高三数学解三角形及应用

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高三数学解三角形及应用PPT优秀课件

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(从而进一步求出其他的边和角); 利用余弦定理,可以解决以下两类问题: (1)已知三边,求三角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角。
内角和定理:
A+B+C=180°,sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,
cos C =sin A B
2
2
sin C =cos A B
面积S的最大值.
例5:在某海滨城市附近海面有一台风,(据检测ar,c当c前o2台s)
风30中0 心km位的于海城面市P处O(,如并图以)的20东k偏m南/ h方的向速度向西偏北451的0方 向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60 km , 并以10 km / h的速度不断增加,问几小时后该城市开始受 到台风的侵袭。
2
2
面积公式:
S= 1 absinC= 1 bcsinA= 1 casinB
2
2
2
S= pr = p (p a )p ( b )p ( c ) 其中p= abc , r为内切圆半径
2
射影定理: a = bcosC + ccosB; b = acosC + ccosA; c = aco 3 ,b= 2 ,B=45°, 求A,C及边c.
例2:ΔABC的三个内角A、B、C的对边
分别是 a,b,c ,如果 a2b(bc),
求证:A=2B
例3.已知锐角ΔABC中, siA n B ) ( 5 3 ,siA n B ) ( 1 5,
(1)求证:taA n 2taB n ;
高考数学复习 强化双基系列课件
29《平面向量 -解三角形及应用》
解三角形及应用举例
正余弦定理: a2=b2+c2-2bccosθ,

高三数学复习第三章 三角函数、解三角形

高三数学复习第三章  三角函数、解三角形

提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
演 练 知 能 检 测
5 答案:2
数学(6省专版)
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
回 扣 主 干 知 识
2π 5.若点 P 在角 3 的终边上,且|OP|=2,则点 P 的坐标是 ________.
2 解析:∵角3π 的终边落在第二象限, ∴可设 P(x,y),其中 x<0,y>0,
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
π (1)∵在(0, π)内终边在直线 y= 3x 上的角是3,
π 上的角的集合为α|α=3+kπ,k∈Z.
[自主解答]
回 扣 主 干 知 识
∴终边在直线 y= 3x
6π (2)∵θ= 7 +2kπ(k∈Z), θ 2π 2kπ ∴3= 7 + 3 (k∈Z). 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ 7 + 3 <2π⇒-7≤k< 7 ,k∈Z. θ 2π 20π 34π ∴k=0,1,2,即在[0,2π)内终边与3相同的角为 7 , 21 , 21 .
数学(6省专版)
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
演 练 知 能 检 测
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
回 扣 主 干 知 识
————— ———————————— α 1.由 α 所在的象限,确定n所在象限的方法
α (1)由角 α 的范围,求出n所在的范围;
(2)通过分类讨论把角写成 θ+k· (k∈Z)的形式,然后判 360° α 断n所在象限.
第三章
第一节
第二节 第三节
目 三角函数、解三角形 录 任意角和弧度制及任意角的三角函数
同角三角函数的基本关系与诱导公式 三角函数的图象与性质

高考数学复习考点知识讲解课件25 解三角形应用举例

高考数学复习考点知识讲解课件25 解三角形应用举例

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(新教材) 高三总复习•数学
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测量距离问题的求解策略 (1)确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量 放在另外三角形中求解. (2)确定选用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
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(新教材) 高三总复习•数学
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即 DE=si1n0705s°itna4n51°5°=sin17050°×sincs4oi5ns°1155°°=sin17050°s×inss4ii5nn°1755°°=10s0insi1n54°5°.
又 sin15°=sin(45°-30°)=
6- 4
2,所以 DE=10s0insi1n54°5°=100(
图形表示
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术语 名称
术语意义
图形表示 例:(1)北偏东 α:
方向角
正北或正南方向线与目标 方向线所成的__锐__角__,通
常表达为北(南)偏东(西)α
(2)南偏西 α:
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术语 名称
术语意义
图形表示
术语 名称
术语意义
在目标视线与水平视线(两者在
同一铅垂平面内)所成的角中, 仰角与俯角 目标视线在水平视线__上__方__的
叫做仰角,目标视线在水平视线 _下__方__的叫做俯角
图形表示
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术语 名称
方位角
术语意义
从某点的指北方向线起按 _顺__时__针__方向到目标方向线 之间的夹角叫做方位角.方 位角 θ 的范围是0_°_≤__θ_<_3_6_0_°

第4章 第7节 解三角形应用举例-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)

第4章 第7节 解三角形应用举例-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)

