高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 锁定70分专项练1 Word版含解析

“锁定70分”专项练
“锁定70分”专项练1
1．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有________个． 答案 4
2．(2016·课标全国甲改编)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是________．
答案 (－3,1)
解析 由复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.
3．已知命题p ：“m ＝1”，命题q ：“直线mx －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
4．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(－π2＜φ＜0)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (π6
)＝________.
答案 23
解析 由图可知，T ＝2(11π12－7π12)＝2π3＝2πω
， 所以ω＝3，又f (7π12)＝A cos(7π4
＋φ)＝0， 所以7π4＋φ＝k π＋π2
，k ∈Z ， 即φ＝k π－5π4
，k ∈Z ， 又因为－π2＜φ＜0，所以φ＝－π4
. 所以f (x )＝A cos(3x －π4
)．
由f (π2)＝A cos(3×π2－π4)＝－A sin π4＝－23
， 所以A ＝223
， 所以f (π6)＝223cos(π2－π4)＝223sin π4＝23
. 5．甲，乙，丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25
，那么三人中恰有两人合格的概率是________．
答案 715
解析 所求概率为P ＝23×34×35＋13×34×25＋23×14×25＝715
. 6．(2016·课标全国甲改编)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为________．
答案 12π
解析 由题可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，所以球的表面积为4πR 2＝(2R )2π＝12π.
7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，
y －2≤0，
则z ＝y ＋1x ＋1的范围是________． 答案 [12，32
] 解析 在直角坐标系中作出可行域⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，
y －2≤0.
由斜率公式可知z ＝y ＋1x ＋1
表示可行域内的点M (x ，y )与点P (－1，－1)连线的斜率，由图可知z max ＝2＋11＋1＝32，z min ＝1＋13＋1＝12
.
8．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与B 1C 所在直线所成角的大小是________． 答案 60°
解析 作A 1B ∥D 1C ，连结B 1D 1，易证∠B 1CD 1就是A 1B 与B 1C 所在直线所成的角，由于
△B 1CD 1是等边三角形，因此∠B 1CD 1＝60°.
9．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32
，则双曲线C 2的渐近线方程为________． 答案 x ±2y ＝0
解析 a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1， C 1的离心率为a 2－b 2
a
， 双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1， C 2的离心率为a 2＋b 2
a
， ∵C 1与C 2的离心率之积为
32
， ∴a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32
， ∴(b a )2＝12，b a ＝22
， 双曲线C 2的渐近线方程为y ＝±22x ， 即x ±2y ＝0.
10．设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是________．
答案 [32e
，1) 解析 设g (x )＝e x (2x －1)，y ＝ax －a ，
由题意知存在唯一的整数x 0使得g (x 0)在直线y ＝ax －a 的下方，
∵g ′(x )＝e x (2x －1)＋2e x ＝e x (2x ＋1)， ∴当x <－12
时，g ′(x )＜0， 当x >－12
时，g ′(x )＞0， ∴当x ＝－12时，g (x )取最小值－2e －12
， 当x ＝0时，g (0)＝－1，当x ＝1时，g (1)＝e ＞0，
直线y ＝ax －a 恒过定点(1,0)且斜率为a ，
故－a ＞g (0)＝－1且g (－1)＝－3e －1≥－a －a ，
解得32e
≤a <1. 11．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是________．
答案 10 000
解析 i ＝0，S ＝0⇒i ＝1，S ＝1⇒i ＝2，S ＝4⇒i ＝3，S ＝9…
由此可知S ＝i 2，所以当i ＝100时，S ＝10 000.
12．已知(x ＋a )2(x －1)3的展开式中，x 4的系数为1，则a ＝________.
答案 2
解析 (x ＋a )2(x －1)3的展开式中，x 4 的系数为1×(－3)＋2a ×1＝2a －3＝1, 所以a ＝2.
13．函数y ＝ln ⎝⎛⎭
⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 答案 (0,1]
解析 根据题意可知， ⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，
x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1，故定义域为(0,1]． 14．已知O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝________.
答案 －16
解析 如图所示，因为O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，
所以∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°.
∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°，
OA ＝2OD ＝23×32＝33
， 由于AD 平分∠A ，∠BOC ，
所以，OB →＋OC →＝2OD →＝－OA
→，
同理，OA →＋OB →＝－OC →，OA →＋OC →＝－OB →， 所以，(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)
＝(－OC →)·(－OB →)＝OC →·OB →＝|OB →|2cos 120° ＝|OA →|2cos 120°
＝(
33)2×(－12)＝－16.。