＝c2＋b2－a22cb ＝(6x )2＋(5x )2－(4x )22×6x ×5x ＝34，所以cos 2A ＝2cos 2A －1＝18，所以cos 2A ＝cos C . 由三角形中C 角最大且角C 为锐角可得2A∈(0，π)，C∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以2A ＝C ，所以C 正确；由正弦定理得2R ＝c sin C ，又sin C ＝1－cos2 C ＝378，所以2R ＝6378，解得R ＝877，所以D 正确．故选ACD.9. 63 【解析】由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，又因为b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，所以36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，所以c ＝23，a ＝43，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝63.10. π3 (2，＋∞) 【解析】由余弦定理得cos B ＝a2＋c2－b22ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ．又因为S ＝34(a 2＋c 2－b 2)，所以12ac sin B ＝34×2ac cos B ，所以tan B ＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.又因为C 为钝角，所以C ＝2π3－A >π2，所以0<A <π6.由正弦定理得c a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A＝12＋32·1tan A .因为0<tan A <33，所以1tan A>3，所以c a >12＋32×3＝2，即c a>2.所以ca的取值范围是(2，＋∞)．11. 3 【解析】因为b (2－cos A )＝a (cos B ＋1)，所以2b －a ＝b cos A ＋a cos B ，由余弦定理得b cos A ＋a cos B ＝b ·b2＋c2－a22bc ＋a ·a2＋c2－b22ac ＝c ，所以2b －a ＝c ，即a ＋c ＝2b ，又a ＋c ＝4，所以b ＝2. 由余弦定理得cos B ＝a2＋c2－42ac ＝(a ＋c )2－2ac －42ac ＝12－2ac 2ac ＝6ac －1，所以sin B ＝1－cos2B ＝－36a2c2＋12ac ，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac－36a2c2＋12ac ＝3ac －9≤3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋c 22－9＝3，当且仅当a ＝c 时等号成立，所以△ABC 面积的最大值为3.12. 【解答】若选择①b 2＋2ac ＝a 2＋c 2：由余弦定理得cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝2ac 2ac ＝22，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a ＝bsin Asin B＝2·sin π322＝3，因为A ＝π3，B ＝π4，所以C ＝π－π3－π4＝5π12，所以sin C ＝sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋π6＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝6＋24，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×6＋24＝3＋34.若选择②a cos B ＝b sin A ：由正弦定理得sin A cos B ＝sin B sin A ，因为sin A ≠0，所以sin B ＝cos B ，tan B ＝1. 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a ＝bsin Asin B＝2·sin π322＝3，因为A ＝π3，B ＝π4，所以C ＝π－π3－π4＝5π12，所以sin C ＝sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋π6＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝6＋24，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×6＋24＝3＋34.若选择③sin B ＋cos B ＝2：则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫B ＋π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫B ＋π4＝1，因为B ∈(0，π)，所以B ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，5π4，所以B ＋π4＝π2，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a ＝bsin Asin B＝2·sinπ322＝3，因为A ＝π3，B ＝π4，所以C ＝π－π3－π4＝5π12，所以sin C ＝sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋π6＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝6＋24，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×6＋24＝3＋34.13. 【解答】 (1) 若选条件①，因为3b ＝a (sin C ＋3cos C )，所以由正弦定理得3sin B ＝sin A (sin C ＋3 cos C )，因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以3(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ＋3sin A cos C ，即3cos A sin C ＝sin A sin C ，因为sin C ≠0，所以tan A ＝3. 