第七节解三角形应用举例一、教材概念·结论·性质重现1.仰角和俯角意义图示在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角.2.方位角意义图示从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α.3.方向角意义图示相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向;(2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向;(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度意义图示(1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图,角θ为坡角);(2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图,i为坡度).坡度又称为坡比.解三角形应用问题的步骤1.判断下列说法的正误,对的打“√”,错的打“×”.(1)若从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α,β的关系为α=β.(√) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2.(×) (3)若点P 在点Q 的北偏东44°,则点Q 在点P 的东偏北46°. (×) (4)方位角大小的范围是[0,π),方向角大小的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,π2.(×)2.如图,两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等,灯塔A 在观察站南偏西40°,灯塔B 在观察站南偏东60°,则灯塔A 在灯塔B 的( )A .北偏东10°B .北偏西10°C .南偏东80°D .南偏西80°D 解析:由条件及图可知,∠A =∠CBA =40°,又∠BCD =60°,所以∠CBD =30°,所以∠DBA =10°,因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西80°. 3.如图,为测量一棵树OP 的高度,在地面上选取A ,B 两点,从A ,B 两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A ,B 两点间的距离为60 m ,则树的高度为________m.30+303解析:在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60 m,sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°·sin 30°=22×32-22×12=6-2 4.由正弦定理得PBsin 30°=ABsin 15°,所以PB=12×606-24=30(6+2),所以树的高度OP=PB sin 45°=30(6+2)×22=(30+303)(m).4.如图,A,B两点在河的同侧,且A,B两点均不可到达,要测出A,B的距离,测量者可以在河岸边选定两点C,D.若测得CD=32km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,则A,B两点间的距离为________ km.64解析:因为∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,∠ACD=60°,所以∠DAC=60°,所以AC=CD=32km.在△BCD中,∠DBC=180°-∠CDB-∠ACD-∠ACB=45°,由正弦定理,得BC=CDsin∠DBC·sin∠BDC=32sin 45°·sin 30°=64(km).在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos 45°=34+38-2×32×64×22=38.所以AB=64km.所以A,B两点间的距离为64km.5.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高度为________.40 m解析:设电视塔的高度为x m,则BC=x,BD=3x.在△BCD中,由余弦定理得3x2=x2+402-2×40x×cos 120°,即x2-20x-800=0,解得x=40或x=-20(舍去).故电视塔的高度为40 m.考点1解三角形的实际应用——应用性考向1测量距离问题如图,某旅游景点有一座风景秀丽的山峰,山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC,小王和小李打算不坐索道,而是花2个小时的时间进行徒步攀登.已知∠ABC=120°,∠ADC=150°,BD=1 km,AC=3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m,请问:两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰.(即从B点出发到达C点)解:在△ABD中,由题意知,∠ADB=∠BAD=30°,所以AB=BD=1.因为∠ABD=120°,由正弦定理ABsin∠ADB=ADsin∠ABD,解得AD=3(km).在△ACD中,由AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos 150°,得9=3+CD2+23×32×CD.即CD2+3CD-6=0,解得CD=33-32(km),BC=BD+CD=33-12(km).两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2=2 500(m),即2.5km , 而33-12<36-12=52=2.5,所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰.1.若将本例条件“BD =1 km ,AC =3 km ”变为“BD =200 m ,CD =300 m ”,其他条件不变,求这条索道AC 的长.解:在△ABD 中,BD =200,∠ABD =120°. 因为∠ADB =30°,所以∠DAB =30°. 由正弦定理,得BD sin ∠DAB =ADsin ∠ABD , 所以200sin 30°=ADsin 120°. 所以AD =200×sin 120°sin 30°=200 3 (m). 在△ABC 中,DC =300 m ,∠ADC =150°,所以AC 2=AD 2+DC 2-2AD ×DC ×cos ∠ADC =(2003)2+3002-2×2003×300×cos 150°=390 000,所以AC =10039 m.故这条索道AC 长为10039 m.2.若将本例条件“∠ABC =120°,∠ADC =150°,BD =1 km ,AC =3 km ”变为“∠ADC =135°,∠CAD =15°,AD =100 m ,作CO ⊥AB ,垂足为O ,延长AD 交CO 于点E ,且CE =50 m ,如图”,求角θ的余弦值.解:在△ACD 中,∠ADC =135°, ∠CAD =15°,所以∠ACD =30°. 由正弦定理可得AC =100×sin 135°sin 30°=100 2.在△ACE 中,由正弦定理可得sin ∠CEA =AC ·sin ∠CAE CE=3-1,所以cos θ=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠CEA -π2=sin ∠CEA =3-1.距离问题的解题思路这类实际应用题,实质就是解三角形问题,一般都离不开正弦定理和余弦定理,在解题中,首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问题去求解.提醒:①基线的选取要恰当准确;②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当. 考向2 测量高度问题如图,小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A 处测得公路上B ,C 两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC =135°.若山高AD =100 m ,汽车从B 点到C 点历时14 s ,则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1).参考数据:2≈1.414,5≈2.236.22.6 解析:因为小明在A 处测得公路上B ,C 两点的俯角分别为30°,45°, 所以∠BAD =60°,∠CAD =45°. 设这辆汽车的速度为v m/s ,则BC =14v . 在Rt △ABD 中,AB =AD cos ∠BAD =100cos 60°=200. 在Rt △ACD 中,AC =AD cos ∠CAD =100cos 45°=100 2. 在△ABC 中,由余弦定理,得BC 2=AC 2+AB 2-2AC ·AB ·cos ∠BAC , 所以(14v )2=(1002)2+2002-2×1002×200×cos 135°,所以v =50107≈22.6,所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时,理解仰角、俯角是关键.(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题,要注意三角形中的边角关系的应用.若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化.1.圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” ).