高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例

高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例

一、教学目标：1．理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式；

2．能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式A B C π++=，解决三角形中的

计算和证明问题．

二、教学重点：掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形

中的三角函数问题．

三、教学过程：

（一）主要知识： 掌握三角形有关的定理：

正余弦定理：a 2

=b 2

+c 2

-2bccos θ, bc a c b 2cos 222-+=θ；R C

c

B b A a 2sin sin sin ===

内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,

cos

2C =sin 2B A +, sin 2

C

=cos 2B A +

面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2

1

casinB

S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2

c

b a ++, r 为内切圆半径)

射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A （二）例题分析：

例1．在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ．

解：由正弦定理得：sinA=23

2

45sin 3sin =

⋅= b B a ,因为B=45°<90°且b

(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=

22

645sin 75sin 2sin sin +=

⋅=

B C

b , (2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=

2

2

645

sin 15sin 2sin sin -=⋅=

B

C

b 思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论．

例2． △ABC 中，若

22

tan tan b

a B A =，判断△ABC 的形状。

解一：由正弦定理：B A B

A

A A A

B B A 2sin 2sin sin sin cosA cosB sin sin cos sin cos sin 22=∴==即：

∴2A = 2B 或 2A = 180︒ - 2B 即：A = B 或 A + B = 90︒∴△ABC 为等腰或直角三角形

解二： 由题设：222222

22222222sin cos cos sin b

a R

b b

c a c b ac b c a R a b a B A B A =⋅

-+-+⋅

⇒= 化简：b 2(a 2 + c 2 - b 2) = a 2(b 2 + c 2 - a 2) ∴(a 2 -b 2)(a 2 + b 2 - c 2)=0 ∴a = b 或 a 2 + b 2 = c 2 ∴△ABC 为等腰或直角三角形． 思维点拨：判断三角形的形状从角或边入手．

例3．在ΔABC 中，已知Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，b=1, 求证：1

C c B b A a sin sin sin =

=,得a+c=B

b sin (sinA+sinC)= 232(sinA+sinC)= 332 [sinA+sin(120°－A)]=2sin(A+30°)，因为0°

法二．∵B=60°,b=1，∴a 2

+c 2

-b 2

=2accos60°, ∴a 2

+c 2

-1=ac, ∴a 2

+c 2

-ac=1,

∴(a+c) 2

+3(a-c) 2

=4, ∴(a+c) 2

=4-3(a-c) 2

. ∵0≤a-c<1 ∴0≤3(a-c)2

<3, ∴4-3(a-c) 2

≤4, 即(a+c) 2

≤4, a+c ≤2a+c>1, 1

例４．已知⊙O 的半径为R ，，在它的内接三角形ABC 中，有

(

)(

)

B b a

C A R sin 2sin sin 222-=

-成立，求△ABC 面积S 的最大值．

解：由已知条件得

()()

(

)

b a B

R B A R -=-2sin 2sin sin

222

2

．即有 2222b ab c a -=-，

又 222cos 222=

-+=ab c b a C ∴ 4

π

=c ． ∴ B A R ab C ab S sin sin 442

42sin 212⋅===

()()[]B A B A R --+-

=cos cos 2

22

()⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡-+=

B A R cos 2

2222 ．