因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.若选条件②，因为2a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，所以由正弦定理得2sin A cos A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即2sin A cos A ＝sin(B ＋C )＝sin A ，因为sin A ≠0，所以cos A ＝12.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.若选条件③，因为a cos C ＋12c ＝b ，所以由正弦定理得sin A cos C ＋12sin C ＝sin B ，因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin A cos C ＋12sin C ＝sin A cosC ＋cos A sin C ，即cos A sin C ＝12sin C ．因为sin C ≠0，所以cos A ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.所以不管选择哪个条件，都有A ＝π3.(2) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，因为a ＝3，A ＝π3，即b 2＋c 2－bc ＝3，因为b 2＋c 2≥2bc ，所以2bc －bc ≤3，即bc ≤3，当且仅当b ＝c 时等号成立．所以bc 的最大值为3.所以S ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334.故面积S 的最大值为334.14. 【解答】 (1) 若选①，由正弦定理得sin Bsin A ＝cos B ＋13sin A ，因为sin A ≠0，所以3sin B －cos B ＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫B －π6＝12，因为0＜B ＜π，所以－π6＜B －π6＜5π6，所以B －π6＝π6，所以B ＝π3.若选②，因为2b sin A ＝a tan B,2b sin A ＝asin Bcos B ，由正弦定理可得2sin B sin A ＝sin A ·sin Bcos B，。

高三数学(理)一轮复习考点规范练：第四章三角函数、解三角形21 Word版含解析

考点规范练21函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用基础巩固1.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期为T,且当x=2时,f(x)取得最大值,那么()A.T=2,θ=B.T=1,θ=πC.T=2,θ=πD.T=1,θ=2.已知函数f(x)=sin,则要得到g(x)=-cos的图象,只需将函数y=f(x)的图象()A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.104.(2016河南洛阳二模)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位,所得到的函数图象关于y 轴对称,则φ的一个可能取值为()A. B.C.0D.-〚导学号37270310〛5.将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增6.(2016山东滨州二模)若函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为,则φ=()A. B. C. D.〚导学号37270311〛7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则y=f取得最小值时x的集合为()A.B.C.D.8.(2016河南信阳、三门峡一模)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,把f(x)的图象向左平移个单位后,得到函数g(x)的图象,则g=()A.-1B.1C.-D.9.(2016全国丙卷,理14)函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移个单位长度得到.10.已知函数y=g(x)的图象由f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示,则φ=.11.(2016山东临沂一模)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到g(x)=2sin的图象,则f(x)=.12.设函数f(x)=sin,则下列命题:①f(x)的图象关于直线x=对称;②f(x)的图象关于点对称;③f(x)的最小正周期为π,且在区间上为增函数;④把f(x)的图象向右平移个单位长度,得到一个奇函数的图象.其中正确的命题的序号为.能力提升13.(2016河南商丘三模)函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称,则函数f(x)在上的最大值为()A. B. C.- D.-14.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A.f(2)<f(-2)<f(0)B.f(0)<f(2)<f(-2)C.f(-2)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(-2) 〚导学号37270312〛15.(2016山东烟台二模)已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点对称,若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位得到一个偶函数的图象,则实数m的最小值为.16.已知函数y=3sin.