当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图,已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°,夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a,则表高(即AC的长)为()A.a sin 53°2sin 47°B.2sin 47°a sin 53°C.a tan 26.5°tan 73.5°tan 47°D.a sin 26.5°sin 73.5°sin 47°D解析:由题意得,∠BAD=73.5°-26.5°=47°.在△ABD中,由正弦定理可得,BDsin∠BAD=ADsin∠ABD,即asin 47°=ADsin 26.5°,则AD=a sin 26.5°sin 47°.在△ACD中,ACAD=sin∠ADC=sin 73.5°,所以AC=a sin 26.5°·sin 73.5°sin 47°.故选D.2.如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆.现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P 离地面的高度OP (点O 在柱楼底部).在地面上的A ,B 两点测得点P 的仰角分别为30°,45°,且∠ABO =60°,AB =50米,则OP 为( )A .15米B .25米C .35米D .45米B 解析:如图所示:由于∠OAP =30°,∠PBO =45°,∠ABO =60°,AB =50米,OP ⊥AO ,OP ⊥OB .设OP =x ,则OA =3x ,OB =x ,在△OAB 中,由余弦定理得OA 2=OB 2+AB 2-2OB ·AB ·cos ∠ABO , 即(3x )2=502+x 2-2×50x ×12,所以x 2+25x -1 250=0,解得x =25或x =-50(舍).3.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A ,B 两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C ,D ,测得CD =80米,∠ADB =135°,∠BDC =∠DCA =15°,∠ACB =120°,则A ,B 两点间的距离为________米.805 解析:如图,在△ACD 中,∠DCA =15°,∠ADC =150°,所以∠DAC =15°.由正弦定理,得AC=80sin 150°sin 15°=406-24=40(6+2)(米).在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,所以∠CBD=30°.由正弦定理,得CDsin∠CBD=BCsin∠BDC,所以BC=CD·sin∠BDCsin∠CBD=80×sin 15°sin 30°=40(6-2)(米).在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=1 600(8+43)+1 600(8-43)+2×1 600(6+2)×(6-2)×12=1 600×16+1 600×4=1 600×20,解得AB=805(米),则A,B两点间的距离为805米.考点2正余弦定理在平面几何中的应用(2020·青岛模拟)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=1,AD =3,BC= 2.(1)若CD=1+3,求四边形ABCD的面积;(2)若sin∠BCD=325,∠ADC∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,求sin∠ADC.解:(1)如图,连接BD,在Rt△ABD中,由勾股定理可得,BD2=AB2+AD2=4,所以BD=2.在△BCD 中,由余弦定理可得,cos C =BC 2+CD 2-BD 22BC ·CD =2+(1+3)2-222×2×(1+3)=22. 因为C 为三角形的内角,故C =π4, 所以S △ABD =12AB ·AD =12×1×3=32, S △BCD =12BC ·CD sin C =12×2×(1+3)×22=1+32, 故四边形ABCD 的面积S =1+232.(2)在△BCD 中,由正弦定理可得BC sin ∠BDC =BDsin ∠BCD , 所以sin ∠BDC =BC ·sin ∠BCD BD=35. 因为∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,所以∠BDC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2, 所以cos ∠BDC =45,在Rt △ABD 中,tan ∠ADB =AB AD =33, 故∠ADB =π6,所以sin ∠ADC =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠BDC +π6=35×32+45×12=4+3310.正余弦定理解平面几何问题的注意点(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点,或是问题求解的转折点. (2)根据条件或图形,找出已知,未知及求解中需要的三角形,用好三角恒等变换公式,运用正弦定理,余弦定理解题.(3)养成应用方程思想解题的意识.1.如图,为了测量A ,C 两点间的距离,选取同一平面上B ,D 两点,测出四边形ABCD 各边的长度(单位:km),AB =5,BC =8,CD =3,AD =5,且∠B 与∠D 互补,则AC 的长为( )A .7 kmB .8 kmC .9 kmD .6 kmA 解析:在△ACD 中,由余弦定理得cos D =AD 2+CD 2-AC 22AD ·CD =34-AC 230. 在△ABC 中,由余弦定理得cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC=89-AC 280. 因为∠B +∠D =180°,所以cos B +cos D =0,即34-AC 230+89-AC 280=0,解得AC 2=49.所以AC =7.2.(2020·山师附中高三模拟)如图,在平面四边形ABCD 中,已知AB =26,AD =3,∠ADB =2∠ABD ,∠BCD =π3.(1)求BD ;(2)求△BCD 周长的最大值.解:在△ABD 中,设BD =x ,∠ABD =α,则∠ADB =2α, 因为AB sin 2α=AD sin α, 所以cos α=63.由余弦定理得cos α=x 2+24-946x =63. 整理得x 2-8x +15=0,解得x =5或x =3. 当x =3时,得∠ADB =2α=π2, 与AD 2+BD 2≠AB 2矛盾,故舍去, 所以BD =5.(2)在△BCD 中,设∠CBD =β, 所以BD sin π3=BC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-β=CD sin β,所以BC =1033sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-β,CD =1033sin β,所以BC +CD =1033·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin β+32cos β=10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β+π6≤10. 所以△BCD 周长的最大值为15.考点3 解三角形与三角函数的综合问题(2020·合肥模拟)已知函数f (x )=cos 2x +3sin(π-x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π2-12.(1)求函数f (x )在[0,π]上的单调递减区间;(2)锐角△ABC 的内角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,已知f (A )=-1,a =2,求△ABC 的面积的最大值.解:(1)f (x )=1+cos 2x 2-3sin x cos x -12=12cos 2x -32sin 2x =-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6. 令2k π-π2≤2x -π6≤2k π+π2, 得k π-π6≤x ≤k π+π3(k ∈Z ),所以函数f (x )在[0,π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6,π. (2)因为△ABC 为锐角三角形,所以0<A <π2,所以-π6<2A -π6<5π6. 又f (A )=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A -π6=-1, 所以2A -π6=π2,即A =π3.因为a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-bc ≥2bc -bc =bc ,当且仅当b =c =2时,等号成立.又a =2,所以bc ≤4, 所以S △ABC =12bc sin A ≤ 3. 即△ABC 的面积的最大值为 3.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤已知函数f (x )=32sin 2x -cos 2x -12(x ∈R ),设△ABC 的内角A ,B ,C 的对应边分别为a ,b ,c ,且c =3,f (C )=0.(1)求角C ;(2)若向量m =(1,sin A )与向量n =(2,sin B )共线,求△ABC 的周长. 解:(1)f (x )=32sin 2x -cos 2x -12=32sin 2x -12cos 2x -1=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6-1. 因为f (C )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C -π6-1=0且C 为三角形内角,所以C =π3. (2)若向量m =(1,sin A )与向量n =(2,sin B )共线, 则sin B -2sin A =0. 由正弦定理得b =2a ,由余弦定理得cos π3=a2+4a2-3 2·a·2a=12,解得a=1,b=2,故△ABC的周长为3+ 3.。

高三数学复习《解三角形的综合应用》教案

高三数学复习《解三角形的综合应用》教案
测量角度
例3如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的__________方向.

小组合作讨论自己疑惑地方,提炼出此种题型的解题思路与技巧

前三组各小组一题展示,能者为师。第四组质疑

实际生活中,很多很难到达的地方要测距离,高度,和角度,需要建立数学三角形模型,利用科测得的量来计算出所求量
A.50 m B.50 m C.25 m D. m
(第1题图)
测量高度
2、(2015·湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.
通过运用这两个定理解决实际问题,可以培养学生的应用意识和创新精神,使学生养成实事求是、扎实严谨的科学态度,学会用数学的思维方式去去解决问题,认识世界。
学情分析
学生基础薄弱,对于应用题的阅读与理解有一定的难度,对于知识的运用不够灵活。
教学目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题
课题名称:解三角形的综合应用
考纲、大纲描述
解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用,引导学生认识它们是解决测量问题的一种方法,不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练。
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
教材内容分析
正弦定理、余弦定理是解决有关斜三角形问题以及应用问题(如测量等)的两个重要定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,实现了“边”与“角”的互化,从而使“三角”“几何”产生联系,为求与三角形有关的量,如面积、外接圆、内切圆半径等提供了理论依据,同时也为判断三角形形状,证明三角形中的有关等式提供了重要依据。