(1)用五点法作出函数的图象;(2)说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样的变化得到的.高考预测17.已知函数f(x)=sin ωx(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=sin的图象,只要将y=f(x)的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度参考答案考点规范练21函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用1.A解析T==2,当x=2时,由π×2+θ=+2kπ(k∈Z),得θ=-+2kπ(k∈Z).又0<θ<2π,所以θ=2.C解析y=-sin y=-cos=-cos,故选C.3.C解析因为sin[-1,1],所以函数y=3sin+k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.B解析由题意可知平移后的函数为y=sin=sin由平移后的函数图象关于y轴对称,可得+φ=kπ+(k∈Z),即φ=kπ+(k∈Z),故选B.5.B解析设平移后的函数为f(x),则f(x)=3sin=3sin=-3sin令2kπ-2x+2kπ+,k∈Z,解得f(x)的单调递减区间为,k∈Z,同理得单调递增区间为,k∈Z.从而可判断B正确.6.C解析由函数f(x)=2sin2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)=2sin[2(x-φ)]的图象,可知对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为-φ.故-φ=,即φ=7.B解析根据所给图象,周期T=4=π,故π=,即ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ),又图象经过,代入有2+φ=kπ(k∈Z),再由|φ|<,得φ=-,故f=sin,当2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f取得最小值.8.A解析根据函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象,可得A=2,,求得ω=π.再根据五点法作图可得π+φ=,求得φ=,故f(x)=2sin把f(x)的图象向左平移个单位后,得到函数g(x)=2sin=2cos的图象,则g=2cos=2cos=-1,故选A.9解析因为y=sin x+cos x=2sin,y=sin x-cos x=2sin=2sin,所以函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移个单位长度得到.10解析函数f(x)=sin2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x=,则x=x=关于x=对称的直线为x=,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为x=的点平移到x=,则φ=11.-2cos 2x解析由题意可知,把g(x)=2sin的图象向右平移个单位长度后,得到f(x)=2sin=2sin=-2cos2x的图象.12.③④解析对于①,f=sin=sin,不是最值,因此x=不是函数f(x)的图象的对称轴,故该命题错误;对于②,f=sin=1≠0,因此点不是函数f(x)的图象的对称中心,故该命题错误;对于③,函数f(x)的最小正周期为T==π,当x时,令t=2x+,显然函数y=sin t在区间上为增函数,因此函数f(x)在区间上为增函数,故该命题正确;对于④,把f(x)的图象向右平移个单位长度后所对应的函数为g(x)=sin=sin2x,是奇函数,故该命题正确.13.B解析由题意,平移后的函数为y=sin=sin∵平移后的函数图象关于y轴对称,∴φ-=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ+,k∈Z.由|φ|<,可得当k=-1时,φ=-,故f(x)=sin由x,可得2x-,故当2x-,即x=时,f(x)max=sin,故选B.14.A解析由周期T==π,得ω=2.当x=时,f(x)取得最小值,所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,所以f(x)=A sin所以f(0)=A sin>0,f(2)=A sin A sin4+cos4<0,f(-2)=A sin=-A sin4+cos4.因为f(2)-f(-2)=A sin4<0,所以f(2)<f(-2).又f(-2)-f(0)=-A sin=-A,因为π<4-<π+,所以sin>sin=-,即sin>0,所以f(-2)<f(0).综上,f(2)<f(-2)<f(0),故选A.15解析∵函数f(x)的图象关于点对称,∴2+φ=kπ+(k∈Z),解得φ=kπ-,k∈Z.∴f(x)=cos,k∈Z.∵f(x)的图象向右平移m个单位得到函数y=cos,k∈Z为偶函数,∴x=0为其对称轴,即-2m+kπ-=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=(k∈Z,k1∈Z),∵m>0,∴m的最小正值为,此时k-k1=1,k∈Z,k1∈Z.16.解(1)列表:描点、连线,如图所示:(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.先把y=sin x的图象上所有点向右平移个单位,得到y=sin的图象,再把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象,最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象.(方法二)“先伸缩,后平移”先把y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin x的图象,再把y=sin x图象上所有的点向右平移个单位,得到y=sin=sin的图象,最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象.17.C解析∵f(x)=sinωx(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,∴ω=2.∴f(x)=sin2x,g(x)=sin∴将y=f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)=sin的图象,故选C.。