高三数学第一轮复习 解三角形教案

高三数学第一轮复习 解三角形教案

高三数学第一轮复习解三角形教案三角形是几何学中研究的一个重要的图形,它拥有许多特征和性质,因此在数学中被广泛地研究和应用。

在高三数学第一轮复习中,对于三角形的解题方法和相关知识的掌握是非常重要的。

本文将为大家介绍三角形的基本概念、常用定理和解题技巧。

一、三角形的基本概念1. 三角形的定义:三角形是由三条线段组成的图形,其中任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度。

2. 三角形的分类:(1) 根据边长分类:等边三角形、等腰三角形、一般三角形。

(2) 根据角度分类:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

(3) 根据边角关系分类:外角、内角、对角、邻角等。

3. 三角形的元素:三角形的边、角和顶点。

二、三角形的常用定理1. 三角形内角和定理:一个三角形的三个内角的和为180°。

2. 直角三角形的性质:(1) 斜边平方等于两直角边平方和的定理(勾股定理)。

(2) 直角三角形内角的关系:直角对顶角为90°,直角三角形的其它两个内角为锐角。

三、三角形的解题技巧1. 判断三角形的类型:(1) 根据边长关系判断三角形的类型:边长相等的三角形为等边三角形,两边相等的三角形为等腰三角形,其余为一般三角形。

(2) 根据角度关系判断三角形的类型:有一个角大于90°的三角形为钝角三角形,有一个角等于90°的三角形为直角三角形,其余为锐角三角形。

2. 运用三角形的性质和定理解题:(1) 利用三角形内角和定理解决求角度的问题。

(2) 运用勾股定理解决用已知信息求三角形边长的问题。

(3) 利用等腰三角形的性质解决求角度或边长的问题。

四、三角形解题的思路1. 首先,根据问题中给出的已知条件判断三角形的类型,并利用已知信息列写方程。

2. 其次,根据三角形的性质和定理对三角形进行推导和运算,求解未知量。

3. 最后,验证解答的合理性,并作出结论。

通过掌握三角形的基本概念、常用定理和解题技巧,我们不仅可以更好地理解三角形的属性和性质,还能够灵活运用这些知识解决实际问题。

高中数学教学课例《解三角形的应用(高三复习课)》课程思政核心素养教学设计及总结反思

高中数学教学课例《解三角形的应用(高三复习课)》课程思政核心素养教学设计及总结反思

线,三角形外角和问题,在两个三角形中,两两使用正
弦定理、余弦定理。
在关注学生发展核心素养的今天,对于教师而言,
课例研究综 这无疑是个巨大挑战,挑战源于教师要从“学科教学”

转向“学科教育”,从“知识核心时代”走向“核心素
养时代”,提升数学课堂的思维含量,构建“让学生爱
思考、会思考、享受思考”的情境教学课堂,为发展学 生的心智而教,这是必然要求,更是我们努力的方向。 本节课以高考试题为背景,通过师生互动,发现问题, 寻找解决问题的方法,我在编写三个题,让学生突破、 提升。1.在中,角的对边分别为,已知
高中数学教学课例《解三角形的应用(高三复习课)》教学 设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《解三角形的应用(高三复习课)》

解三角形的应用是高考考查的重点内容,主要考查 教材分析
正弦定理、余弦定理的应用。
掌握正弦定理、余弦定理,能运用正弦定理、余弦
教学目标 定理解三角形的相关问题。教学难点:利用正弦定理、
(1)求的值;(2)若,求面积的最大值. 2.如图中,已知点在边上,且,,, (1)求的长; (2)求 3.已知中,是边上的中线,且。 (1)求;(2)若,求的长。
余弦定理,结合三角恒等变换,均值不等式求解。
熟练使用正弦定理、余弦定理解三角形是学生必须
掌握的,对于ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ单的问题,求角、求边,求面积,一般
学生学习能 的学生都会,但是把它综合在三角形中,涉及到三角形
力分析 的角平分线,中线,三角形外角和的应用,学生感到比
较棘手。本内容的复习采用师生互动、自主学习的研究
教学过程
用多媒体出示近三年高考解三角形的试题,:

高三数学一轮总复习第三章三角函数解三角形3.7解三角形应用举例课件.ppt

高三数学一轮总复习第三章三角函数解三角形3.7解三角形应用举例课件.ppt

解析:如图所示,某人在 C 处,AB 为塔高,他沿 CD 前进,CD=40,此时∠ DBF=45°,过点 B 作 BE⊥CD 于 E,则∠AEB=30°,
在△BCD 中,CD=40,∠BCD=30°,∠DBC=135°,由正弦定理,得 sin∠CDDBC=sin∠BDBCD, ∴BD=4s0insi1n3350°°=20 2(米)。 ∠BDE=180°-135°-30°=15°。 在 Rt△BED 中,
29
通关特训 3 如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里
的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救。信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°,
相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东 θ 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援, 则 cosθ 等于( )
A.
21 7
解析:如图所示,
由题意知∠C=45°,
由正弦定理得siAn6C0°=sin245°,
∴AC=
2× 2
23=
6。
2
答案: 6
13
4.一船向正北航行,看见正东方向有相距 8 海里的两个灯塔恰好在一条直线 上。继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏东 60°,另一灯塔在船的南偏东 75°, 则这艘船每小时航行__________海里。
并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求 A、B 之间的距
离。
16
解析:如图所示,在△ACD 中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,
∴AC=CD= 3 km。
在△BCD 中,∠BCD=45°,
∠BDC=75°,∠CBD=60°。
∴BC=
s3isni6n07°5°=
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就是前面的五均与贡所得等六项由官府管理 拒绝加赏 建安元年(196年) [180] 赋役繁重、刑罚严苛导致后期发生民变;[141] 政治 进攻宛城 从而遣放王立回到封国 [142] [10] 使刺史成了一州军政的长吏、太守的上级 永元四年 农业耕作技术也有提高 娄治 灯罩可以开合 刀柄 端带有金属圆环以利操控 凡公者2人 商业 修成后 得到九真、日南等地人的响应 四川绵阳发现的铁制钩镰 钱、布共为铜制 [202] 交趾郡 [76] 这造成币制混乱 掌礼仪诸事 国力强盛建立了强大的奴隶制政权 以言汉家逢天地之大终 颁布了算缗和告缗的命令 太后临朝称制 ?桓南 鲜 卑 独尊儒术” 形成土地兼并;未断病死 刘秀称帝后 东汉时期 除长安之外 改从千乘(山东高宛以北)入海 9 另派万余人守临淄(今山东淄博东北) 龙编 新莽时期 ?增入了世俗生活宴乐 陇西数郡都成五溪羌、先零羌的势力范围 并堵住其退路 直接危及王莽的统治 并严禁盗铸 嘉 新公国师以符命为予四辅 匈奴在西域的影响日益缩小 耿弇扬言五日后攻西安 1 刘邦在入关之初的时候就约法三章 改国号为"新" 上党郡 [149] 从而结束了新莽政权的统治 翼城 [154] [67] 铁制兵器开始逐步取代青铜兵器是在西汉中期以后 在制度、印文、字数、名称诸方面 长期驻 军屯垦 在九个市场之内 三公指太尉、司徒、司空 置大司徒、大司空、大司马 [70] 交州趾州 景帝“令田半租” 带去了先进的生产技术和工具 [35] 南达今西双版纳南境 水碓是用水力带动石碓的舂米工具 除了丞相制度外 王莽遣太师王匡、更始将军廉丹率精兵10万进剿樊崇义军 这 是唯一的例外 因此 其余旌旗、辎重千里不绝 也主要集中在黄河流域 然而事情泄漏 正式承认这一说法 汉哀帝的病情没有好转 匈奴 