新教材高考数学一轮复习单元质检卷四三角函数解三角形含解析新人教A版

单元质检卷四三角函数、解三角形(时间:100分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020北京延庆一模,5)下列函数中最小正周期为π的函数是()A.y=sin xB.y=cos12xC.y=tan 2xD.y=|sin x|2.若f(x)=3cos(2x+φ)的图象关于点4π3,0中心对称,则|φ|的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π23.(2020湖南郴州二模,文6)某画家对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘,将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A,C处作圆弧的切线,两条切线交于B点,测得如下数据:AB=6 cm,BC=6cm,AC=10.392 cm其中√32≈0.866.根据测量得到的结果推算,将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于()A.π3B.π4C.π2D.2π34.(2020天津和平一模,6)已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x+1,给出下列四个结论,其中正确的结论是()A.函数f(x)的最小正周期是2πB.函数f(x)在区间π8,5π8上单调递减C.函数f(x)的图象关于x=π16对称D.函数f(x)的图象可由函数y=√2sin 2x的图象向左平移π4个单位长度得到5.(2019全国3,文5)函数f(x)=2sin x-sin 2x在〖0,2π〗的零点个数为()A.2B.3C.4D.56.(2020湖南郴州二模,文9)函数y=f(x)在区间-π2,π2上的大致图象如图所示,则f(x)可能是()A.f (x )=ln |sin x|B.f (x )=ln(cos x )C.f (x )=-sin |tan x|D.f (x )=-tan |cos x|7.(2020北京密云一模,8)函数f (x )=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f (x )的单调递增区间为( )A.-54+k π,-14+k π,k ∈Z B.-54+2k π,-14+2k π,k ∈Z C.-54+k ,-14+k ,k ∈Z D.-54+2k ,-14+2k ,k ∈Z8.(2020河北5月模拟,理10)已知x 0是函数f (x )=2sin x cos x+2√3sin 2x-√3,x ∈-π4,π4的极小值点,则f (x 0)+f (2x 0)的值为( ) A.0 B.-3 C.-2-√3D.-2+√3二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9.(2020山东济宁5月模拟,11)已知函数f (x )=cos 2x-π3-2sin x+π4cos x+π4(x ∈R ),现给出下列四个命题,其中正确的是( ) A.函数f (x )的最小正周期为2π B.函数f (x )的最大值为1 C.函数f (x )在-π4,π4上单调递增D.将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度,得到的函数解析式为g (x )=sin 2x 10.在△ABC 中,下列命题正确的有( ) A.若A=30°,b=4,a=5,则△ABC 有两解B.若0<tan A ·tan B<1,则△ABC 一定是钝角三角形C.若cos(A-B )cos(B-C )cos(C-A )=1,则△ABC 一定是等边三角形D.若a-b=c·cos B-c·cos A,则△ABC是等腰三角形或直角三角形11.(2020山东潍坊二模,11)在单位圆O:x2+y2=1上任取一点P(x,y),圆O与x轴正向的交点是A,设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为θ,记x,y关于θ的表达式分别为x=f(θ),y=g(θ),则下列说法正确的是()A.x=f(θ)是偶函数,y=g(θ)是奇函数B.x=f(θ)在[-π2,π2]上单调递增,y=g(θ)在-π2,π2上单调递减C.f(θ)+g(θ)≥1对于θ∈[0,π2]恒成立D.函数t=2f(θ)+g(2θ)的最大值为3√3212.(2020山东济宁6月模拟,11)已知函数f(x)=sin〖cos x〗+cos〖sin x〗,其中〖x〗表示不超过实数x的最大整数,下列关于f(x)的结论正确的是()A.f(π2)=cos 1B.f(x)的一个周期是2πC.f(x)在(0,π)内单调递减D.f(x)的最大值大于√2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020山东烟台一模,13)已知tan α=2,则cos2α+π2=.14.(2020山东德州二模,15)已知函数f(x)=2cos(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向右平移π3个单位长度后,与数学模型函数y=2sin 2x图象重合,则φ=,若函数f(x)在区间〖-a,a〗上单调递减,则a的最大值是.15.(2021届河北衡水中学模拟一,理15)函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度得到函数y=g(x)的图象,且f(x)与g(x)的图象关于点π3,0对称,那么ω的最小值为.16.(2020新高考全国1,15)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=35,BH∥DG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为cm2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数f(x)=cos2x+√3sin(π-x)cos(π+x)-12.(1)求函数f(x)在区间〖0,π〗上的单调递减区间;(2)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)=-1,a=2,b sin C=a sin A,求△ABC的面积.18.(12分)(2020山东济宁6月模拟,17)如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,,DC=2.在下面给出的三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解答.;①3AB=4BC,sin∠ACB=23②tan∠BAC+π=√3;6③2BC cos∠ACB=2AC-√3AB.(1)求∠DAC的大小;(2)求△ADC面积的最大值.19.(12分)(2020山东淄博4月模拟,18)已知点A ,B 分别在射线CM ,CN (不含端点C )上运动,∠MCN=2π3,在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c. (1)若a ,b ,c 依次成等差数列,且公差为2,求c 的值;(2)若c=√3,∠ABC=θ,试用θ表示△ABC 的周长,并求周长的最大值. 20.(12分)(2020山东济南一模,18)如图,平面四边形ABCD ,点B ,C ,D 均在半径为5√33的圆上,且∠BCD=π3. (1)求BD 的长度;(2)若AD=3,∠ADB=2∠ABD ,求△ABD 的面积.21.(12分)如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好,设计要求管道的接口H是AB的中点,EF分别落在线段BC,AD上,已知AB=20米,AD=10√3米,记∠BHE=θ.(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域;(2)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.22.(12分)(2020湖南师大附中一模,理17)已知△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a sin(A+B-C )=c sin(B+C ). (1)求角C 的值;(2)若2a+b=6,且△ABC 的面积为√3,求△ABC 的周长.▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁单元质检卷四三角函数、解三角形1.D A 选项的最小正周期为T=2π1=2π;B 选项的最小正周期为T=2π12=4π;C 选项的最小正周期为T=π2;D 选项,由其图象可知最小正周期为π.故选D . 2.A 由于函数f (x )=3cos(2x+φ)的图象关于点4π3,0中心对称,所以f4π3=0,即2×4π3+φ=k π+π2,φ=k π-13π6(k ∈Z ).所以|φ|min =π6.3.A 依题意AB=BC=6,设∠ABC=2θ,则sin θ=5.1966=0.866≈√32,则θ≈π3,2θ≈2π3.设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α,又A ,C 都是圆弧对应圆的切点,设圆的圆心为O ,则OA ⊥AB ,OC ⊥BC ,∠AOC=α,所以α+2θ=π,则θ≈π3,故选A .4.B 函数f (x )=sin2x-2sin 2x+1=sin2x+cos2x=√2sin 2x+π4,T=2π2=π,故A 不正确;由π2+2k π≤2x+π4≤3π2+2k π,k ∈Z ,解得π8+k π≤x ≤5π8+k π,k ∈Z ,令k=0,则π8≤x ≤5π8,故函数f (x )在区间π8,5π8上单调递减,故B 正确;x=π16时,y=√2sin 2×π16+π4≠±√2,故C 不正确;由函数y=√2sin2x 的图象向左平移π4个单位长度得到函数f (x )=√2sin 2x+π2,所以D 不正确.故选B .5.B 由f (x )=2sin x-sin2x=2sin x-2sin x cos x=2sin x (1-cos x )=0,得sin x=0或cos x=1.∵x ∈〖0,2π〗,∴x=0或x=π或x=2π.故f (x )在区间〖0,2π〗上的零点个数是3.故选B .6.B 当x=0时,sin0=0,ln |sin0|无意义,故排除A;又cos0=1,则f (0)=-tan |cos0|=-tan1≠0,故排除D;对于C,当x ∈0,π2时,|tan x|∈(0,+∞),所以f (x )=-sin |tan x|不单调,故排除C .故选B . 7.D 由图象知T2=54−14=1,所以T=2,ω=2π2=π,又图象过点34,-1,所以-1=sin 3π4+φ,且|φ|<π,故φ=3π4,所以f (x )=sin πx+3π4,令2k π-π2≤πx+3π4≤2k π+π2,k ∈Z ,解得2k-54≤x ≤2k-14,k ∈Z ,则f (x )的单调递增区间为-54+2k ,-14+2k ,k ∈Z ,故选D .8.C f (x )=2sin x cos x+2√3sin 2x-√3=sin2x-√3cos2x=2sin 2x-π3,∵x 0为极小值点,∴f (x 0)=-2,即sin 2x 0-π3=-1,∴2x 0-π3=-π2+2k π,k ∈Z ,即x 0=-π12+k π,k ∈Z .∵x 0∈-π4,π4,∴x 0=-π12,f (2x 0)=f -π6=2sin -π3−π3=-√3,∴f (x 0)+f (2x 0)=-2-√3,故选C . 9.BD f (x )=cos 2x-π3-sin 2x+π2=√32sin2x-12cos2x=sin 2x-π6,所以函数f (x )的最小正周期为π,最大值为1,故A 不正确,B 正确;当x ∈-π4,π4时,2x-π6∈-2π3,π3,函数y=sin 2x-π6在此区间不单调,故C错误;当将函数f (x )的图象向左平移π12单位长度,得到的函数解析式为g (x )=f x+π12=sin2x ,故D 正确.故选BD .10.BCD 因为A=30°,b=4,a=5,所以由正弦定理得sin B=bsinA a=25,b<a ,所以角B 只有一个解,故A 错误;0<tan A·tan B<1,即0<sinAsinBcosAcosB <1,所以cos A cos B-sin A sin B>0,即cos(A+B )>0,所以A+B<π2.