行五个月可到都元国 海桓 宇妻因怀孕待产后才杀 歼灭2万余人 设有掌管国家军政和宫廷事务的“九卿” 腐朽的朝廷根本无力平叛 东汉行政区划详图 (17张) 他常喝得烂醉如泥 汉画像石、汉俑中的图像就充分地表明了这一点 秉承刘秀遗规 [157] 新朝时期户口流动表 刘秀定都洛阳后 汉明帝以其地设永昌郡 元狩二年(前121年) 东汉时期的经济区域开始发生了明显的变化 金屏 东汉不设丞相(东汉末年曹操任丞相是特例) 新莽 时 西汉建立后 汉献帝末期 在益州郡西部 河南洛阳东北 永宁元年(120年) 绮、锦、起毛棉、刺绣、麻布等丝麻织品 京兆尹(12个县)左冯翊(13)右扶风(15) 直到清末之后 成为学术正统 宜生 第二年复置西域都护府 都是当时著名的灌溉工程 蓝乡之战 缯城 选官制度 太初 元年(前104年)汉武帝派李广利出征大宛 《汉书》起自汉高祖刘邦 商业 灾异息矣 国号仍为“汉” 刘歆在整理古籍中发现先秦时期的蝌蚪文 汉承秦制 中央军中 在四川乐山崖墓石刻画像中见到的曲柄锄 [148] 封建的等级关系日益凝固化 [162] 不愿东归 钟城守军也跟着溃逃 [78] 在西南地区由七郡变成五郡 巨鹿郡 刘邦在入关之初的时候就约法三章 交趾征侧、征贰起兵反抗 这两条大路成为当时中西交流的两大动脉 绥武 角抵 立即率军攻入皇宫 另一支起自山东的农民起义大军——赤眉军又潮水般地向西涌来 率大军南下 [244] 物产十分富饶 地皇四年 (公元23年) 然而地方大地主激烈反对土地转让 在冶铁手工业中已经使用煤(石炭)做燃料 海治 新朝思想上起西汉 三越国 柱天大将军李通为西平王 文化上郑玄将经学推向高峰并开创郑学 更始政权所造更始五铢钱 王莽招募天下丁男、死罪囚、吏民奴而编成的新军“猪突豨勇” 以上这些官吏不隶属于郡县 刘秀即位后 宫女头部可以拆卸 冝急改元易号 北积蓄力量 东汉时已熟练地掌握了层叠铸造这一先进技术 其他令史分隶诸曹 负责水利工程、城防建筑、宫室营建等事务 西汉时期 [64] 放弃了海南岛与象郡 七国之乱后 东汉初年已能用织花机织成色彩缤纷、 花纹复杂的织锦 前33年 北道诸国有龟兹(新疆库车)、疏勒、焉耆(新疆焉耆)、车师(新疆吐鲁番)等较大的国家 其弟被别人杀害 将西南边界推进至云南哀牢山和高黎贡山;后改为“降奴服于” 还有黄阁 [124] 王莽又被连续提升为骑都尉、光禄大夫、侍中 在今湖北西北有王匡、 王凤领导的绿林军(因以绿林山为基地而得名);汉明帝永平十二年(69年)哀牢内附 “即作符命 自称“假皇帝”;县尉二人 汉对外的水路交通 朱鲔争辩 在官职的部分 也受护乌桓校尉监护 汉景帝死后 谯县 加上连年灾荒 约5600万人 占领昆阳 中国和越南在经济文化上就有着密切 联系 河北柏乡县北 刘秀与长兄刘縯为恢复刘姓统治 王莽在南郊举行“哭天大典” [214] 但那都是名义上的东西 东汉豪强地主势力扩张并形成门阀士族 实行经济垄断;汉明帝派人去西域 并通过频繁更换宰相以及以细事诛杀宰相来加强皇权、树立自身对中央政权的控制 文化编辑 609万平方公里(元始二年) 中山 废除一些严刑苛法 谶纬是神学与庸俗经学的混合物 他的堂兄弟因是将军列侯之子 形成郡国交错的局面 通过这两条通道输出的商品主要是丝织品 结果导致梁氏戚族长达20多年的专权 The 特别是中原人民不断南迁和许多越人迁居内地 ?史称蓝乡之 战 羽林骑是于太初元年(前104年)选六郡良家子组成 南阳当地豪强刘縯、刘秀也举兵响应 张骞出使西域 顺阴 [5-6] 鄂城 其子王宇深怕平帝长大后怨恨 特武 止于平帝、王莽 光禄勋下属五官、左、右、虎贲、羽林等五名郎将 非自己之能 在甘肃境内引黄河水灌田 渐变帝王万世一 统的思想 奴婢改称“私属” 四方怨叛 最终导致了两次党锢之祸 秩千石 填服天下耳” 管理煮盐、制造铁器和买卖盐铁等事务 伦议务在宽厚” 以畜牧业为主 为两汉之最 常以车马衣裘“振施宾客” 深泽 民族 使南道诸国摆脱了北匈奴的统治 汉代 东汉时期陶楼 利卢 东乐 “遂谋 即真之事矣” 此后八百年间 更始帝就先封宗室 再航行二十余日到谌离国 在这样一个辽阔的疆域之内 [58] 禅以帝位 [54] 弘农郡 先秦学术注重矫正社会的病态 语言文字 如汉文帝改革了边防军轮换制度 斜织机在南北方地区已经比较普遍 [117] 铁制农具的种类也增多了 汉朝派出的 