所以C=π-A-B>π2.则△ABC 一定是钝角三角形,故B 正确;因为cos(A-B )cos(B-C )cos(C-A )=1,所以cos(A-B )=cos(B-C )=cos(C-A )=1,所以A=B=C=60°,故C 正确;因为a-b=c·cos B-c·cos A ,所以sin A-sin B=sin C cos B-sin C cos A ,所以sin A-sin C cos B=sin B-sin C cos A.又因为sin A=sin(B+C )=sin B cos C+cos B sin C ,sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C ,所以sin B cos C=sin A cos C ,所以sin A=sin B 或cos C=0,所以A=B 或C=π2,所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形,故D 正确.故选BCD .11.ACD 由题意,得x=f (θ)=cos θ,y=g (θ)=sin θ,由正弦、余弦函数的奇偶性,知选项A 正确;由正弦、余弦函数的单调性,知选项B 错误;f (θ)+g (θ)≥1,即sin θ+cos θ≥1,由正弦、余弦函数在第一象限的三角函数值,知选项C 正确;函数t=2f (θ)+g (2θ)=2cos θ+sin2θ,θ∈〖0,2π〗,则t'=-2sin θ+2cos2θ=-2sin θ+2(1-2sin 2θ)=-2(2sin θ-1)(sin θ+1),令t'>0,则-1<sin θ<12;令t'<0,则12<sin θ<1,故函数t 在(-1,12)内单调递增,在(12,1)内单调递减,当sin θ=12,cos θ=√32时,函数t 取得最大值,为2×√32+2×12×√32=3√32,故D 正确.故选ACD .12.ABD f (π2)=sin [cos π2]+cos sin π2=sin0+cos1=cos1,故A 正确;∵f (x+2π)=sin 〖cos(x+2π)〗+cos 〖sin(x+2π)〗=sin 〖cos x 〗+cos 〖sin x 〗=f (x ),∴f (x )的一个周期是2π,故B 正确;当x ∈(0,π2)时,0<sin x<1,0<cos x<1,∴〖sin x 〗=〖cos x 〗=0, ∴f (x )=sin 〖cos x 〗+cos 〖sin x 〗=sin0+cos0=1,故C 错误;∵f (0)=sin 〖cos0〗+cos 〖sin0〗=sin1+cos0=sin1+1>√22+1>√2,故D 正确. 13.-45 cos 2α+π2=-sin2α=-2sin αcos α=-2sinαcosαsin 2α+cos 2α =-2tanαtan 2α+1=-44+1=-45.14.π6π12函数f (x )=2cos(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向右平移π3个单位后得到y=2cos 2x-π3+φ,由于-π≤φ≤π,所以当φ=π6时,与函数y=2sin2x 图象重合, 所以f (x )=2cos 2x+π6.令2k π≤2x+π6≤2k π+π(k ∈Z ), 解得k π-π12≤x ≤k π+5π12,由于函数f (x )在区间〖-a ,a 〗上单调递减, 所以k π-π12≤-a ≤x ≤a ≤k π+5π12(k ∈Z ),当k=0时,{a ≤5π12,a ≤π12,所以a 的最大值为π12.15.6 由题意,得g (x )=sin ωx-π3(ω>0),由f (x )与g (x )的图象关于点π3,0对称,得g (x )=-f 2π3-x ,即sin ωx-ωπ3=sin ωx-2ωπ3(ω>0)恒成立,所以ωx-ωπ3=2k π+ωx-2ωπ3或ωx-ωπ3=2k π+π-ωx+2ωπ3(ω>0)恒成立,即ωπ3=2k π或2ωx=2k π+π+ωπ(ω>0)恒成立,因为2ωx=2k π+π+ωπ不恒成立, 所以ωπ3=2k π,k ∈Z ,所以正数ω的最小值为6.16.52π+4 作OM ⊥CG 交CG 于点M ,AP ⊥OH 交OH 于点P ,AQ ⊥CG 交CG 于点Q ,图略.设OM=3x ,则DM=5x ,∴OP=MQ=7-5x ,∴AP=7-2-3x=5-3x , ∴tan ∠AOP=APOP =5-3x7-5x . 又∵∠AOP=∠HAP , ∴tan ∠HAP=QGAQ =12-77-2=1=tan ∠AOP ,∴5-3x7-5x =1,解得x=1. ∴∠AOP=π4,AP=2,∴OA=2√2,∴S 阴=S 扇AOB +S △AOH -12×π×12=12×(π-π4)×(2√2)2+12×2√2×2√2−12π=3π+4-π2=52π+4. 17.解(1)f (x )=cos 2x-√3sin x cos x-12=1+cos2x2−√32sin2x-12=-sin 2x-π6,令2k π-π2≤2x-π6≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-π6≤x ≤k π+π3,k ∈Z , ∵x ∈〖0,π〗,∴函数f (x )在〖0,π〗上的单调递减区间为0,π3和5π6,π.(2)由(1)知f (x )=-sin 2x-π6,∴f (A )=-sin 2A-π6=-1,∵△ABC 为锐角三角形,∴0<A<π2,∴-π6<2A-π6<5π6,∴2A-π6=π2,即A=π3. ∵b sin C=a sin A ,∴bc=a 2=4, ∴S △ABC =12bc sin A=√3.18.解若选①:(1)在△ABC 中由正弦定理可得AB sin∠ACB=BC sin∠BAC ,又3AB=4BC ,sin ∠ACB=23,可得sin ∠BAC=12,∴∠BAC=π6. 又AB ⊥AD ,∴∠BAD=π2, ∴∠DAC=π3.(2)在△ACD 中,DC=2,由余弦定理可得DC 2=4=AC 2+AD 2-AC·AD ≥AC·AD , 故S △ADC =12AC·AD sin ∠DAC ≤12×4×√32=√3.当且仅当AC=AD 时,等号成立,故△ADC 面积的最大值为√3. 若选②:(1)由tan ∠BAC+π6=√3,可得∠BAC=π6, 又AB ⊥AD ,∴∠BAD=π2,∴∠DAC=π3.