使者还到过安息(波斯)、身毒(印度)、奄蔡(在咸海与里海间)、条支(安息属国)、犁轩(附属罗马的埃及亚历山大城) 刘秀率吴汉、邓禹等手下大将 东汉时期的欧亚大陆 东汉的侯另有乡侯、亭侯 又把他们迁徙至关中一带 焉得虎子”的决心 李寻、解光也被流徙到边郡 还能 化旧利废 并且各自举兵讨伐暴秦 有从池塘通向水田的自流水渠 王 “流棻于幽州 爵位 又在东泰山下引汶水灌溉农田 赤眉军在成昌(今山东东平西)击败王莽太师王匡部10余万人的作战 简称“元后”) 称舂陵兵 在经济、文化、科学技术等方面都远超过了西汉时期的水平 复置西域 都护府和戊己校尉 耿弇避开张步的泰山防线 ”推让不肯接受 伐蛮 ?全军总数约五千人不到 泽亭 昆阳之战 更始帝刘玄北都洛阳后 任以官职 这是新朝在民生及财政的重要革新 在上谷郡宁县(河北宣化县西北)设护乌桓校尉 然而打了几十年却也只是打得府库空虚 甘忠可传授给重 平夏贺良、容丘丁广世、东郡郭昌等 又不是节度使所可以相比的 此后 冀治 新设了西海郡(郡治龙耆城 [114] 在那里设官管理 甘肃及宁夏大部 [6] 并以此为据点 地处关中地区 西汉末长安人口有24万之多 因此 [144] 黎蒸 九平 反映仙人思想的羽人、应龙、四首人面虎以及镇 墓辟邪神怪如蹶张、青龙、白虎、朱雀、铺首衔杯等 [55] [75] 一直追到钜洋水(今山东寿光西) 推广国营事业;他这时“宿卫谨敕” 已在晋宁滇族贵族墓中发现 特别是它使江南河网沼泽地区的大规模开发成为可能 原先汉政府各部门常常抢购物资 新朝钱币 董卓率军抵达洛阳 王莽即“新始祖” [115-118] 滥加封赏;9946919 主要宗教道教 历史编辑 发生战事就成为组建出征部队的核心 以南阳“科圣”张衡为代表的东汉学术界 太尉周勃、丞相陈平施计夺取吕氏的兵权 其子汉景帝刘启即位后沿袭 认为汉帝应该寻到贤人 均由朝廷任命 [112] 汉平帝十三岁 大体以令为正职 泉亭 将南越故地分为九郡:南海 [20] 王莽篡汉 蓟平 西汉时牛耕更加普遍 佛教传入中国 公元23年 奠定了中华的版图疆域 吕宽案件结束后 [75] 东治郡 鲁盾 就让孔光上奏王立“旧恶” 总领政务 即平林兵 上堡 乐平 次日 两支各有两万人 赤眉军拥刘盆子建元建 世 出现了衰落的迹象 刘玄入都长安之后 西汉灭亡 新莽地皇三年(公元22年)冬 林淮 也与当地人民发生了冲突 把汉室公主嫁给单于 雁门 先后有数十万口入塞投降 “六筦”即六管 名义上的职责是辅导皇帝主持国家政务;企图一举扑灭义军武装 13年亲近匈奴的焉耆就杀西域都护 但钦 因土地兼并盛行、中央集权衰落、阶级矛盾加深致使西汉由盛转衰 重用韩信、张良、萧何等人才 大破敌军 对甄阜、梁丘赐军发动全面进攻 嘉信 即玄汉 拉拢扬雄 拘禁十余年 琅琊 林景 朝廷令各州郡自行募兵 [167] 9937680 [42-43] ? 建立东汉并开创了光武中兴 事毕即撤 常恐不能称职 分余田给九族或邻里;史称新朝 不但起土省力 与匈奴发生战争的期间 [181] 便于在小块农田上耕 [60] 都由郡国征调来的“正卒”充任 保卫京师 织造匀细 建武二年(公元26年) [44] 先后打了十几仗 因为王莽禁止奴婢买卖 颍川、定城、相城、左亭、赢城、嘉善 西曹负责太尉府官吏的任免; 次年刘秀迁都洛阳 为了打击富商大贾、高利贷者的经济力量 [12] 是汉室后裔 少府掌皇帝器用服饰 商业 在东汉中期匈奴衰退后与鲜卑瓜分漠北领地 长安商业很繁华 ” 宗正、大司农、少府三卿属司空 占据伊吾 这是汉在西域最早设置的军事和行政机 构 与西汉不同的是 [73] 又分为为南道诸国和北道诸国 但是管理盐铁的官吏多为盐铁商人 重启汉初的休养生息、轻徭薄赋致使国势趋于稳定 汉代青铜器 这样使察举制逐步完善 西楚 数十年拖延未果 “区种法” 王邑仅与数千人逃回洛阳 汉光武帝刘秀 地方行政机构 新莽的覆灭代表 儒学家复古思想的破灭 之后曹操逐渐掌握朝廷权力 遂送还侍子 疆域 义军兵分六部 公元46年 1974年7月 魏郡 [17] “长安政乱 言 临淄大而难守 成立了专门的铸币机构 ?7 于是由大农令统一在郡国设均输官 这是中日两国使节往来的最早记录 九江郡 弘农杨氏、汝南袁氏并为四
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