(2)在△ACD 中,DC=2,由余弦定理可得DC 2=4=AC 2+AD 2-AC·AD ≥AC·AD , 故S △ADC =12AC·AD sin ∠DAC ≤12×4×√32=√3.当且仅当AC=AD 时,等号成立,故△ADC 面积的最大值为√3. 若选③:(1)2BC cos ∠ACB=2AC-√3AB ,由正弦定理得 2sin ∠BAC cos ∠ACB=2sin ∠ABC-√3sin ∠ACB ,2sin ∠BAC cos ∠ACB=2sin(∠ACB+∠BAC )-√3sin ∠ACB , 可得cos ∠BAC=√32, ∴∠BAC=π6.又AB ⊥AD ,∴∠BAD=π2, ∴∠DAC=π3.(2)在△ACD 中,DC=2,由余弦定理可得DC 2=4=AC 2+AD 2-AC·AD ≥AC·AD , 故S △ADC =12AC·AD sin ∠DAC ≤12×4×√32=√3.当且仅当AC=AD 时,等号成立,故△ADC 面积的最大值为√3.19.解(1)∵a ,b ,c 依次成等差数列,且公差为2,∴a=c-4,b=c-2,又∠MCN=2π3,即cos C=-12,由余弦定理可得a 2+b 2-c 22ab=-12,将a=c-4,b=c-2代入,得c 2-9c+14=0,解得c=7或c=2. 又c>4,∴c=7.(2)在△ABC 中,由正弦定理可得ACsin∠A θC=BC sin∠BAC=AB sin∠ACB,∴ACsinθ=BC sin(π3-θ)=√3sin2π3,即AC=2sin θ,BC=2sin (π3-θ).∴△ABC 的周长f (θ)=|AC|+|BC|+|AB|=2sin θ+2sin (π3-θ)+√3 =212sin θ+√32cos θ+√3 =2sin θ+π3+√3.又θ∈0,π3,∴π3<θ+π3<2π3,当θ+π3=π2,即θ=π6时,f (θ)取得最大值2+√3. 20.解(1)由题意可知,△BCD 的外接圆半径为5√33,由正弦定理BD sin∠BCD =2R=5√33×2,解得BD=5.(2)(方法1)在△ABD 中,设∠ABD=α,α为锐角,则∠ADB=2α, 因为ABsin2α=ADsinα,所以AB 2sinαcosα=3sinα, 所以AB=6cos α.因为AD 2=AB 2+BD 2-2AB·BD·cos α,即9=36cos 2α+25-60cos 2α, 所以cos α=√63.则AB=6cos α=2√6,sin α=√33, 所以S △ABD =12AB·BD·sin α=5√2.(方法2)在△ABD 中,因为∠ADB=2∠ABD , 所以sin ∠ADB=sin2∠ABD =2sin ∠ABD cos ∠ABD , 所以AB=2AD·cos ∠ABD=2AD ·AB 2+BD 2-AD 22AB ·BD,因为BD=5,AD=3,所以AB=2√6,所以cos ∠ABD=√63,则sin ∠ABD=√33,所以S △ABD =12AB·BD·sin ∠ABD=5√2. 21.解(1)由题意可得EH=10cosθ,FH=10sinθ,EF=√EH 2+FH 2=10sinθcosθ,由于BE=10tan θ≤10√3,AF=10tanθ≤10√3, 所以√33≤tan θ≤√3,故θ∈π6,π3,所以L=10cosθ+10sinθ+10sinθcosθ=10×sinθ+cosθ+1sinθcosθ,θ∈π6,π3.(2)设sin θ+cos θ=t ,则sin θcos θ=t 2-12,由于θ∈π6,π3, 所以t=√2sin θ+π4∈√3+12,√2,L=10×sinθ+cosθ+1sinθcosθ=20(t+1)t 2-1=20t -1.由于L=20t -1在区间√3+12,√2上单调递减,故当t=√3+12,即θ=π6或θ=π3时,L 取得最大值为20(√3+1)米.22.解(1)因为a sin(A+B-C )=c sin(B+C ),由正弦定理得sin A sin(π-2C )=sin C sin(π-A )=sin C sin A ,因为sin A≠0,所以sin(π-2C)=sin C,即sin2C=2sin C cos C=sin C..因为sin C≠0,所以cos C=12.因为0<C<π,所以C=π3ab sin C=√3,可得ab=4.(2)由S△ABC=12=6,解得a=1或2.因为2a+b=6,所以2a+4a当a=1时,b=4,c2=a2+b2-2ab cos C=13,c=√13,所以周长为5+√13.当a=2时,b=2,c2=a2+b2-2ab cos C=4,c=2,所以周长为6.综上,△ABC的周长为6或5+√13.。

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单元质检四三角函数、解三角形(A)
(时间:45分钟满分:100分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)
1.(2016山西朔州模拟)若点在角α的终边上,则sin α的值为()
A.-
B.-
C.
D.
2.(2016辽宁沈阳三模)已知θ∈,且sin θ+cos θ=a,其中a∈(0,1),则tan θ的可能取值是()
A.-3
B.3或
C.-
D.-3或-
3.函数y=sin2x+2sin x cos x+3cos2x的最小正周期和最小值为()
A.π,0
B.2π,0
C.π,2-
D.2π,2-
4.(2016山西太原一模)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象过点(0,),则函数f(x)图象的一个对称中心是()
A. B.
C. D.
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若a cos B+b cos A=c sin C,S=(b2+c2-a2),则B=()
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
6.
(2016山西太原高三一模)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于()
A.1
B.
C.
D.
〚导学号37270569〛
二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)
7.已知sin,且x∈,则cos 2x的值为.
8.(2016河南开封四模)在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设AD为BC 边上的高,且AD=a,则的最大值是.〚导学号37270570〛
三、解答题(本大题共3小题,共44分)
9.(14分)已知函数f(x)=sin2ωx+sin ωx sin(ω>0)的最小正周期为.
(1)求出函数f(x)的单调递增区间;
(2)求函数f(x)在区间上的取值范围.
10.(15分)(2016江苏,15)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.
(1)求AB的长;
(2)求cos的值.
11.(15分)(2016河北石家庄高三二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足a=3b cos C.
(1)求的值;
(2)若a=3,tan A=3,求△ABC的面积.
参考答案
单元质检四三角函数、
解三角形(A)
1.A解析因为角α的终边上一点的坐标为,即,
所以由任意角的三角函数的定义,可得sin α==-,故选A.
2.C解析由sin θ+cos θ=a,两边平方可得2sin θcos θ=a2-1.
由a∈(0,1)及θ∈,
得sin θcos θ<0,且|sin θ|<|cos θ|.
故θ∈,从而tan θ∈(-1,0),故选C.
3.C解析因为f(x)=sin2x+2sin x cos x+3cos2x
=1+sin 2x+(1+cos 2x)
所以最小正周期为π,
当sin =-1时,取得最小值为2-.
4.B 解析由题意,得=2sin(2×0+φ),
即sin φ=.
又|φ|<,所以φ=.
由2sin =0,得2x+=k π,k ∈Z ,当k=0时,x=-,故选B .
5.C 解析由正弦定理得:2R (sin A cos B+sin B cos A )=2R sin C sin C ,于是sin(A+B )=sin 2C ,所以sin C=1,即C=,从而S=ab=(b 2+c 2-a 2)=(b 2+b 2),解得a=b ,
所以B=45°.故选C.
6.D 解析由题中图象可得A=1,
,解得ω=2.故f (x )=sin(2x+φ).
由题图可知在函数f (x )的图象上,
故sin =1,
即+φ=+2k π,k ∈Z .
又|φ|<,故φ=,
即f (x )=sin .
∵x 1,x 2∈,且f (x 1)=f (x 2),
∴x 1+x 2=×2=.
∴f (x 1+x 2)=sin,故选D .
7.- 解析 sin 2x=cos
=1-2sin 2
∵x∈,
∴2x∈.
∴cos 2x=-=-.
8. 解析∵AD为BC边上的高,且AD=a,
∴△ABC的面积S=a·a=bc sin A.
∴sin A=.
由余弦定理,得cos A=
=,
故=2
=sin A+2cos A=sin(A+α),
其中sin α=,cos α=.
当sin(A+α)=1时,取到最大值是.
9.解(1)f(x)=sin 2ωx
=sin 2ωx-cos 2ωx+
=sin.
因为T=,所以(ω>0),
所以ω=2,
即f(x)=sin.
于是由2kπ-≤4x-≤2kπ+(k∈Z),
解得≤x≤(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
所以4x-,
所以sin,
所以f(x)∈.
故f(x)在区间上的取值范围是.
10.解(1)因为cos B=,0<B<π,
所以sin B=
=.
由正弦定理知,
所以AB==5.
(2)在△ABC中,A+B+C=π,
所以A=π-(B+C),
于是cos A=-cos(B+C)
=-cos
=-cos B cos+sin B sin,
又cos B=,sin B=,
故cos A=-=-.
因为0<A<π,
所以sin A=.
因此,cos=cos A cos+sin A sin=-.
11.解(1)由a=3b cos C,
得2R sin A=3×2R sin B cos C.
∵A+B+C=π,∴sin A=sin(B+C)=3sin B cos C,即sin B cos C+cos B sin C=3sin B cos C.
∴cos B sin C=2sin B cos C.
∴=2,即=2.
(2)(方法一)由A+B+C=π,
得tan(B+C)=tan(π-A)=-3,
即=-3.①
将tan C=2tan B代入①式得=-3,
解得tan B=1或tan B=-.
根据tan C=2tan B得tan C,tan B同为正,故tan B=1,tan C=2.
又tan A=3,故sin B=,sin C=,sin A=,
代入正弦定理可得,即b=,
所以S△ABC=ab sin C=×3×=3.
(方法二)由A+B+C=π,
得tan(B+C)=tan(π-A)=-3,
即=-3.①
将tan C=2tan B代入①式得=-3,
解得tan B=1或tan B=-,根据
tan C=2tan B得tan C,tan B同为正,
故tan B=1,tan C=2.
又a=3b cos C=3,所以b cos C=1,
所以ab cos C=3.
所以ab cos C tan C=6.
所以S△ABC=ab sin C=×6=3.。